Easy quiz(zes): but mathematical!

[Erasmus]

Posto
            S(n) = 1/2 + 3/8 + 5/32 + ... + (2n+1)/2^(2n+1)
ossia 
           S(n) = <Somma, per k da 0 a n, di (2k+1)/2^(2k+1>,
trovare:
a)        S(∞) =     lim   S(n).
                       n ––> ∞
b)        Scriivere  S(n) come funzione diretta di n. 
Più facile:
c) Verificare che
                       10             6n+11
           S(n) = ––––– – –––––––––––––.
                        9          9·[2^(2n+1)] 

–––



P.S. (lun. 14.12.2015 h21:49)
Edito per correggere e rendere visibile quanto prima scritto in "color=pink" (che ora converto in "color=blue")-

[aspesi]

Erasmus

[code]Posto
S(n) = 1/2 + 3/8 + 5/32 + ... + (2n+1)/2^(2n+1)
trovare:
a) S(∞) = lim S(n).
n ––> ∞

–––

= 1 + 1/9

[Erasmus]

aspesi

S(∞) = 1 + 1/9

Sì, (io avevo in mente 10/9).
Però, ... è troppo facile dare il solo valore (con i mezzi di calcolo automatico di cui si dispone oggi).
Sarebbe più interessante una verifica "teorica", a monte del calcolo numerico (che tu fai fare ad Excell ed io a Grapher).
----------
Supponiamo, più in generale, che la somma da calcolare sia
S(n, m) = 1/m + 3/m^3 + 5/m^5 + ... +(2n+1)/m^(2n+1).
Quale sarebbe allora l'espressione di S(n, m) come funxìzione diretta di n ed m?
[Il quiz in corso è il caso particolare per m = 2].
E quale sarebbe il limite di S(n, m) per n tendente a ∞ – diciamolo S(∞, m) – ?
––––

[Erasmus]

@ aspesi.
1) Perché hai risposto solo al punto a)?
2) Sei sicuro d'aver letto tutto nel mio messaggio ––> # 632?
3) Passato il mal di schiena?
––––

[aspesi]

Erasmus

@ aspesi.
1) Perché hai risposto solo al punto a)?
2) Sei sicuro d'aver letto tutto nel mia messaggio ––> # 632?
3) Passato il mal di schiena?
––––

1) Perché il resto non lo so fare
2) Sì, ma non mi va di verificare quello che hai scritto in linen o qualcosa del genere (che fra l'altro non ho capito)
3) Un po' meglio (a furia di cortisonici...); dopo le feste farò una serie di analisi e esami.

[Erasmus]

aspesi

1) Perché il resto non lo so fare

Il colore era "color=pink" ... si vede che qui hanno una strana idea del colore"rosa"!
L'ho sostituito con "color=blue" (rendendo palese quel che prima era invisibile).

Ti manderò un messaggio privato ...
–––

[Erasmus]

Erasmus

Posto
              S(n) = 1/2 + 3/8 + 5/32 + ... + (2n+1)/2^(2n+1)
ossia 
     (*)    S(n) = <Somma, per k da 0 a n, di (2k+1)/2^(2k+1>,
[...] Verificare che
                           10             6n+11 
    (**)    S(n) = ––––– – –––––––––––––.
                            9          9·[2^(2n+1)] 

La verifica è facile ragionando per induzione completa.

a) Prima verifichiamo che la (**) va bene per n = 0 e per n = 1.
Dalla (*) viene:
S(0) = 1/2;
S(1) = 1/2 + 3/8 = 7/8.
Dalla (**) viene:
S(0) = 10/9 – 11/(9·2) = (20 – 11)/18 = 9/18 = 1/2 [come dalla (*)];
S(1) = 10/9 – (6 + 11)(9·8) = (80 – 17)/72 = 63/72 = 7/8 [come dalla (*)].

b) Poi verifichiamo che, se la (**) va bene per n = m, allora va bene anche per n = m+1.

Se la (**) va bene per n = m, ossia se è giusto:
S(m) = 10/9 – (6m + 11)/[9·2^(2m+1)]
allora, essendo S(m+1) = S(m) + (2m+3)/[2^(2m+3)], è giusto anche:
S(m + 1) = 10/9 – (6m + 11)/[9·2^(2m+1)] + (2m + 3)/[2^(2m + 3)] =
= 10/9 – (24m+44 – 18m – 27)/[9·2^(2m+3)] =
= 10/9 – (6m + 17)/[9·2^(2m+3); ossia:

                 10         6(m+1) + 11
S(m+1) = –––– – –––––––––––––––.
                  9       9·2^[2(m+1)+1]

Quindi, il fatto che la (**) vada bene fino a n=m comporta che vada bene anche per n = m+1. Ma allora, siccome è già stato verificato che va bene per n = 0 e per n = 1, la (**) va bene per ogni n naturale.
–––

[Erasmus]

Quanto dista l'ortocentro [di un triangolo] dai vertici [del triangolo]?

Formlizziamo:
Nel triangolo ABC siano note le lunghezze dei lati, cioè:
a = BC;
b = CA;
c = AB.
Sia O l'ortocentro di ABC e si ponga
x = OA;
y = OB;
z = OC.
Determinare x, y e z.

[astromauh]

Erasmus

Quanto dista l'ortocentro [di un triangolo] dai vertici [del triangolo]?

Formlizziamo:
Nel triangolo ABC siano note le lunghezze dei lati, cioè:
a = BC;
b = CA;
c = AB.
Sia O l'ortocentro di ABC e si ponga
x = OA;
y = OB;
z = OC.
Determinare x, y e z.

Ho scritto un programma per rispondere al tuo quesito:

TRIANGOLI

Spero di non aver sbagliato qualcosa...

Perché non l'ho controllato bene.

[Erasmus]

astromauh

Ho scritto un programma per rispondere al tuo quesito:

TRIANGOLI

Molto bello.
Ma ... metti anche il testo del problemino se non si capisce che fa il programma.
––––––
Vedo che hai risolto il problema analiticamente.
Ma si può anche procedere per via puramente geometrica e ricavare la funzione esplicita f tale che
x = OA = f(a, b, c);
y = OB = f(b, c, a);
z = OC = f(c, a, b).

Ecco qua:

                            | –a^2 + b^2 + c^2|                                      | b^2 + c^2 – a^2|
x = a –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = a –––––––––––––––––
         √[2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 – (a^4 + b^4 + c^4)]                  4 S



                            | –b^2 + c^2 + a^2|                                       | c^2 + a^2 – b^2|
y = b –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = b –––––––––––––––––
         √[2(bc)^2 + 2(ca)^2 + 2(ab)^2 – (b^4 + c^4 + a^4)]                  4 S


                            |– c^2 + a^2 + b^2|                                      | a^2 + b^2 – c^2|
z = c –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = c–––––––––––––––––
         √[2(ca)^2 + 2(ab)^2 + 2(bc)^2 – (c^4 + a^4 + b^4)]                  4 S

dove S è l'area  di ABC.

–––––