Quanto può sporgere una pila di mattoni?

[Erasmus]

Questo quiz l'ho inventato io quando ero studente del biennio di ingegneria.
Ma presumo che altri – che ne so: un qualche a me ignoto cannibale "Faccio tutto io" del tipo di Eulero – mi abbia preceduto a mia insaputa.

«Dispongo di un numero grande a piacere di mattoni parallelepidedi, retti, uguali, rigidi e perfetti.
Costruisco con essi una pila verticale (che si regge per sola gravità) sovrapponendone, a partire da un piano orizzontale, uno ad un'altro con le facce maggiori orizzontali.
Anzichè disporli facendo combaciare esattamente la faccia di sotto di uno con la faccia di sopra del precedente, posso lasciare che ogni mattone sporga un po' da quello di sotto in modo che la pila abbia solo due facce laterali piane e parallele.
Domande:
a) E' teoricamente possibile che il mattone più in alto sporga dal mattone più in basso di più di un prefissato arbitrario valore?
b) In una pila di N>2 mattoni, come distribuire la sporgenza di uno sul precedente in modo da massimizzare la sporgenza del mattone superiore dal mattone inferiore? [E quanto vale allora tale sporgenza?]


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P.S. (per eventuali obiettori del tipo di astromauh ):
Ritenere uniforme l'accelerazione di gravità.
Non obiettare, quindi, che invece essa dininuisce con l'altezza!

[aleph]

Così, su due piedi direi che UN mattone può anche sporgere dal precedente per il 99,9999..% se disposti secondo l'accortezza descritta nel disegno allegato.

Non saprei dire però se la soluzione è la migliore possibile..

[Erasmus]

aleph

Così, su due piedi direi che UN mattone può anche sporgere dal precedente per il 99,9999..% se disposti secondo l'accortezza descritta nel disegno allegato.

Non saprei dire però se la soluzione è la migliore possibile ..

Forse le premesse non erano sufficientemente precise.
Volevo, tra l'altro, comprendere che nelle modalità di costruzione non c'è nient'altro che prendere un mattone alla volta e depositarlo sul precedente con opportuna sporgenza in modo che esso e la sottostante pila restino eretti per sola gravità.

Dovevo dirlo esplicitamente?
Però, però ...
«Costruisco con essi una pila verticale (che si regge per sola gravità) sovrapponendone, a partire da un piano orizzontale, uno ad un'altro con le facce maggiori orizzontali
...
b) In una pila di N>2 mattoni, come distribuire la sporgenza di uno sul precedente in modo da massimizzare la sporgenza del mattone superiore dal mattone inferiore? [E quanto vale allora tale sporgenza?]»..

Nella tua costruzione, alla fine la pila si regge per sola gravità.
Non durante la costruzione (che non è possibile col semplice sovrapporre un mattone – uno alla volta, si intente! – al precedente.

E poi ... la sporgenza rispetto al mattone inferiore è quella del 2° (o di altro, ma certamente ) non del superiore.

Ciao.

[aleph]

Erasmus

Forse le premesse non erano sufficientemente precise.
Volevo, tra l'altro, comprendere che nelle modalità di costruzione non c'è nient'altro che prendere un mattone alla volta e depositarlo sul precedente con opportuna sporgenza in modo che esso e la sottostante pila restino eretti per sola gravità.

Dovevo dirlo esplicitamente?

Vedi Erasmus, essere stato (giustamente) uno strenuo sostenitore della correttezza e proprietà di linguaggio, implica che poi ciò che viene detto viene considerato anche "completo", pertanto una condizione non menzionata viene considerata non richiesta.

Purtroppo anche la precisione ha i suoi effetti collaterali indesiderati..

[Luciano Monti]

Magari la risposta alla mia domanda verrà automaticamente dalla soluzione del tuo problema (magari e' pure una domanda stupida), ma prima di mettermi a lavorare ti chiedo: la sporgenza tra un mattone e il successivo deve essere costante?

,
Luciano

PS Conoscendoti ho davvero paura a buttare li' una risposta alla tua prima domanda, ma spontaneamente direi "NO".

[sumer]

Per come la vedo io, il problema è riconducibile concetto di baricentro e alla sua posizione. Ogni volta che aggiungo un mattone, il baricentro si alza e si sposta in direzione della parte in cui ho fatto sporgere il mattone.
Una costruzione, però, è stabile finché il baricentro cade entro la sua base (vedi torre di Pisa) e questo pone un vincolo alla sporgenza complessiva.
Se approssimiamo la pila di mattoni a un parallelogramma, il baricentro casca dove si incrociano le diagonali, dunque il limite massimo è che una delle diagonali non sia mai verticale. Immaginando di fare sporgere la pila verso destra, lo spigolo a sinistra dell'ultimo mattone in cima non dovrà andare oltre lo spigolo destro del mattone della base. Detto in altro modo, la sporgenza massima complessiva dovrebbe essere inferiore alla lunghezza del mattone.
Questo ragionamento, però, non è applicabile al nostro caso. Mi dice infatti la stabilità complessiva della costruzione, ma non tiene conto del fatto che io devo costruire la torre mattone dopo mattone, situazione che comporta che la stabilità debba essere garantita a ogni passaggio.
Provo dunque a ragionare mattone dopo mattone.
Da quanto ho detto, al massimo potrò fare sporgere il secondo mattone di una quantità pari a metà mattone meno 'epsilon' (quello piccolo a piacere dell'analisi...) altrimenti casca. Per il terzo mattone, però, non posso fare lo stesso. Non mi basta far sì che non caschi rispetto al secondo, ma devo impedire la stessa cosa anche rispetto al primo. Il parallelogramma che devo considerare, dunque non è quello dei tre mattoni, ma quello formato dagli ultimi due.
Ho provato a questo punto a valutare concretamente le quantità in gioco, ma mi sono accartocciato con qualche serie e dopo qualche tentativo mi è venuto il nervoso.
Ho comunque deciso di pubblicare ugualmente il mio ragionamento. Se è corretto potrà aiutare qualcuno, se non lo è... sarà per un altro quiz.
Un'ultima riflessione. Volendo impilare i mattoni, dovrò decidere se voglio massimizzare la sporgenza di un mattone rispetto al precedente (e il massimo lo posso avere con il secondo mattone della pila) oppure se preferisco mettere in pila il maggior numero possibile di mattoni (e allora minimizzo il più possibile la sporgenza).
Ovviamente, ma questo penso fosse sottinteso, è necessario che i mattoni siano perfettamente regolari, omogenei e incomprimibili.
Sperando di essere stato chiaro... e utile.

[Erasmus]

Per aleph, Monti e sumer:
Scusate se insisto (e mi ripeto). Aggiungo qualche grassetto evidenziatore (perché si rilevi, si "focalizzi" qualcosa che forse non è stato abbastanza tenuto in conto).

a) E' teoricamente possibile che il mattone più in alto sporga dal mattone più in basso di più di un prefissato arbitrario valore?

Fin qua vi è lecito montare la pila come meglio credete: purché alla fine essa si regga per sola gravità.

Probabilmente, per tentare di rispondere a questa prima domanda, converrà esplorare più di una modalità di erigere la pila ... o no?

La sporgenza costante di un mattone sul sottostante è solo una delle infinite modalità con cui sostituire la retta verticale per i centri di tutti i mattoni impilati con un altro ... "profilo" non verticale.

b) In una pila di N>2 mattoni, come distribuire la sporgenza di uno sul precedente in modo da massimizzare la sporgenza del mattone superiore dal mattone inferiore? [E quanto vale allora tale sporgenza?]

Penso che chiunque, prima di emettere la risposta alla prima domanda, si legge anche il seconda. Se la risposta alla prima ancora non la sa (oppure ... non si sente sicuro), tratterà la secondo domanda anche come strumento per capire come rispondere alla prima.
Se invece è sicuro di saperla (la risposta alla prima domanda), la seconda domanda potrebbe servire per una specie di esegesi della bontà della risposta alla prima. Infatti il secondo quesito invita a studiare la massima sporgenza dell'N-esimo mattone con N intero arbitrario: e quindi a pensare la sporgenza dell'N-esimo mattone come funzione di N. Cercherà dunque quale mai funzione di N è quella che massimalizza la sporgenza.

Insisto sul fatto che N è arbitrario (purché maggiore di 2). Se scoprissi la funzione S(k) – S come "sporgenza" e k = 1, 2, 3, ...N; ... ma non sono obbligato, nello scrivere questa funzione, a contare dal basso verso l'alto! – che massimalizza S(N), magari passando al limite per N tendente all'infimito ... trovo la risposta al primo quesito!
In tal caso, nell'[u]emettere[/b] le risposte, risponderò prima alla prima domanda (anche se la risposta l'ho capita per seconda) e userò la risposta alla seconda domanda a sotegno della bontà della risposta al primo ...

Aleph mi dirà che ho scritto un barboso pippone.
Io spero invece di essere stato utile per una ... critica esegetica a ciascuno dei vostri approcci al problema e al relativo percorso logico.
E ... riguardatevi le sottolineature che ho posto nel riscrivere i due quesiti!
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Sumer (ad esempio!): Giusto – ma anche ... elementare ed immediato – pensare al baricentro!
Al baricentro di che?
Se la pila di 100 mattoni sta su, ammetterai che anche la pila degli ultimi 20 (più alti) sta su!
E se la sporgenza del 100-esimo mattone dal primo è la massima possibile, ammetterai che anche quella del 100-esimo dall'80-esimo è la massima possibile, (se no, aumentando questa, aumenterebbe anche quella dal primo).
Ho detto 100, 20 e 80 (che è 100 – 20). Potevo dire N, k < N e N– k ... numeri qualsiasi...
Occorre che per ogni k da 1 ad N–1, la parte soprastante al k-esimo mattone abbia il baricentro non sporgente dallo spigolo (sporgente) del k-esimo mattone. OK?
La pila la costruisci dal basso all'alto: ma quanto possono sporgere al massimo i mattoni lo capisci solo scendendo dall'alto verso il basso!
E' il mattone superiore che al massimo può sporgere metà del suo spigolo orizzontale più lungo dal mattone sottostante (il penultimo). Allora sai come stanno uno rispetto all'altro i due ultimi mattoni (che fintanto che stanno fermi è come se fossero un pezzo solo). E dov'è il baricentro di questo pezzo ... "bi-mattonico"? [...]
Di conseguenza il penultimo mattone può sporgere dal terzultimo al masimo ...

Cacchio: ti (vi) sto dicendo troppo!
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[sumer]

Erasmus

... E' il mattone superiore che al massimo può sporgere metà del suo spigolo orizzontale più lungo dal mattone sottostante (il penultimo). Allora sai come stanno uno rispetto all'altro i due ultimi mattoni (che fintanto che stanno fermi è come se fossero un pezzo solo). E dov'è il baricentro di questo pezzo ... "bi-mattonico"? [...]
Di conseguenza il penultimo mattone può sporgere dal terzultimo al masimo ...

Scusa, Erasmus, non è quello che ho detto io?
Ma ho anche aggiunto che non basta. Se faccio sporgere sia l'ultimo che il penultimo mattone della 'metà meno epsilon' casca tutto.
Ecco perché ho detto che tutto dipende dalla posizione del baricentro dell'ultima coppia (e non dell'ultimo mattone) che, ammettendo sia L la lunghezza del mattone e S la sporgenza dell'ultimo, si trova a una distanza pari a S + (L-S)/2.
E' proprio nella valutazione della successione che mi sono ingrippato (ad un certo punto mi era apparsa anche una media armonica...).
Per quanto riguarda l'allineamento dei baricentri successivi mi verrebbe spontaneo di chiamare in causa una andamento parabolico, ma non riesco a dimostrarlo.
Ciao.

[Erasmus]

sumer

Scusa, Erasmus, non è quello che ho detto io?

Hai detto tante cose, oltre ad una simile a questa (ma non proprio questa).
Non eri tu ma Monti che propendeva per sporgenza di un mattone dal sottostante variabile da mattone a mattone.
Mi pare che tra le cose che hai detto c'era anche la sporgenza specifica uniforme (profilo rettilineo, benché non verticale).

Hai mai sentito parlare di "induzione"?
Hai una parte sovrastante di k-1 mattoni e supponi di sapere dove sta il suo baricentro. La verticale per questo deve sfiorare lo spigolo del k-esimo mattone (contando dall'alto al basso). Sai allora come è messo il k-esimo mattone rispetto alla parte sovrastante di k–1
E' cosa da applicazioni tecniche di 2ª media trovare il baricentro di k mattoni come baricentro di due sistemi di masse: uno di k-1 mattoni (quelli sovrastanti il k-esimo, contando sempre dall'alto al basso) che ha il baricentro su una verticale che manco mi interessa e l'altro di un solo mattone, il k-esimo, che è lungo L (hai detto) e ha il baricentro su una verticale distante L/2 dalla verticale per l'altro baricentro ...
Adesso prova a calcolarti la posizione del baricentro degli ultimi tre più alti mattoni, visto che sai dove sta il baricentro della coppia di mattoni più in alto e per dove deve passare, rispetto al terzutimo, la verticale per il baricentro della coppia più in alto. Se ancora non ci vedi la regola generale, prosegui ... ad libitum (passando al baricentro di 4 mattoni pensati come due sistemi: uno come pila di tre mattoni che sai come è fatta, l'altro come mattone singolo che ha il baricentro distante L/2 dalla verticale per il baricentro della pila di 3; e poi passando a 5 se ancora non ti basta per intravedere). Quando hai intuito come va in generale, verificalo per induzione (come Dio comanda, diceva un mio collega ed amico).

sumer

... Ecco perché ho detto che tutto dipende dalla posizione del baricentro dell'ultima coppia (e non dell'ultimo mattone) che, ammettendo sia L la lunghezza del mattone e S la sporgenza dell'ultimo, si trova a una distanza pari a S + (L-S)/2.

.
Vedi che avevo ragione io? Eppure stavolta hai già letto esplicitamente il consiglio di contare dall'alto verso il basso.
«Quanta strada ho fatto dopo k passi di lunghezza sempre più piccola?»
Elementare Watson! La somma delle lunghezze dei passi fatti a partire dal primo fino al k-esimo. Fac simile tu quoque, sumer!
Penso alla verticale per il baricentro della pila dei k–1 mattoni sovrastanti, comunque essa sia fatta. Il baricentro del k-esimo mattone dista L/2 da essa. Quanto dista allora da essa (che passa per il bordo del k-esimo mattone) la verticale per il baricentro dei k mattoni?
(Quasi) elementare Watson! (Sempre da scuola dell'obbligo, se non proprio da "scuola elementare" )
(k –1)x = 1*(L/2 – x) => kx = L/2 => x = (L/2)/k.
Guarda ben, caro sumer, che questo x è la sporgenza massima (limite) del k-esimo mattone (contando dall'alto al basso) dal sottostante (k+1)-esimo.
Adesso non ti resta che mettere k = 1, 2, 3, ..., N-1 e sommare i singoli "passi".

sumer

[...]
... mi era apparsa anche una media armonica...
[...].
... verrebbe spontaneo di chiamare in causa un andamento parabolico, ...

a) Dati n numeri A1, A2 ... An la loro media aritmetica è (A1+A2+ ...+An)/n.
La loro "media armonica" è il reciproco della media aritmetica dei loro reciproci. [Occhio, ché allora i numeri A1, A2, ..., An devono essere tutti diversi da zero!].
Media Armonica = 1/[(1/A1 + 1/A2 + ... + 1/An)/n] = n/(1/A1 + 1/A2 + ... + 1/An).

b)E' detta "armonica" la serie in cui il k-esimo addendo è 1/k. Di solito la indicano con H. Ossia:
Serie Armonica H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.

c) Perché proprio "parabolico" ? Comunque, la parabola non vedo cosa c'entri.
A meno che per "parabolico" non intenda la precisa qualità caratteristica dei rami di curva che se ne vanno all'infinito senza ammettere asìntoto ... Allora "parabolico" è usato correttamente come attributo di un tale ramo di curva (ma è un uso "traslato": precisamente "antonomastico" in quanto proprio la parabola, curva universalmente nota, ha punti distanti a piacere dal vertice ma non ha asìntoti).

Bye, bye

[astromauh]

a) NO
b) aumentando progressivamente la sporgenza.(dal basso verso l'alto)

In questo modo la sporgenza totale, dovrebbe essere maggiore della lunghezza del mattone.