Qualche quiz

[Erasmus]

aspesi

a)Supponiamo di avere scritto tutti i numeri interi da 1 a N, uno di seguito agli altri nel loro ordine naturale.
Come trovare una cifra di posizione determinata, per esempio che cifra è la 552715ma?

Ho ragionato così

Tra           1 e            9   ho           1*9                  9 cifre | Totale parziale           9
Tra         10 e           99   ho         2*90 =           180 cifre | Totale parziale        189
Tra       100 e         999   ho        3*900 =         2700 cifre | Totale parziale       2889
Tra     1000 e       9999   ho       4*9000 =       36000 cifre | Totale parziale     38889
Tra   10000 e     99999   ho      5*90000 =     450000 cifre | Totale parziale   488889
Tra 100000 e  999999    ho     6*900000 =   5400000 cifre | Totale parziale 5888889
....

La 488889-ma cifra è dunque l'ultima del numero 99999.

552715 –
488889=
------------
063826

Ora so che la 552715-ma cifra è una di un numero X di 6 cifre, quindi maggiore di 99999
Mi restano 63825 cifre da consumare con numeri di 6 cifre

63826 : 6 = 10637
resto 4

63822 = 6*10637 cifre sono consumate dai 10637 numeri successivi a 99999...e si arriva a 110636.

Siccome il resto è 4, trattasi della 4ª cifra nel numero successivo X = 110637.


La cifra richiesta è la 4ª cifra di 110637 , cioè 6.

[aspesi]

Erasmus

Ho ragionato così[code]

.......

La cifra richiesta è la 4ª cifra di 110637 , cioè 6.

Adesso, la formuletta per calcolare il numero di cifre X fra 1 e N...

[Erasmus]

aspesi

Adesso, la formuletta per calcolare il numero di cifre X fra 1 e N...

Risolvere la prima parte a) vuol dire capire come fare anche nella seconda parte b)

Se il numero N è di (n +1) cifre, considero i primi 10^n – 1 numeri scritti, l'ultimo dei quali è proprio 10^n –1 ed è fatto da n "nove".
Gli altri N – (10^n – 1) numeri sono tutti di (n+1) cifre e daranno
C2 = (n+1)·(N – 10^n + 1) cifre.

Le cifre dei numeri da 1 a 10^n – 1 sono date da
9 numeri da una cifra
90 numeri da due cifre
900 numeri da tre cifre
...
9·10^(n–1) numeri da n cifre.

Dànno allora un numero di cifre complessivo:
C1 = 9 + 2·90 + 3·900 + ... + n·9·10^(n–1) =
= (10 – 1)·[1 + 2·10 + 3·10^2 + ... n·10^(n–1] =
= – [1 + 2·10 + 3·10^2 + ... n·10^(n–1] + 10·[1 + 2·10 + 3·10^2 + ... n·10^(n–1]; da cui:

C1 = – 1  –2·10  – 3·100  – 4·1000   ...  – (n–1)· 10^(n–2)      – n·10^(n– 1) +
                + 10  +2·100 + 3·1000   ...  + (n–2)·10^(n–2) +(n–1)·10^(n–1)  + n·10^n =
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
        –1     –10   – 100     –  1000  ....         –      10^(n–2)      –      10^(n–1)  + n·10^n.

C1= n·10^n – [1 + 10^1 + ... +10^(n–1)] = n·10^n – (10^n – 1)/9.

Il numero totale di cifre è dunque:
C(N) = C1 + C2 = n·10^n – (10^n – 1)/9 + (n+1)·(N – 10^n + 1).

Si noti che 2^n – 1 è fatto da n cifre tutte uguali a 9 e quindi (10^n – 1)/9 è fatto da n cifre tutte uguali a 1.
----------------
In verità, per calcolare la parte C1 di C(N), io ho derivato l'uguaglianza:
1 + x + x^2 + ... + x^n = [x^(n+1)–1]/(x–1)
ricavando:
1 + 2·x + 3·x^2+ ... + n·x^(n–1) = [(n+1)·x^n]/(x – 1) – [x^(n+1) – 1]/(x – 1)^2.
Poi ho moltiplicato i membri di questa per (x–1) ottenendo:
(x –1)·[1 + 2·x + 3·x^2+ ... + n·x^(n–1)] = n·x^n – (x^n –1)/(x – 1).

Quest'ultima, per x= 10 ed (n+1) pari al numero di cifre di N, dà il numero di cifre C1 della prima parte della lista (degli N numeri da 1 a N), quella da 1 a 2^n – 1.
-------------
Proviamo un esempio: N = 3762.
Allora n = 3.
Abbiamo:
1 cifra per i 9 numeri da 1 a 9 –––> 9 cifre
2 cifre per i 90 numeri da 10 a 99 –––> 180 cifre
3 cifre per i 900 numeri da 100 a 999 –––> 2700 cifre
4 cifre per i restanti 3762 – 999 = 2763 numeri da 1000 a 3672 ––> 11052 cifre

In tutto
9*(1+20 + 300) + 11052 = 2889 +11052 =13941 cifre.

Ora 2889 = 3.10^3 – 111, dove 111 è appunto il numero fatto da 3 cifre uguali ad 1, ossia (10^3–1)/(10 – 1).

Con la formula generale
C(N) = n·10^n – (10^n – 1)/9 + (n+1)·(N – 10^n + 1)
per N = 3762 e n = 3 si trova:
3*10^3 – (10^3 – 1)/9 + 4*(3762 – 10^3 + 1) = 3000 – 111 + 4*2763 = 13941

Ciao, ciao

[aspesi]

Erasmus

Proviamo un esempio: N = 3762.
Allora n = 3.
Abbiamo:
1 cifra per i 9 numeri da 1 a 9 –––> 9 cifre
2 cifre per i 90 numeri da 10 a 99 –––> 180 cifre
3 cifre per i 900 numeri da 100 a 999 –––> 2700 cifre
4 cifre per i restanti 3762 – 999 = 2763 numeri da 1000 a 3672 ––> 11052 cifre

In tutto
9*(1+20 + 300) + 11052 = 2889 +11052 =13941 cifre.

Ora 2889 = 3.10^3 – 111, dove 111 è appunto il numero fatto da3 cifre uguali ad 1, ossia (10^3–1)/(100 – 1).

Con la formula generale
C(N) = n·10^n – (10^n – 1)/9 + (n+1)·(N – 10^n + 1)
per N = 3762 e n = 3 si trova:
3*10^3 – (10^3 – 1)/9 + 4*(3762 – 10^3 + 1) = 3000 – 111 + 4*2763 = 13941

Ciao, ciao

Ok Ok

Guarda questa soluzione:
Immaginiamo che i numeri siano scritti uno sotto l'altro (da 1 a N); quest'ultimo (N), lo supponiamo di m cifre e supponiamo ancora di aver completato ciascun numero con gli zeri necessari alla sinistra in modo da avere un quadro di numeri composti di un ugual numero di cifre. Completiamo infine con una prima fila di tutti zeri.

Il numero X di cifre da cercare si ottiene calcolando quanti sono i caratteri contenuti in tutto il quadro (cioè m*(N+1)) e sottraendone poi tutti gli zeri aggiunti.
Quanti sono gli zeri aggiunti?
Da 10^(m-1) a N non ne sono stati aggiunti.
Sopra 10^(m-1), nella prima colonna di sinistra si sono aggiunti 10^(m-1) zeri; nella seconda colonna, se ne sono aggiunti 10^(m-2); ecc.... ; sopra 10, nella seconda colonna a destra ne sono stati aggiunti 10; sopra di 1, nella prima colonna a destra ne è stato aggiunto 1.
Quindi, in tutto, sono stati aggiunti:
10^(m-1) + 10^(m-2) + ... + 10 + 1 ............... zeri
cioè:
(10^m - 1) / 9
e la formula per trovare X diventa:
X = m*(N + 1) - (10^m - 1) / 9

Nel tuo esempio (N=3762):
X = 4*3763 - (10^4 - 1) / 9 = 15052 - 1111 = 13941

[Erasmus]

Noi diciamo "diciotto" che vorrebbe dire 10 +8.
In latino 18 si dice "duodeviginti", che significa proprio duo-de-viginti, "due da venti" e vorrebbe dire 20 – 2.
Insomma, i latini pensavano 18 non come 8 unità dopo il 10 ma come 2 unità prima del 20.

Questa cosa mi viene in mente ... per analogia.

Io ho considerato il risultato come una somma di un numero in difetto col suo complemento.
Tu il risultato lo vedi come differenza tra un numero in eccesso ed il complemento del risultato a lui.

NB: Per non equivocare, mi uniformo ai tuoi simboli, con m numero di cifre di N e X numero totale di cifre.

Io ho preso come riferimento il numero:
Er =10^(m–1) – 1 ≤ N.

Tu prendi un analogo riferimento, ma quello successivo al mio, più grande, cioè:
As = 10^m – 1 ≥ N.

[NB: As = 10 Er + 9]

La verifica della equivalenza delle due formule eccola qua:
Formula tua:
X = m·(N + 1) – (10^m – 1)/ 9
La mia formula diventa:
X = (m–1)·10^(m–1) – [10^(m–1) – 1]/9 + m·[N –10^(m–1) + 1].
La trasformo un po' ...
X = (m–1)·10^(m–1) – [10^(m–1) – 1]/9 + m·[N –10^(m–1) + 1] =
= [(m–1) – m] ·10^(m–1) – [10^(m–1) –1]/9 + m·(N+1) =
= m·(N+1) – 10^(m–1) – [10^(m–1) –1]/9 =
= m·(N+1) –[(9 + 1)·10^(m–1)– 1]/9
= m·(N+1) –[10^m – 1]/9 = formula tua.
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[nino280]

Cento con tutte le cifre:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8*9) = 100
anche
123 - 45 - 67 + 89 = 100
somma dei primi 4 cubi
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100
Ma perchè parliamo del 100 cosa ha di particolare il 100 andiamo avanti allora:
101 ; è il più piccolo numero palindromo primo.
102^7 = 12^7 + 35^7 + 53^7 + 58^7 + 64^7 +83^7+ 85^7 + 90^7 ; la settima potenza di 102 è la più piccola ad essere la somma di soltanto 8 potenze.
103 ; è il più piccolo numero primo che hail reciproco con periodo decimale pari ad un terzo della lunghezza massima
104 ; è un semiperfetto perchè è la somma di alcuni dei suoi fattori:
52 + 26 + 13 + 8 + 4 + 1 = 104 ed è un numero perfetto irriducibile, in quanto nessun fattore di 104 è esso stesso semiperfetto.
105 ; se si sottrae da 105 una qualsiasi potenza di 2 , compresa tra 2 e 64 si ottiene un numero primo.
E cosi' via per tutti i secoli dei secoli Amen.
Ciao

[aspesi]

nino280

Cento con tutte le cifre:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8*9) = 100
anche
123 - 45 - 67 + 89 = 100
Ciao

100 = 74 + 25 + 3/6 + 9/18
100 = 98 + 1 + 3/6 + 27/54
100 = 95 + 4 + 38/76 + 1/2
100 = 91 + 7524/836
100 = 91 + 5742/638
100 = 91 + 5823/647
100 = 94 + 1578/263
100 = 96 + 1428/357
100 = 96 + 2148/537
100 = 96 + 1752/438
..........................2_.....3__
100 = 15 + 78 + \/ 9 + \/ 64

E, se vuoi usare anche lo zero:
50 + 49 + 1/2 + 38/76

[aspesi]

Indovina il numero

(Teorema cinese dei resti del matematico cinese Sun Tzu del III secolo)

Un mago ti chiede di pensare un numero intero da 1 a 105.
Dividi poi il tuo numero per 3 e gli dici il resto.
Dividi il tuo numero per 5 e gli dici il resto.
Fai infine lo stesso per 7 e gli dici anche qui il resto.

Come fa il mago (senza ovviamente guardare la tabellina
dei resti) ad indovinare il tuo numero?

[Erasmus]

Cambio argomento.

La figura qui sotto vorrebbe rappresentare un "circuito a ponte" composto di cinque resistori di rispettive resistenze R1, R2, R3, R4 ed R5 alimentato da batteria di tensione E.

I valori delle resistenze R1, R2, R3, R4 ed R5 e quello della tensione applicata E sono dati nella stessa figura.

          ______________              ______________
   ______|              |______B_____|              |______
  |I1 —> |______________|      |I3   |______________|I2 —> |
  |            R1            __|__           R2            |
  |                         |     |                        |
  |                         |     | R3                     |
  |                         |     |                        |
  |                         |     |                        |
  |      ______________     |_____|    ______________      |
  |_____|              |_______|______|              |_____|
  |I4 —>|______________|      C       |______________|I5 —>|
 I|          R4                            R5              |
  |                                                        |
A o <——————————————————— V ——————————————————————————————— o D


R1 = 3 kΩ
R2 = 6 kΩ
R3 = 5 kΩ
R4 = 6 kΩ
R5 = 3 kΩ

E = 27 V

Determinare:
a) La corrente I3 nel resistore di resistenza R3.
b) La resistenza d'ingresso Rin della rete dei cinque resistori, ossia quella tra i morsetti A e D, cioè il rapporto Rin = V/I.
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[aspesi]

Erasmus

Determinare:
a) La corrente I3 nel resistore di resistenza R3.
b) La resistenza d'ingresso Rin della rete dei cinque resistori, ossia quella tra i morsetti A e D, cioè il rapporto Rin = V/I.
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Con tutti gli studentelli che senz'altro ci sono anche su questo forum, dovrei risponderti io che da 50 anni non sento più nodi e maglie di Kirchhoff, che non le ho mai sapute bene e che non ho mai avuto l'opportunità di utilizzarle in vita mia?

Sparo (anche solo per incentivare qualcun altro a correggermi....):
a) I3 = 1,125 mA
b) Rin = 4,8 kΩ

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C'è ancora questo:
#140