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Vecchio 23-05-21, 06:14   #1
Erasmus
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Predefinito Ritorno al passato

Torno al quiz della spezzata di tre corde che occupasvano una semicirconferenza della quale occorreva calcolare il diametro sapendo la lunghezza delle corde.
Rimetto una immagine con due figure di riferimento:
Le due figure mostrano che ci sono due casi distinti.
Detti 2α, 2β e 2γ gli angoli al centro sotto i quali sono visti rispettivamente i lati a, b e c della spezzata, in Figura 1 è rappresentato il caso in cui
2α + 2β + 2γ = <un angolo piatto> (cioè 180°, ossia π radianti):
in Figura 2 è invece rappresentato il caso in cui
2α – 2β + 2γ = <un angolo piatto>.

Prima riassumo quel che dirò poi dettagliatamente.
«Abbiamo visto, a suo tempo, che le soluzioni del quiz di cui qui sotto ci sono le figure di riferimento sono
<diametro> = x1 = 65> per la Figura 1;
<diametro =x2 = (circa) 58,5 per la Fig. 2.
[Precisamente x2 = [65 + √(65^2 – 4·380,16)]/2 ≈ 58,50173071162764].
Ma se si razionalizza l'equazione risolvente (che dapprima si presenta irrazionale, contenente cioè dei radicali), -le soluzioni risultano tre.
Infatti si arriva ad una equazione razionale di 6° grado che si spezza facilmente in due equazioni cubiche delle quali una ha le soluzioni opposte delle soluzioni dell'altra.
La razionalizzazione introduce cioè juna terza soluzione positiva che risulta la diffrenza delle altre due positive.
la domanda, allora – rivolta soprattutto all'Illustrissimo Mizarino – è la seguente:
«Cosa rappresenta la soluzione x3 = <differenza delle altre due soluzioni> – quindi circa 6,5 – ?
E' semplicemente da scartare o rappresenta invece un terzo caso non ancora da noi considerato? »


Nel caso di Figura 1 sappiamo che il diametro è x1 = 65 esatto.
Nel caso di Figura 2 il diametro risulta un po' minore, cioè circa 58,5.
Se si affronta analiticamente il problema, posto [come indicato nelle nelle figure dell'immagine ui sopra] x il diametro incognito del cerchio, si trova una equazione algebrica irrazionale dipendente dal procedimento adottato che però può risultare la stessa per entrambi i casi; e allora l'equazione irrazionale ha due soluzioni che sono la soluzione del caso di Fig. 1 e quella del caso di Fig. 2 per la quale risulta precisamente:
x2 = [65 + √(65^2 – 4·380,16)]/2 ≈ 58,50173071162764.
Se x è il diametro del cerchio si ha ovviamente
a/x = sin(α); b/x = sin(β); c/x = sin(γ); (0a)
e quindi anche
√[1–(a/x)^2] = cos(α); √[1–(b/x)^2]=cos(β); √[1–(c/x)^2] = scos(γ); √[1 – (a/x)^2] 0,b()
In Figura 1 è α+β+γ = <un angolo retto> e allora:
cos(α+β+γ) = 0 ⇔ cos(α)·cos(β)·cos(γ) = sin(α)·sin(β)·cos(γ)+ sin(α)·cos(β)·sin(γ)+cos(α)·sin(β)·sin(γ); (1)
In Figura 2 è invece α–β+γ = <un angolo retto>, per cui [tenendo conto del fatto che sin(–β)= –sin(β) mentre cos(–β) = cos(β)]:
cos(α–β+γ) = 0 ⇔ cos(α)·cos(β)·cos(γ) = –sin(α)·sin(β)·cos(γ)+ sin(α)·cos(β)·sin(γ)–cos(α)·sin(β)·sin(γ); (2)
Sostituendo seno e coseno col rispettivo valore dato in (0a) o in (0b) e moltoplicando per x^3 troviamo:
Per la Fig. 1: √(x^2–a^2)·√(x^2 – b^2)·√(x^2–c^2) = ab√(x^2 – c^2) + bc√(1 – a^2) + ca√(x^2 – b^2).
Per la Fig. 2: √(x^2–a^2)·√(x^2 – b^2)·√(x^2–c^2) = –ab√(x^2 – c^2) – bc√(1 – a^2) + ca√(x^2 – b^2).
[√(x^2–a^2)·√(x^2 – c^2) – ca]·√(x^2–b^2) = ab√(x^2 – c^2) + bc√(1 – a^2) ; (1 bis)
[√(x^2–a^2)·√(x^2 – c^2) – ca]·√(x^2–b^2) = –ab√(x^2 – c^2) – bc√(1 – a^2). (1 bis)
Da entrambe quest'ultime, quadrando, isolando poi i radicali e quadrando una seconda volta, si arriva alla medesima elegante espressione razionale seguente:
(x^2)·[x^2 – (a^2 + b^2 + c^2 ) ]^2 – 4(a^2)(b^2)(c^2).
che, nel caso del quiz nel quale
a = 33; b = 7,2; c = 52
diventa
(x^2)·[x^2 + (33^2 + 7,2^2 + 52^2)]^2 – 4(233/7,2·52)^2 ≡ (x^2)·(x^2 – 3844,84)^2 – 4·(12355,2)^2 = 0 (3)
E' questa una equazione "bi-cubica" che si spezza facilmnte in due distinte equazioni cubiche canoniche con le soluzioni di una opposte alle soluzioni dell'altra
[Si ricordi che una equazione cubica canonica" manche del termine di 2° grado e quindi la somma delle sue tre soluzioni è zero]
Pertanto l'equazione (3) ha 6 soluzioni, tre positive e tre negative che sono le opposte delle tre positive
Le tre soluzioni positive sono
x1 = 65;
x2 = [65 + √(65^2 – 4·380,16)]/2 ≈ 58,50173071162764;
x3 = [65 – √(65^2 – 4·380,16)]/2 = x1 – x2 ≈ 6,49826928837236.
__________________
Erasmus
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Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it