Qualche quiz

[Erasmus]

Bravo Nino, sei forte.

Ma cosa faresti senza il tuo CAD?
Addio cliccare "tritangenza", addio verifiche geometriche
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Ho generalizzato i discorsi relativi al quadrilatero articolato.
Senza imporre che ammetta il cerchio inscritto (cioè: senza imporre che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due), l'area massima si ha in ogni caso quando il quadrilatero ammette il cerchio circoscritto.

Se a, b, c e d sono le lunghezze dei lati del quadrilatero, quest'area vale:
Smax = (1/4)·√[(–a+b+c+d)(a–b+c+d)(a+b–c+d)(a+b+c–d)].

Non penso certo di aver trovato qualcosa di originale: tuttavia penso che l'Illustrissimo non lo sapeva; e nemmeno Piotr.
Che io sappia, questa nozione (che mi pare notevole) non si insegna in alcuna scuola della Repubblica!

Vediamo se l'Illustrissimo e/o Piotr mi confermano o mi smentiscono.
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Se diciamo p il semiperimetro (a+b+c+d)/2 , la "mia" formula diventa:

Smax= √[(p–a)(p–b)(p–c)(p–d)]


Si sa – dai tempi di Erone (1° secolo a.C. o 1° secolo d. C.?)– che se a, b e c sono le lunghezze dei lati di un triangolo e p è il semiperimetro (a+b+c)/2, l'area del triangolo vale:

Str = √[p(p–a)(p–b)(p–c)]

La "mia" formula comprende anche questa di Erone come caso limite al tendere a zero della lunghezza di un lato del quadrilatero, [al tendere a zero di d per come sono scritte le formule].

Naturalmente, se a+c = b+d (cioè il quadrilatero ammette anche il cerchio inscitto), si ritrova la formula
Smax = √(abcd).

Bye, bye
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P.S.
Domani vado via di nuovo.
Ciao a tutti,

[ANDREAtom]

Io senza l'uso della calcolatrice non mi ricordo più come si estrae la radice quadrata

[nino280]

Io senza l'uso della calcolatrice non mi ricordo più come si estrae la radice quadrata

Vediamo, devi fare la radice di 2209; fai finta di fare una divisione normale. Partendo da destra dividi il numero a due a due.
Ottieni 22.09; devi trovare un numero (il massimo) che moltiplicato per se stesso sta nel 22 ed è 4
4x4 = 16 che scrivi sotto il 22 e sottrai.
Ottieni 6 e poi abbassi lo 09
Otieni 609 (porca miseria è più facile a farla che spiegarla)
Ora raddoppia il 4 e diventa 8
ora trovare un numero x che messo a fianco dell' 8 e motiplicato sempre per x , stia nel 609 , che è 7 cioè 87*7 = 609 giusti e li finisce. Quindi alla fine è 47

[Erasmus]

Ero convinto di aver "postato" in questo thread martedì 16 agosto (di passaggio da casa, per ritornarmene subito fuori).
Ma siccome non mi vedo, vorrà dire che, come altre volte, ho fabbricato il "post", ne ho fatto l'anteprima ... tutto OK, salvo poi dimenticare di inviare effettivamente.

Metto allora adesso il "paper" datato 16 agosto che credevo d'aver messo allora.
Contiene ... una dimostrazione della mia ultima affermazione.

Coviene che mi citi (a scanso di equivoci o incomprensioni):

Erasmus

[...]
Ho generalizzato i discorsi relativi al quadrilatero articolato.
Senza imporre che ammetta il cerchio inscritto (cioè: senza imporre che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due), l'area massima si ha in ogni caso quando il quadrilatero ammette il cerchio circoscritto.

Se a, b, c e d sono le lunghezze dei lati del quadrilatero, quest'area vale:
Smax = (1/4)·√[(–a+b+c+d)(a–b+c+d)(a+b–c+d)(a+b+c–d)].

Non penso certo di aver trovato qualcosa di originale: tuttavia penso che l'Illustrissimo non lo sapeva; e nemmeno Piotr.
Che io sappia, questa nozione (che mi pare notevole) non si insegna in alcuna scuola della Repubblica!

Vediamo se l'Illustrissimo e/o Piotr mi confermano o mi smentiscono.
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Se diciamo p il semiperimetro (a+b+c+d)/2 , la "mia" formula diventa:

Smax= √[(p–a)(p–b)(p–c)(p–d)]
[...]

=> Area del Quadrilatero Circoscrivibile - PNG

Ciao a tutti

[nino280]

Da Erasmus e per Erasmus
=> Area del Quadrilatero Circoscrivibile - PNG

Un suggerimento.
Dal momento che ritengo questi tuoi paper molto ma molto interessanti ti suggerisco e prego di scorporarli e metterli in nuova apposita discussione (anche solo copiandoli col nome "quadrilateri circoscrivibili" o simile. Il motivo semplice è come tu sai, che a volte ci e mi capita di voler ritornare sull'argomento anche dopo anni, ora cercare questo argomento in questo thread che ha ormai migliaia di pagine sarebbe un'impresa.
Grazie Ciao.
Se non lo fai tu lo faccio io tanto non dovrebbe essere una cosa lunga.

[Erasmus]

nino280

[...] dal momento che ritengo questi tuoi paper molto interessanti ti suggerisco di scorporarli e metterli in nuova apposita discussione (anche solo copiandoli col nome "quadrilateri circoscrivibili" o simile. Il motivo semplice è come tu sai, che a volte ci e mi capita di voler ritornare sull'argomento anche dopo anni, ora cercare questo argomento in questo thread che ha ormai migliaia di pagine sarebbe un'impresa. [...]

Beh: potresti sempre "scaricare" e "conservare" il paper che ritieni interessante.

Comunque, stavolta ti accontento.
Apro un nuovo thread col titolo "Quadrilateri circoscrivibili" e metto anche là quest'ultimo "paper".
....
Fatto!

V. => Quadrilateri circoscrivibili, (by Erasmus, lun 21.08.11)

Ciao, ciao

[aspesi]

Un triangolo dentro un altro triangolo

Dato il triangolo ABC con:
AB=4
BC=5
AC=6
si segnano i punti D, E, F
rispettivamente su AC, AB, BC
tali che il triangolo DEF abbia i lati
DE=2
EF=3
FD=4

Quanto vale AD ?

[Erasmus]

aspesi

Un triangolo dentro un altro triangolo

Dato il triangolo ABC con:
AB=4
BC=5
AC=6
si segnano i punti D, E, F
rispettivamente su AC, AB, BC
tali che il triangolo DEF abbia i lati
DE=2
EF=3
FD=4

Quanto vale AD ?

NB. Sono rientrato ieri sera (lun. 29.08.11), ma volevo ugualmente dedicarmi al tuo problemino.
Eh, eh! Il problemino è ... simpatico!
Ma mica tanto sbrigativo.

Ieri sera credevo di aver trovato una via sbrigativa ... ma poi ho fatto cilecca!

Si può impostare direttamente nelle incognite:
x = AD; y = BE; z = CF (*)
[con cui sarà poi: CD = 6–x; BE = AE = 4 – y; BF = 5 – z (**) ].
L'impostazione è facile ... ma il manipolare le equazioni è arduo!
[Tre equazioni algebriche di 2° grado: una in x e y, una in y e z e una in z e x].

Ecco qui l’impostazione.
Si possono trovare i coseni degli angoli nei vertici A, B e C dal triangolo ABC ed uguagliarli ai coseni degli stessi angoli pensati angoli rispettivamente dei triangolini ADE, BEF e CFD.

Dal triangolone ABC si trova
(***)
cos(BAC) = (4^2+6^2 – 5^2)/(2*4*6) = 9/16
cos(ABC) = (4^2+5^2 – 6^2)/(2*4*5) = 1/8
cos(ACB) = (6^2+5^2 – 4^2)/(2*6*5) = 3/4
Dai triangolini ADE, BEF e CFD abbiano dunque:
(****)
cos(BAC) = cos(DAE)=> [x^2 + (4–y)^2 – 2^2][2*x*(4–y)= 9/16
cos(ABC) = cos(EBF) = [y^2 + (5–z)^2 – 3^2][2*y*(5–z)= 1/8
cos(ACB) = cos(DCF) = [z^2 + (6–x)^2 – 4^2][2*z*(6–x)= 3/4
Eliminando z dalla 2ª e dalla 3ª di (****) si trova una equazione in y e x da cui si può ricavare y in funzione di x, diciamo y = F(x). Sostituendo nella 1ª y con questa F(x) si ottiene una equazione in x = AD.
Con la mia calcolatrice grafica non sarebbe neanche una cosa molto mostruosa.

Ma ieri sera credevo di aver trovato una via più praticabile (ed elegante) prendendo per incognite non i segmenti ma gli angoli.

Avendo 2 triangoli con i lati noti possiamo trovare gli angoli ai loro vertici (col teorema di Carnot).
Siano dunque:
α = BAC; β = ABC ; γ = ACB
e
δ = EDF ; ε = DEF; η = DFE.
Si ricordi anche che α+ β+ γ = δ+ ε+ η = π (=180°). (I)
Poniamo ora come incognite gli angoli:
x = ADE
y = BEF
z = CFD.

Nino II: ti consiglio di segnare gli angoli sulla figura, se no fai fatica a vedere quel che sto per dire!
Ecco la figura:
Triangolo_nel_triangolo.PNG

Risulta subito – tramite le (I) –
x + δ = γ + z => z – x = δ – γ;
z + η= β + y => y – z = η– β;
y + ε= α + x => x – y = ε– α.

Purtroppo, però, questo sistema non è determinato ...

[La terza equazione viene anche sommando le prime due, cambiando di segno e ricordando le (I)].

Ci penserò ancora ...
Nel frattempo cercherò di trovare graficamente la soluzione (ovviamente approssimata, per tentativi con approssimazioni successive).

Ciao ciao
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[aspesi]

Erasmus

Avendo 2 triangoli con i lati noti possiamo trovare gli angoli ai loro vertici (col teorema di Carnot).
.............

Ci penserò ancora ...
Nel frattempo cercherò di trovare graficamente la soluzione (ovviamente approssimata, per tentativi con approssimazioni successive).

Ciao ciao
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La soluzione è:
AD=(35 sqrt(105) - 43)/212 - sqrt(481726 sqrt(105) -3045014)/1484 =~ 0.5622

(il valore mi torna... per quanto riguarda l'espressione ... ci credo sulla fiducia... )


Nino

[Erasmus]

aspesi

La soluzione è:
AD=(35 sqrt(105) - 43)/212 – sqrt(481726 sqrt(105) –3045014)/1484 ≈ 0.5622

(il valore mi torna... per quanto riguarda l'espressione ... ci credo sulla fiducia... )

Ma ... da dove diavolo hai preso 'sto quiz?
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Ho rifatto la figura in scala 200% (lati AB= 8 cm, BC ≈ 10 cm; AC ≈ 12 cm).
Eccola qua:
=> Figura-nuova.PNG
Con la massima accuratezza di cui sono stato capace, e col fatto che le misure che mi dà l'editor [di grafica] AppleWorks sono al decimo di millimetro, il segmento (obliquo) AD mi risulta largo 0,64 cm ed alto 0,95 cm.
Con ciò, nella mia approssimazione [come vedi anche nella detta Figura-nuova.PNG ], mi viene:
AD = (1/2)·√(0,64^2 + 0,95^2) ≈ 0,5727...
che differisce [per ecesso] di circa il 2% dal valore 0,5622 che segnali tu.

L'espressione che segnali, {con due addendi: un radicale ed un radicale doppio, cioè del tipo x = √(a) + √[b+√(c)]} ha l'aria di essere soluzione di speciale equazione di 8° grado (come viene razionalizzando).
Nel procedimento di cui ho dato l'impostazione vengono tre equazioni di 2° grado: una in x e y, un'altra in y e z e un'altra ancora in z ed x, ma tutte con la stessa struttura Quindi un sistema di grado 2*2*2*=8 in tre incognite x, y e z, delle quali una è x = AD.
Chissà: forse facendo davvero quel che ho indicato viene quell'equazione là!
Ma chi se la sente di fare davvero i calcoli?
Io no, tu nemmeno ... e l'Illustrissimo penso che vomiterebbe al solo pensiero di provarci!

O invece c'è un altra via equivalente ma meglio praticabile ...
Boh!

Ciao ciao





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