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Vecchio 18-06-10, 17:29   #1
revenac
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Predefinito area ellisse sferica

buonasera a tutti, qualcuno mi sa suggerire la formula per il calcolo dell'area di una ellisse sferica, o un link dove possa dedurre delle formule sintetiche?

Come estrema ratio va bene anche un programmino software.

Grazie per chi mi può dare qualche dritta.

ciao. Mario
revenac non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-06-10, 17:56   #2
Mizarino
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Predefinito Re: area ellisse sferica

Una ellisse sferica ?...
Forse intendi un'ellissoide!

Se si tratta di un'ellissoide a 1 asse (ellissoide di rivoluzione o anche sferoide), guarda un po' qui:
http://www.numericana.com/answer/geometry.htm#oblate

Se intendi un'ellissoide a 3 assi, allora sei nei guai. La formula non è per nulla semplice!...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 18-06-10, 22:43   #3
nino280
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Predefinito Re: area ellisse sferica

La palla da tennis.
CI-contro la curva dei rendimenti, che è un caso speciale curva di satellitiPer d costante b variante ha 0.
Dove b = ha (Doppio punto al polo nord) dà Clelia, Vista la cui sommità è quadrifoil. Valore b per il quale la curva ha una tangente verticale nel punto di intersezione con l'equatore è b = a / 3. Questo grosso modo visivamente la curva reale.


Ultima modifica di nino280 : 19-06-10 09:57.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-06-10, 05:40   #4
revenac
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Predefinito Re: area ellisse sferica

no no, la mia è un'ellisse che anzichè stare sul piano se ne sta sulla superficie di una sfera.

Io vorrei sapere se qualcuno ha mai messo a punto una formula per il calcolo della porzione di superficie sferica delimitata da una ellisse.

Ancora meglio, prendi un cono di sezione orrizzontale ellittica.
Prendi una sfera. Ed il vertice del cono lo fai coincidere con il centro della sfera.
Dove il cono interseca la superficie ci ritroviamo tale "ellisse sferica".
Vorrei un metodo per calcolare l'area della porzione di superficie sferica

Un cono a sezione ellittica che esce dal centro della terra ... mi serve per tutt'altro ma questo è il concetto.

vorrei dire il luogo dei punti descritto dall'equazione che c'è qui a pagina 14 del documento, pagina 249 del testo: http://navigaz.uniparthenope.it/sez_...me_2_cap_6.pdf
non so se coincide con la descrizione che ho dato prima.

Ciao
revenac non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-06-10, 09:28   #5
Mizarino
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Predefinito Re: area ellisse sferica

Quote:
revenac Visualizza il messaggio
no no, la mia è un'ellisse che anzichè stare sul piano se ne sta sulla superficie di una sfera.
Io vorrei sapere se qualcuno ha mai messo a punto una formula per il calcolo della porzione di superficie sferica delimitata da una ellisse...
Azz ... tosto problema di geometria sferica ... Chiedo scusa, avevo frainteso: "ellisse sferica è proprio il termine appropriato per indicare quello che vuoi tu!

Ma per sapere se è stato fatto e come, basta chiedere a Google "spherical ellipse" (virgolettato).
A colpo sicuro, puoi cercare (virgolettato) questo:
"On the rectification and quadrature of the spherical ellipse"

Buona fortuna ...


Ultima modifica di Mizarino : 19-06-10 09:30.
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-06-10, 10:43   #6
Erasmus
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Predefinito Re: area ellisse sferica

Quote:
revenac Visualizza il messaggio
no no, la mia è un'ellisse che anzichè stare sul piano se ne sta sulla superficie di una sfera.

Io vorrei sapere se qualcuno ha mai messo a punto una formula per il calcolo della porzione di superficie sferica delimitata da una ellisse.
Avevo capito fin dal tuo primo 'post' cosa intendi per "ellisse sferica".
Ma il lembo di superficie sferica che hai in mente non è una ellisse!
L'ellisse, come linea (ossia come circonferenza di un lembo di superficie), è una curva piana. Ora, se tagli con un piano una sfera, il piano interseca la superficie sferica in una circonferenza di cerchio. Come si parla di "triangoli sferici", potremmo anche chiamare "cerchio sferico" una calotta sferica: ma la sua circonferenza non è una ellisse 'propria' (cioè con eccentricità maggiore di 0).
Quote:
revenac Visualizza il messaggio
Ancora meglio, prendi un cono di sezione orrizzontale ellittica.
Prendi una sfera. Ed il vertice del cono lo fai coincidere con il centro della sfera.
Dove il cono interseca la superficie ci ritroviamo tale "ellisse sferica".
Vorrei un metodo per calcolare l'area della porzione di superficie sferica

Un cono a sezione ellittica che esce dal centro della terra ... mi serve per tutt'altro ma questo è il concetto.

vorrei dire il luogo dei punti descritto dall'equazione che c'è qui a pagina 14 del documento, pagina 249 del testo: http://navigaz.uniparthenope.it/sez_...me_2_cap_6.pdf
non so se coincide con la descrizione che ho dato prima.

Ciao
Quando parli del cono ... mi par di confermare quel che avevo capito dall'inizio.
Lo preciso meglio.
a) Considero una ellisse propria piana. Siano P i punti della curva ellisse e sia p la retta perpendicolare al piano dell'ellisse per il suo centro O.
b) Per un punto C di p distinto da O proietto i punti P dell'ellisse in altrettanti punti P' sulla superficie di una sfera di centro C ... e chiamo "ellisse sferica" l'insieme dei punti P' (proiezione sulla sfera dei punti P dell'ellisse piana).

Ma da quel che capisco dalla figura che hai 'postato' non sono più sicuro che la "ellisse sferica" là definita sia la stessa cosa di quella appena da me difinita!

Se sostituiamo il piano con la superficie sferica (e quindi le rette con i cerchi massimi della superficie sferica e la distanza tra due punti A e B – non allineati con il centro della sfera – con la lunghezza dell'arco di cerchio massimo per A e B), allora giustamente il documento che hai 'linkato' dice che quella linea chiusa (che pure chiama "ellisse sferica") è in realtà una iperbole sferica (e io vorrei precisare: uno dei due rami dell'iperbole sferica). Infatti è definita come il luogo dei punti per i quali è costante la differenza tra le distanze da due punti fissi. Occhio, perché siamo in una geometria non euclidea.

Oh: non ho mai incontrato prima d'ora questa o analoga questione.
Sono perciò spiacente di dover comunicare che per adesso ...mi fermo qua!

Con riferimento alla 'tua' figura, non so nemmeno se , sostituendo un fuoco B col suo polare B', un ramo di iperbole di fuochi A e B è anche una vera ellisse sferica di fuochi A e B' (ossia se è costante la somma delle distanze dei suoi punti da A e B').

Ci ho pensato un attimo ... e forse qualcosa di utile ti posso dire.

I punti del lembo di superficie sferica contenente i punti A e B' e delimitato da quella linea chiusa che è uno dei due rami di "iperbole sferica" distano da A e B distanze tali che la loro differenza (in valore assoluto) è maggiore della differenza tra le distanze dei punti della curva.
Fissati i due fuochi A e B e la costante ∆d (differenza delle distanze dai fuochi), e dato un punto "a caso" sulla sfera, c'è dunque un criterio per stabilire se il punto sta in uno dei due lembi che contengono i fuochi o sta invece nel "manicotto" che non contiene alcuno dei due fuochi.
Allora una stima anche accuratissima dell'area di uno di questi lembi si può fare con un banalissimo "Metodo Montecarlo".
Siano A e B i fuochi e sia dato ∆d.
Sparo un fottìo N di punti "casuali" sulla sfera di raggio 1. Sia P uno di essi. Sia PA la distanza di P da A e sia PB la distanza di P da B. Per ciascuno di questi N punti P
calcolo ∆ = |PAPB|.
Se viene ∆ > ∆d allora il punto è "buono" e su un contatore K che era partito da zero aggiungo 1.
per gli eventuali punti per i quali risultasse ∆ = ∆d, aggiungo 1 a K alternativamente (un colpo sì e un altro no).
L'area dei due lembi è allora la frazione K/N dell'intera area 4π della superficie sferica (con accuratezza tanto maggiore quanto più grande è N ... e quanto migliore è l'equiprobabilità che un punto caschi qua o là sulla sfera).
L'area di un solo lembo è ovviamente metà, cioè (K/N)·(2π).

Bye bye.

------------------
P.S.
Modifica operata per esperimento anti-(eventuali)-"qudratini", dom. 20.06.10 h 15
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 20-06-10 13:02.
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Vecchio 19-06-10, 22:52   #7
nino280
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Predefinito Re: area ellisse sferica

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La palla da tennis.
CI-contro la curva dei rendimenti, che è un caso speciale curva di satellitiPer d costante b variante ha 0.
Dove b = ha (Doppio punto al polo nord) dà Clelia, Vista la cui sommità è quadrifoil. Valore b per il quale la curva ha una tangente verticale nel punto di intersezione con l'equatore è b = a / 3. Questo grosso modo visivamente la curva reale.


E' vero che gioco a tennis ma non mi metto a postare a sproposito una pallina, lo scopo era di aprire un link sottolineato vedi per esempio quel "clelia" ed entrare in quel meraviglioso sito di geometria in cui ci trovi di tutto dalle curve 2d a quelle 3d e tante tante superfici, e magari ci trovi anche la soluzione del nostro problema. Comunque nel mio piccolo un paio d'ore le ho dedicate all'elisse sferico. Sapete già che ho un'ottimo CAD, anche se non l'aprivo da molto tempo ed anche se conosco un millesimo delle potenzialità di tale sistema , l'ho messo in moto.
Ho disegnato una sfera di 100 mm di raggio, poi su un piano esterno alla sfera ho disegnato un cerchio di diam. 50 mm che ho proiettato su un'altro piano inclinato rispetto al primo piano. Ho cosi' ottenuto un'ellisse. Ed infine ho proiettato l'ellisse sulla sfera, ottenendo cosi' l'ellisse sferico. Bello, e questo mi ha soddisfatto per esserci riuscito. Volevo poi farmi calcolare l'area inscritta, ma vuoi forse per mie incapacità, non mi ha restituito il valore.
Poi ho perso almeno altre due ore per cercare di farvi vedere almeno il disegno e le relative superfici, dannato sistema, non me lo permette.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-06-10, 06:40   #8
Mizarino
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Predefinito Re: area ellisse sferica

Quote:
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Allora una stima anche accuratissima dell'area di uno di questi lembi si può fare con un banalissimo "Metodo Montecarlo".
Togli pure l'aggettivo "accuratissima".
Il metodo Montecarlo è splendido per avere "una stima", ma se davvero c'è bisogno di accuratezza (per fortuna di rado) lascia alquanto a desiderare. Se vuoi un decimale in più, devi moltiplicare per 100 il numero di "esperimenti" casuali ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-06-10, 11:01   #9
Erasmus
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Predefinito Re: area ellisse sferica

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
[...]
Ho disegnato una sfera di 100 mm di raggio, poi su un piano esterno alla sfera ho disegnato un cerchio di diam. 50 mm che ho proiettato su un'altro piano inclinato rispetto al primo piano. Ho cosi' ottenuto un'ellisse. Ed infine ho proiettato l'ellisse sulla sfera, ottenendo cosi' l'ellisse sferico. Bello, e questo mi ha soddisfatto per esserci riuscito. Volevo poi farmi calcolare l'area inscritta, ma vuoi forse per mie incapacità, non mi ha restituito il valore.
Poi ho perso almeno altre due ore per cercare di farvi vedere almeno il disegno e le relative superfici, dannato sistema, non me lo permette.
Occhio, Nino!
Hai letto la seconda parte del mio 'post'?
Il lembo di superficie sferica delimitato da una linea chiusa che revenac chiama "ellisse sferica" non è, come anch'io avevo capito dalle stesse parole di revenac, la proiezione di una ellisse propria dal centro della sfera.
E' una vera "ellisse sferica" nella geometria non euclidea a due dimensioni in cui al posto del piano hai la superficie sferica, al posto delle rette hai i "cerchi massimi" (dove "cerchio" è una linea, una "circonferenza" e non un "disco") e al posto della distanza tra due punti A e B (che nel piano è la lunghezze del segmento di estremi A e B) hai la lunghezza dell'arco di cerchio massimo di estremi A e B.

Vediamo le cose in coordinate polari.
In un tale sistema di coordinate il riferimento è costituito da un punto fisso O, da un piano fisso ∏ per O e, in questo piano, da una semiretta r di origine O.

Sia P un punto distinto da O e sia P' la sua proiezione ortogonale sul piano di riferimento ∏.
Le coordinate polari di P sono:
Distanza ρ (rho) di P dal centro di riferimento: ρ = OP;
Elevazione ε (epslon) di P sul piano (di riferimento) ∏: ε = angolo P'OP tra le semirette OP' e OP (entrambe di origine O).
Anomalia α (alpha) di P = anomalia di P' nel piano ∏ rispetto ad r = angolo tra la semiretta r e la semiretta OP' di origine O [angolo preso sempre nello stesso verso, per esempio antiorario ... per cui l'anomalia varia tra 0 e 2π (=360°); oppure preso in un verso tra 0 e 180° e nel verso contrario e considerato negativo tra 0 e –180°)

Adesso consideriamo una sfera di raggio R con il centro nel punto O del riferimento.

Consideriamo anche le coordinate cartesiane [x, y, z] con origine ancora O; e prendiamo:
• Come piano ∏ di riferimento il piano degli assi x ed y;
• Come semiretta r di riferimento il semiasse positivo delle ascisse, x ≥ 0.

Allora si vede subito che:
La distanza ρ vale R per tutti i punti P della superficie sferica.
La coordinata cartesiana z di P (distanza orientata di P dal piano di riferimento, cioè ±PP') vale R·sin(ε);
La distanza di P' da O è OP'= R·cos(ε);
Le coordinate x e y di P valgono rispettivamente:
x = OP'·cos(α) = R·cos(ε)·cos(α);
y = OP'·sin(α) = R·cos(ε)·sin(α);

Noi possiamo considerare "vettorialmente" un punto P della superficie sferica di anolalia α (in un piano per il centro della sfera che diciamo "equatoriale" ... quindi come una specie di longitudine) ed elevazione ε (su questo piano equatoriale, quindi una specie di latitudine) nella forma:
[x, y, z] = R [cos(ε)·cos(α), cos(ε)·sin(α), sin(ε)].

Qual è allora, la "distanza" tra due punti A e B sulla nostra sfera [distanza che indicheremo con (A,B)]?
Il cerchio massimo che passa per A e B ha il centro nel centro O della sfera.
Il triangolo AOB è isoscele su AB (e di vertice O), e l'arco da considerare è quello di raggio R = OA = OB e di angolo (al centro) AOB.
Il coseno di questo angolo – diciamolo ϕAB – vale (applicando la regola del prodotto scalare tra vettori):
cos(ϕAB)=[xA, yA, zA]*[xB, yB, zB]/(R^2) =
= cos(εA)·cos(αA)·cos(εB)·cos(αB) + cos(εA)·sin(αA)·cos(εB)·sin(αB) + sin(εA)· sin(εB).
La distanza sulla sfera tra A e B è dunque:
(A,B) = R·ϕAB.

Per comodità possiamo considerare R=1. Allora la distanza tra i punti A e B coincide con l'angolo al centro in radianti AOB.

Diremo che due punti B e B' della superficie sferica sono uno polare dell'altro se sono diametralmente opposti, cioè se sono allineati con il centro O della sfera.
Se A e B non sono uno polare dell'altro, il cerchio massimo per A e B è unico e passa anche per i polari A' e B' di A e B. Se allora la distanza (sulla sfera di raggio 1) di A da B è ϕ radianti, la distanza di A dal polare B' di B è π–ϕ radianti.
Dati due punti fissi A e B sulla sfera, diciamo "iperbole sferica" il luogo (sulla sfera) dei punti P che distano distanze da A e B ϕPA e ϕPB (rispettivamente) tali che risulti:
PA – ϕPB| = ϕ = costante > 0.
Occhio! La differenza è presa in valore assoluto!
Il luogo sarà fatto allora da due rami. In uno sarà:
(1) ϕPA – ϕPB = ϕ > 0;
Nell'altro sarà:
(2) ϕPB – ϕPA = ϕ > 0.

Prendiamone uno, per esempio il primo, cioè quello espresso dalla formula (1).
Se ora consideriamo il punto B' polare di B, abiamo:
ϕPB = π – ϕPB'.

Con ciò, il luogo (1) diventa:
ϕPA – (π – ϕPB') = ϕ > 0.
Da qui si ha subito:
ϕPA + ϕPB' = ϕ + π = costante.

A sinistra abbiamo la somma delle distanze di P dai due punti fissi A e B'.
Dunque, un ramo di iperbole sferica di fuochi A e B è effettivamente una "ellisse sferica" di fuochi A e B' (polare di B).

L'altro ramo di iperbole sferica ci dà l'ellisse sferica di fuochi A' (polare di A) e B. Da (2) abbiamo infatti:
ϕPB – (π - ϕPA') = ϕ > 0,
ossia:
ϕPB + ϕPA' = ϕ + π.

A questo punto, fare un programma che, fissati A e B come "fuochi" di una iperbole sferica e ϕ come distanza tra i "vertici" della voluta iperbole sferica, calcoli con metodo Montecarlo l'area di un lembo di superficie sferica circoscritto da un ramo di tale iperbole (che, come abbiamo visto, è anche una ellisse di distanza tra i vertici ϕ+π) diventa una cosetta molto facile!
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Revenac! Dove ti seri cacciato? Non ti interessa più?
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Ulteriore miodifica per nuovo esperimento anti-"quadratini", dom. 20.06.10 h 22:30
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 20-06-10 20:38.
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Vecchio 20-06-10, 11:42   #10
Mizarino
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Predefinito Re: area ellisse sferica

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Revenac! Dove ti seri cacciato? Non ti interessa più?
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Forse si è spaventato ... o forse gli è andato bene il link che ho postato io ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
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