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Vecchio 10-11-08, 06:06   #1
Erasmus
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Predefinito Inconsueto sviluppo di funzioni periodiche in serie di Fourier.

1 Richiamo
Il modo tradizionale di sviluppare una funzione periodica – per semplicità supponiamola di periodo 2*PI, ossia di pulsazione unitara – è quello di calcolare i coefficienti Sn e Cn delle componenti (rispettivamente) in seno e coseno secondo quanto mostro nella
=> Figura 1

Se è abbastanza facile, applicando questo metodo "per integrazione", sviluppare, per esempio, l'onda quadra q(x) – quella che si alterna tra 1 e –1 ad ogni semiperiodo – non altrettanto facile risulta questo metodo per esempio per la funzione:

f(x) = (1/2)* ln{[1 + sin(x)]/[1–sin(x)]}

Vedi => Figura 2

------------------------------------------------------

A volte , come nei due casi appena considerati in Figura 2, si può sviluppare una funzione periodica in serie di Fourier sfruttando le uguaglianze
sin(x) =[e^(ix) – e^-(ix)]/(2i)
cos(x) = [e^(ix) + e^–(ix)]/2
e qualche conoscenza di analisi (anche nel campo dei numeri complessi).

Facciamo l'esempio dell'onda quadra.
Essa si può scrivere come in
=> Figura 3

Infatti, al tendere a 1 di k, l'argomento dell'arcotangente tende all'infinito [col segno che avrebbe cos(x)]; per cui l'arcotangente tende a PI/2 dove è cos(x)>0 e a –PI/2 dove è cos(x) <0.

Mettiamo ora [e^(ix) + e^–(ix)]/2 al posto di cos(x); e ricordiamo che:

p = tan(phi) e q = tan(psi) => tan(phi + psi) = (p+q)/(1 – pq)

Ciò equivale a dire:
• arctan[(p+q)/(1–pq)] = arctan(p) + arctan(q).

Seque allora lo sviluppo della funzione f(x, k) come in
=> Figura 4
e infine quello dell'onda quadra q(x) passando al limite per k tendente ad 1.

Bye, bye
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Vecchio 10-11-08, 06:11   #2
Erasmus
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Predefinito Re: Inconsueto sviluppo di funzioni periodiche in serie di Fourier.

Metto qua la Figura 4 che non ho potuto allegare di sopra:
=> Figura 4

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Vecchio 10-11-08, 06:57   #3
Mizarino
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Predefinito Re: Inconsueto sviliiio di funzioni periodiche in serie di Fourier.

Eheh, farlo con l'evezione è più facile ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 10-11-08, 18:59   #4
Erasmus
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Predefinito Re: Inconsueto sviluppo di funzioni periodiche in serie di Fourier.

Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
Eheh, farlo con l'evezione è più facile ...)
Ma no?
E l'evezione ... non avevi detto che era lo stato di euforica eccitazione (scientifica, of course) di quel tizio che l'aveva inventata ed aveva la "erre moscia" ?!?
================================================

Allora: ti sei mostrato un tempo esperto di "opere di misericordia spirituali".
Una dice: «Insegnare agli ignoranti», tra i quali (in merito a quanto ... boffonchi, mica universalmente ) ci sta Erasmus.
Suvvia: sii meno ermetico!
================================================

E del tema specifico di questo thread – che oggi ho un po' ripulito da una miriade di orrori/errori di battitura ... incapace però di correggere i'orrore degli orrori che sta nel titolo – non hai da dire nient'altro che quel sibillino accenno all'evezione !?


Eia ergo, Miza: pròdigati, sprècati, sbràcati un po'!
========================================

Ti dò altre due ... pensate.
1) Pensa una funzione periodica come la ripetizione regolare ad ogni periodo – che continuiamo a supporre 2*PI – di una funzione impulsiva (1) h(x):

f(x) = Somma per n da –oo a +oo di h(x–2n*PI).

(1) La funzione h(x) è "impulsiva" se è integrabile in ogni intervallo e se esiste finito il suo integrale da –oo a +oo.
[In generale, sostituendo 2*PI con X>0 qualsiasi, è detta "seguenza di h(x – nX)" la somma di queste funzioni impulsive (ottenute da h(x) per pura traslazione d'ascissa) per n da –oo a +oo].



E' noto che, se H(iw) è la Fourier-trasformata di h(x) (2) della funzione impulsiva h(x) e se Re(w) è la parte reale di H(iw) e iIm(w) ne è la parte immaginaria, allora i coefficienti M, Sn e Cn dello sviluppo in serie della funzione periodica f(x) di periodo X sequenza di h(x–nX), posto wn = 2nPI/X la pulsazione della n-esima armonoca, sono:

M = (1/X)*Re(0); Sn = –(2/X)*Im(2nPI/X); Cn = (2/X)*Re(2nPI/X).

(2) La "Fourier-trasformata" di una funzione impulsva h(x) è la funzione H(iw), [con w reale e i^2 = –1] complessa (in particolare reale se h(x) = h(–x) ed immaginaria se h(x) = –h(–x)]:

H(iw)= Integrale da –oo a +oo di [h(x)*e^(–iwx] dx =Re(w) + i X(w) (con Re e Im reali).


Fatta questa premessa, strano ma vero è che:

Se h(x) = (1/2)* ln|(x+PI/2)/(x–PI/2)| allora:
H(iw) = –i(PI^2)*[sin(PI*w/2)]/(PI*|w|/2).
[NB: h(x) è ora "funzione dispari": h(x) = –h(–x), Alora H(iw)= iIm(w), pure dispari (in w)]-

Di conseguenza, la sequenza f(x) delle h(x –2nPI) risulta:
f(x) = 2*[Somma per n da 0 a +oo di 2*(–1)^n]*sin[(2n+1)x]/(2n+1) =
= (1/2)ln{[1+sin(x)]/[1–sin(x)]}.

Io trovo meraviglioso il ricorrere delle connessioni della funzione si(phi)/phi con vari argomenti di analisi ...
Qui, per esempio, è la Fourier trasformata ad avere tale andamento (in w).
Se consideri un filtro passa-basso ideale (cui ti puoi approssimare nel reale "a piacere"), tale cioè da avere una risposta a spettro piatto e finito (diagramma cartesiano dello spettro "rettangolare"), allora è la risposta all'impulso (di Dirac) ad avere un andamento sin(phi)/phi (con phi proporzionale al tempo); e la "impedenza di ingresso" al filtro, diciamola Z(iw) = R(w) + i X(w), ha la "resistenza" R(w) fatta come la risposta, (costante in una banda finita da –wo a +wo e nulla altrove), e la "reattanza" X(w) del tipo
X(w)= A*ln|(w + wo)/(w–wo)|, (con A e wo costanti).

Non è ... semplicemente meraviglioso?

=================

Ecco l'altra pensata che ti reagalo!
2) La funzione tan(x) è periodiica di periodo PI.
Immaginiamo che sia sviluppabile in serie di Fourier.
Allora ci mettiamo a calcolare i coefficienti M, Sn e Cn come detto in Figura 1.
Con un po' di pazienza scopriamo che, [oltre ad essere ovviamente M = 0 e Cn=0 per ogni n intero positivo]:

Se n è dispari allora Sn = zero; altrimenti (cioè se n è pari, n= 2 volte un altro intero, diciamo n = 2m)
Sn = 2* [(–1)^(m–1)].


Ma, ovviamente, la serie:

F(x) = 2*sin(2x) –2*sin(4z)+2*sin(6x)–2*sin(8x) + ...

non converge!

E' un po' quel che succede con la serie geonetrica di ragione –x:
g(x) = 1– x + x^2 – x^3 – x^4 + ...
Se x è un pelo minore di 1 g(x) converge a 1/(1+x) che è un pelo maggiore di 1/2.
Me se x vale esattamente 1 allora la serie è eternamente oscillante tra 0 e 1. 1/2 è solo il valor medio [S(n)+S(n+1)]/2 tra due "troncamenti" consecutivi.
Pensiamo ora ad un sistema fisico oscillante spontaneamente (molla-massa, induttore-condensatore, pendolo, ecc.). Mannaggia al 2° principio della termodinamica: che un sistema siffatto "oscilli uguale" in eterno è solo una astrazione! A lungo andare l'oscillatore diminuirà l'ampiezza di oscillazione e questa tenderà a zero.
L'ampiezza di oscillazione di 1 – x + x^2 – x^3 + x^4 – x^6 + ... è costantemente 1/2 per x=1: ma per x un pelo più piccolo diminuisce progressivamente e tende a zero.
Insomma: per certa gente (fine 700 e inizio 800, anche per Abel, se non sbaglio), la serie 1–1+1–1+1–1+ ... vale 1/2. Questo è il limite dei limiti delle serie geometriche 1– x + x^2 – x^3 – x^4 + ... per 0 < x < 1 al tendere di x ad 1.
Qualcosa del genere succede per lo sviluppo in serie di Fourier di tan(x).

Se attenuiamo le componenti 2*[ (–1)^(n–1)]*sin (2nx) con un fattore k^(2n), dove |k| è un pelo minore di 1, la serie:
t(x) = 2*[(k^2)*sin(2x) – (k^4)*sin(4x) + (k^6)*sin(6x) – (k^8)*sin(8x) + ...]
tende a:

t(x) = [sin(x) * cos(x)] /{[k – 1/k)/2]^2 + [cos(x)]^2}

Bravo chi riesce a leggerla, questa formula!
Allora vado a fabbricarla iin una figura. Ve la mostro in
=> Figura 5.

Ciao Miza.
Ciao a tutti.
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 20-11-08 03:27.
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Vecchio 10-11-08, 20:06   #5
Mizarino
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Predefinito Re: Inconsueto sviliiio di funzioni periodiche in serie di Fourier.

Quote:
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Ecco l'altra pensata che ti reagalo!
2) La funzione tan(x) è periodica di periodo PI.
Immaginiamo che sia sviluppabile in serie di Fourier.
Erasmus ...
Scommetto che se tu fossi stato un alchimista del '400 avresti provato a trasmutare l'oro in piombo, visto che non ti interessava la sostanza, ma il metodo ...
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Vecchio 10-11-08, 23:55   #6
Erasmus
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Predefinito Re: Inconsueto sviluppo di funzioni periodiche in serie di Fourier.

Quote:
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Erasmus ...
Scommetto che se tu fossi stato un alchimista del '400 avresti provato a trasmutare l'oro in piombo, visto che non ti interessava la sostanza, ma il metodo ...
Tu sei lo specialista delle scommesse assurde: che senso ha dire: «scommetto che .. se fossi stato un alchimista del '400»?

Va beh: c'è chi crede all'astrologia e chi crede alla possibilità che le Parche possano riavvolgere la matassa del tempo che hanno già svolto ...
----------------------------------------------------------------------------

Ti offro qualche spunto di meditazione (filosofica!)
«Tutto, al mondo, è smussato; e non ci sono cuspidi infinitamente alte».
Una forma d'onda è tanto più smussata quanto meno armoniche ha.
In pratica, tutto è pensabile in termini di sinusoidi, tan(x) compresa.
Nessuno ha il tempo di contare all'infinito. Le armoniche di frequenza troppo alta (al di sopra di una certa soglia) le possimao buttar via. I filtri servono appunto a questo. E la somma di un numero finito di armoniche è sempre continua e derivabile in ogni punto!
L'equazione differenziale delle sinusoidi è lineare [y'' = –(w^2)y], quella della tangente no, [y' = 1+y^2].
Nulla è esattamente lineare, ma la linearizzazione è in pratica la protagonista di ogni scienza.
E che sarebbero le telecomunicazioni senza il principio di sovrapposizione degli effetti [valido se e solo se i sistemi sono (fossero) lineari]?
Caro Miza: l'alchimista che ha trasformato il piombo in oro (e non viceversa) è proprio Fourier!
Dopo di lui, per studiare un sistema sottoposto a sollecitazioni:
a) Si linearizza il sistema
b) Si pensano le sollecitazioni (inputs: stimoli, cause) comunque siano fatte composizione di sollecitazioni sinusoidali.
Se il sistema è lineare, uno stimolo sinusoidale da una risposta sinusoidale alla stessa frequenza; e se uno stimolo è composto da due sinusoidali (diciamo s = s1 + s2), è solo supponendo il sistema lineare che possiamo calcolare la risposta del tipo r = As1 + Bs2 (con A e B dipendenti dal sistema ma non dagli stimoli).
Questo giochino nella Natura non c'è esattamente, ma chissenefrega?! C'è esattamente solo nello "spirito umano" (nelle sue attività logiche), fin dall'infanzia e fin dall'età della pietra. L'Uomo ha linearizzato la Natura!

Torno a bomba: non banalizzare il mio studio sulla possibilità di vedere pure la funzione tangente sviluppabile in serie di funzioni circolari.
Guarda qua cosa vuol dire che nessuna cuspide è infinitamente alta e che di un segnale cogliamo le armoniche solo in una certa banda (quindi: lo smussiamo!)

Figura 6

===================
Poi mi spiegherai:
« Sviluppi in serie di Fourier di funzioni periodiche con l'evezione
Se è tanto facile come hai detto, non ti sarà difficile spiegare al popolo, np?
Intanto ... ripassati lo sviluppo in serie di Fourier di tan(x) ... con lo spirito "euristico" degli studiosi (di serie) del '700 (Eulero compreso, che però, a meno che non fosse come "terminator & Co" [che viaggiono nel futuro e ... ci vanno e vengono a piacere loro], Fourier ancora non l'aveva incontrato.

Bye, bye , Miza

Ciao a tutti
[Ci scommetto che Nino c'è a curiosare anche qua!]
.
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Ultima modifica di Erasmus : 11-11-08 00:18.
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Vecchio 11-11-08, 09:41   #7
Mizarino
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Predefinito Re: Inconsueto sviluppo di funzioni periodiche in serie di Fourier.

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Tu sei lo specialista delle scommesse assurde: che senso ha dire: «scommetto che .. se fossi stato un alchimista del '400»?
Scherzi a parte, non sottovalutare il significato di una "scommessa ipotetica".
Se aggiunge anche la "quotazione" della scommessa (es 10:1), si tratta del modo più preciso possibile di esprimere, in linguaggio colloquiale, la propria valutazione soggettiva su un fatto o una situazione incerti o indimostrabili.
Quote:
Caro Miza: l'alchimista che ha trasformato il piombo in oro (e non viceversa) è proprio Fourier!
E lo dici a me ? Visto che si parla di piombo, con le serie di Fourier ci puoi descrivere anche la forma della scultura astratta che si ottiene versando in acqua del piombo fuso! (ci hai mai provato ? - intendo a colare il piombo fuso in acqua, non a descriverlo con una Fourier ...).
Quote:
Torno a bomba: non banalizzare il mio studio sulla possibilità di vedere pure la funzione tangente sviluppabile in serie di funzioni circolari.
Non te la prendere, io banalizzo tutto, in primis le cose che faccio io, trovandoci gli aspetti buffi o paradossali. Nello specifico immagino quello che lavora una settimana a creare una Fourier convergente della tan(x), e arriva un ragazzino con la macchinetta, preme il tasto "tan" e ...
Quote:
Poi mi spiegherai:
« Sviluppi in serie di Fourier di funzioni periodiche con l'evezione
Se è tanto facile come hai detto, non ti sarà difficile spiegare al popolo, np?.
Beh, ci vuole un po' e mi serve del tempo che in questi giorni non ho. Ma prometto di tornarci su (non solo per l'evezione) ...
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Vecchio 11-11-08, 15:46   #8
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.
Certo che ci sono,e sono 2 giorni che mi domando e ti chiedo come mai non riesco a vedere la
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Vecchio 11-11-08, 17:52   #9
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Certo che ci sono, e sono 2 giorni che mi domando e ti chiedo come mai non riesco a vedere la figura 1
Ad un certo punto è sparita dall'elenco degli allegati.
Come e perché è per me un mistero ...

Da qualche parte c'è, però.
Se clicco sul link che c'è all'inizio mi si apre regolarmente con questo URL:
Codice:
http://www.trekportal.it/coelestis/attachment.php?attachmentid=2794&stc=1&d=1226285842
Provalo qua sotto come "link":
=>Figura 1

Io ho 'postato' una JPEG col nome "Figura_1" ed estensione ".jpg"
Perché il sistema metta qull'URL non lo so.
Per fare i link nel testo faccio così:
a) Durante la fase di composizione del messaggio (sia esso di apertura d'un thread o di risposta ad un altro nessaggio) clicco su "gestione degli allegati" e carico il file che voglio.
b) Andando col cursore sul link del mio allegato appena caricato metre tengo premuto il tasto "ctrl" si apre li sul posto un menù in cui c'è "copia link". Così copio l'indirizzo,
[Lo so che voi lo fate col tasto destro. Ma il mouse del Mac ha un solo tasto!]
c) Richiamo dal testo questo URL come richiamerei qualsiasi altro, col solito modo:
[url=ecc ...]

Ma avevi provato a cliccare sulla parola "Figura_1" in rosso all'ìinizio del primo "post"?

Per favore (lo chiedo a te ma anche ad ognuno intervenuto o che interverrà):
CORREGGETE IL TITOLO DELLA VOSTRA PAGINA!
Vedi Nino che al posto di "sviluppo" c'è "sviliiio"
Come ho fatto a scrivere quella parola lì ... Dio solo lo sa!

Ciao, ciao

-----------------
P.S del mer. 12 nov. 2008, h 14:15
Occhio!
Ho appena modificato mettendo una nuova "Figura_1" in sostituzione di quella precedente che si è perduta chissà dove e perché!
L'URL di quella nuova è:
Codice:
http://www.trekportal.it/coelestis/attachment.php?attachmentid=2815&stc=1&d=1226495166
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Ultima modifica di Erasmus : 12-11-08 13:17.
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Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio

Ma avevi provato a cliccare sulla parola "Figura_1" in rosso all'ìinizio del primo "post"?


CORREGGETE IL TITOLO DELLA VOSTRA PAGINA!
Vedi Nino che al posto di "sviluppo" c'è "sviliiio"
Come ho fatto a scrivere quella parola lì ... Dio solo lo sa!

Ciao, ciao
Si Erasmus,ho provato sin dal primo giorno a cliccare su figura 1 ma non si apriva ma non importa se come penso che l'immagine dovrebbe essere una normale sinusoide e,come hai fatto a scrivere sviliiio ? Penso ti sarà rimasto incastrato un tasto o si è incantato il dito,che ne so,figurati che io avevo pensato che non fosse un errore ma volevi scrivere qualcosa come svilimento o qualcosa di simileCiao.
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