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Vecchio 09-01-11, 14:00   #331
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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astromauh Visualizza il messaggio
Però esteticamente la pagina è molto bella!
Concordo
Però è inutile, se non la correggi...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 09-01-11, 20:23   #332
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Baricentro del tetraedro (o piramide triangolare)

Presupposti
a) La scrittura p = [X, Y, Z] sta a significare la posizione di un punto di coordinate cartesiane (ortogonali ed isometriche, of course) X, Y e Z.
b) Si ammette che la posizione pG del baricentro d'un triangolo omogeneo le posizioni dei cui vertici sono:
v1 = [X1, Y1, Z1], v2 = [X2, Y2, Z2] e v3 = [X3, Y3, Z3]
è:
pG = [(X1 + X2 + X3)/3, (Y1+ Y2 + Y3)/3, (Z1 + Z2 + Z3)/3].

Il quiz (facile facile)
I vertici d'un tetraedro omogeneo hanno posizioni rispettive:

p1 = [X1, Y1, Z1];
p2 = [X2, Y2, Z2];
p3 = [X3, Y3, Z3];
p4 = [X4, Y4, Z4].

Scrivere la formula della posizione pG del baricentro del tetraedro e darne una giustificazione (il più terra-terra possibile).

--------------------
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 09-01-11 20:30.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 09-01-11, 22:25   #333
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Baricentro
Per me, il baricentro è .... più o meno .... il centro di Bari...

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Il quiz (facile facile)
I vertici d'un tetraedro omogeneo hanno posizioni rispettive:

p1 = [X1, Y1, Z1];
p2 = [X2, Y2, Z2];
p3 = [X3, Y3, Z3];
p4 = [X4, Y4, Z4].

Scrivere la formula della posizione pG del baricentro del tetraedro e darne una giustificazione (il più terra-terra possibile).

--------------------
Potrebbe essere semplicemente:
pG = [(X1 + X2 + X3 + X4)/4, (Y1+ Y2 + Y3 + Y4)/4, (Z1 + Z2 + Z3 + Z4)/4].

Mi pare di ricordare che il baricentro è il punto d'incontro delle tre mediane.
E che per il tetraedro, come per il triangolo, è quindi il punto in cui risulta minima la somma dei quadrati delle distanze dai vertici.

Di più... non mi viene.
Buona notte
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-01-11, 03:50   #334
astromauh
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Do la soluzione.
Ho corretto l'algoritmo.

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astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-01-11, 05:59   #335
Mizarino
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Scrivere la formula della posizione pG del baricentro del tetraedro e darne una giustificazione (il più terra-terra possibile).
Scusa, Erasmus, ma visto che il tetraedro è omogeneo, la domanda equivale a chiedere il baricentro dei quattro vertici, che naturalmente ha per coordinate le tre medie aritmetiche delle coordinate dei vertici ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-01-11, 09:03   #336
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
Ho corretto l'algoritmo.

Perfetto

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-01-11, 10:31   #337
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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aspesi Visualizza il messaggio
Potrebbe essere semplicemente:
pG = [(X1 + X2 + X3 + X4)/4, (Y1+ Y2 + Y3 + Y4)/4, (Z1 + Z2 + Z3 + Z4)/4].
E' così, senza condizionali.
Ma ... troppo facile per uno che "si fida del suo intuito" (col quale estrapola).
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Mi pare di ricordare che il baricentro è il punto d'incontro delle tre mediane.
Questa è la definizione geometrica di baricentro inteso quale particolare punto in relazione con un "triangolo" (geometrico, astratto). Naturalmente il nome trae origine dalla nozione di baricentro d'un sistema meccanico di masse.

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
E che per il tetraedro, come per il triangolo, è quindi il punto in cui risulta minima la somma dei quadrati delle distanze dai vertici.
Complimenti alla tua buona memoria!
Io ... non ricordo se questa proprietà del baricentro non l'ho mai saputa prima d'ora o se invece l'ho dimenticata dopo averla saputa.
Ma lo sai che ho dovuto verificarla adesso per vedere se "dicevi giusto o dicevi sciocco"?
Comunque: non è questa la definizione di baricentro!

Supposto di conoscere la giusta definizione di "baricentro" (o "centro di massa"), il quiz chiede di dare una qualche giustificazione (terra-terra) del fatto che la posizione del baricentro d'un tetraedro omogeneo (come quella del baricentro d'un triangolo omogeneo) è la media aritmetica delle posizioni dei vertici.

---------------------------

Una volta stabilito che in un triangolo omogeneo la posizione del baricentro è:
pG = [(X1 + X2 + X3)/3, (Y1+ Y2 + Y3)/3, (Z1 + Z2 + Z3)/3],
la verifica della proprietà che ricordi – di nuovo: complimenti alla tua memoria! – è (quasi) immediata (con l'uso delle derivate parziali).
Infatti:
• La somma dei quadrati delle distanze di un punto P(x, y, z) dai punti A(X1, Y1, Z1), B(X2, Y2, Z2) e C(X3, Y3, Z3) è:
S(x, y, z) = [(x–X1)^2 + (y–Y1)^2 + (z–Z1)^2] + [(x–X2)^2 + (y–Y2)^2 + (z–Z1)^2] + [(x–X3)^2 + (y–Y3)^2 + (z–Z3)^2].
• S(x, y, z) è una funzione ovunque continua e derivabile che tende a +oo quando il punto P(x, y, z) tende all'infinito in qualsiasi direzione: quindi avrà un minimo assoluto in un punto nel quale si annullano le tre derivate parziali prime (rispetto ad x, ad y e a z).
∂S/∂x = 0 ––> 2(x–X1) + 2(x–X2) + 2(x–X3) = 0 ––> x = (X1 + X2 + X3)/3;
∂S/∂y = o ––> 2(y–Y1) + 2(y–Y2) + 2(y–Y3) = 0 ––> y = (Y1 + Y2 + Y3)/3;
∂S/∂z = 0 ––> 2(z–Z1) + 2(z–Z2) + 2(z–Z3) = 0 ––> z = (Z1 + Z2 + Z3)/3.

Analogamente, sapendo già che la posizione del baricentro di un tetraedro omogeneo di vertici
(X1, Y1, Z1), (X2, Y2, Z2), (X3, Y3, Z3) e (X4, Y4, Z4)
è:
pG = [(X1 + X2 + X3 + X4)/4, (Y1+ Y2 + Y3 + Y4)/4, (Z1 + Z2 + Z3 + Z4)/4],
si verifica subito – con lo stesso metodo usato per il triangolo – che il baricentro di quel tetraedro è il punto del quale la somma dei quadrati delle distanze dai vertici è minima.
------------------------
Definizioni.
Sia m una massa puntiforme che nell'istante t ha posizione p = [x, y, z] .
Allora:
• Il vettore ms = m·p è il momento statico di m;
• Il vettore q = dms/dt = m·dp/dt = m·v – dove il vettore v è la velocità vettoriale istantanea di m – è la quantità di moto di m;
• Il vettore fR = dq/dt = m·dv/dt = m·a – dove il vettore a è l'accelerazione vettoriale istantanea di m – è la forza risultante che agisce sulla massa puntiforme m.

• Dato un sistema di masse puntiformi m1, m2, ..., mN, il momento statico del sistema è la somma dei momenti statici delle singole masse che lo compongono.
• La quantità di moto d'un sistema di masse puntiformi è la somma (vettoriale) delle singole quantità delle sue parti elementari.
• La forza risultante su un sistema di masse puntiformi è la somma (vettoriale) delle singole forze risultanti che agiscono sulle sue parti elementari ed è pari alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto del sistema.
-----------------------------------------
NB_1. Suddiviso un corpo esteso in parti elementari tanto piccole da essere assimilabili a punti materiali, passando al limite col tendere a zero delle dimensioni delle singole parti, la nozione di momento statico è estesa anche ad esso. La somma dei momenti statici elementari diventa naturalmente un integrale.

NB_2. Per il principio di azione e reazione , la somma delle forze con una delle quali una parte elementare di un sistema agisce su un'altra parte elementare è nulla.
Perciò la forza risultante delle forze che agiscono su un sistema di quantità di moto qs, (ossia fR = dqs/dt), è la somma delle forze che sul sistema agiscono dall'esterno di esso (cioè applicate al sistema da corpi estranei ad esso).
-----------------------------------------

• Dato un sistema di masse puntiformi m1, m2, ..., mN di posizioni rispettive p1, p2, ..., pN, detto ms il momento statico del sistema e detta Mt = m1 + m2 + ... +mN la massa totale del sistema, il baricicentro (o centro di massa) del sistema è il punto G di posizione:
pG = (1/Mtms = (1/Mt)·(m1·p1 + m2·p2 + ... + mN·pN).
In altre parole, il baricentro d'un sistema di masse è il punto la cui posizione è la media ponderale delle posizioni delle masse componenti pesate ciascuna con la rispettiva massa.
Se si collocasse nel baricentro d'un sistema di masse un punto materiale dotato della massa totale del sistema, quel punto materiale verrebbe ad avere lo stesso momento statico e la stessa quantità di moto del sistema.
Si trova subito che la velocità vG e l'accelerazione aG del baricentro di un sistema di masse con massa totale Mt sono legate (rispettivamente) alla quantità di moto qs e alla forza risultante fR del sistema dalle equazioni:
qs = Mt·vG;
fR = Mt·aG.

In altre parole: «Il baricentro d'un sistema di masse va ed accelera come andrebbe ed accelererebbe un punto materiale dotato della massa totale del sistema sul quale agisse la forza risultante delle forze che agiscono sul sistema».
-------------------------------------------

Sono stato prolisso e ... superfluo (per l'eccelso livello culturale dei celestini che capitassero a leggere questo thread)?
Amen!

Adesso, però, mi aspetto una qualche giustificazione terra-terra del fatto che la posizione del baricentro d'un tetraedro omogeneo sia la media aritmetica delle posizioni dei vertici del tetraedro.

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Ultima modifica di Erasmus : 11-01-11 10:56.
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Vecchio 11-01-11, 10:35   #338
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Scusa, Erasmus, ma visto che il tetraedro è omogeneo, la domanda equivale a chiedere il baricentro dei quattro vertici, che naturalmente ha per coordinate le tre medie aritmetiche delle coordinate dei vertici ...
Solo ora vedo che sei intervenuto anche tu.
Grazie, Illustrissimo, della tua degnazione!

Alla tua osservazione ho già risposto (nella risposta ad aspesi) dicendo, tra l'altro:
«Supposto di conoscere la giusta definizione di "baricentro" (o "centro di massa"), il quiz chiede di dare una qualche giustificazione (terra-terra) del fatto che la posizione del baricentro d'un tetraedro omogeneo (come quella del baricentro d'un triangolo omogeneo) è la media aritmetica delle posizioni dei vertici.»
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Vecchio 11-01-11, 10:48   #339
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Predefinito Re: Qualche quiz

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«Supposto di conoscere la giusta definizione di "baricentro" (o "centro di massa"), il quiz chiede di dare una qualche giustificazione (terra-terra) del fatto che la posizione del baricentro d'un tetraedro omogeneo (come quella del baricentro d'un triangolo omogeneo) è la media aritmetica delle posizioni dei vertici.»
Mah, non so cosa tu intenda, in questo caso, per "terra-terra", ma ti faccio osservare che il discorso non vale solo per il triangolo o il tetraedro. Per qualsiasi sistema di punti materiali, la coordinata del baricentro è la "media pesata" (rispetto alle rispettive masse) delle corrispondenti coordinate dei punti materiali. Se le masse dei punti materiali sono tutte uguali, la media pesata equivale alla media aritmetica ...

A me questo ragionamento pare sufficientemente semplice, ma non saprei se sia "terra-terra" ... magari è invece "celeste", visto che lo applico per calcolare le coordinate del baricentro del Sistema Solare ...
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Vecchio 11-01-11, 12:01   #340
Erasmus
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Mah, non so cosa tu intenda, in questo caso, per "terra-terra",
Intendo: comprensibile a livello di studenti dei primi anni delle superiori, in particolare senza l'uso esplicito del calcolo integrale.
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ma ti faccio osservare che il discorso non vale solo per il triangolo o il tetraedro. Per qualsiasi sistema di punti materiali, la coordinata del baricentro è la "media pesata" (rispetto alle rispettive masse) delle corrispondenti coordinate dei punti materiali.
Già detto ... alla consueta logorroica maniera erasmiana.
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Se le masse dei punti materiali sono tutte uguali, la media pesata equivale alla media aritmetica ...
Merci, Ms de Lapalisse!
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A me questo ragionamento pare sufficientemente semplice, ...
Quale ragionamento?
Quello appena detto ... – che non è un ragionamento ma solo la definizione di baricentro seguita dal banale esempio di pesi tutti uguali – non ha nulla a che vedere col quiz. Nel quiz i punti materiali sono infiniti, di masse tutte infinitesime. La densità è costante, sì ... ma le particelle hanno masse di rapporto arbitrario una rispetto all'altra, (purché tutte infinitesime). I vertici d'un tetraedro sono invece solo 4. Se prendessimo un poliedro di N vertici con N > 4 raramente la posizione del baricentro sarebbe la media aritmetica delle posizioni dei vertici.
[Prova con un penta-edro ... il più semplice che puoi pensare: una piramide retta a base quadrata].
Per trovare la posizione del baricentro d'un poligono omogeneo di N > 3 vertici, si esegue su questo una opportuna triangolazione (che lo decompone in N-2 triangoli disgiunti), si trovano i baricentri delle N–2 parti triangolari e si fa la media pesata delle loro posizioni prendendo come pesi le aree dei rispettivi triangoli.
Analogamente, per trovare la posizione del baricentro d'un poliedro di N > 4 vertici, (salvo casi particolari con specifiche simmetrie in gioco), dovresti fare una opportuna "tetraedrizzazione" del poliedro che lo decomponga in N–3 tetraedri disgiunti, ecc. ecc.

Quote:
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... ma non saprei se sia "terra-terra" ... magari è invece "celeste", visto che lo applico per calcolare le coordinate del baricentro del Sistema Solare ...

Il tuo mi pare un ragionamento ... etereo.
O era "celeste" anche il ragionamento di don Ferrante?
[Anche lui ragionava sulle stelle, imputando al loro influsso la morìa, dato che la peste non esisteva proprio, potendosi dimostrare non essere la peste sostanza e neppure accidente.]
------------------------

Ciao, ciao
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