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Vecchio 16-10-13, 20:59   #1511
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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nino280 Visualizza il messaggio
... non si pensi che la sezione aurea sia radicequadratadicinquemenounofrattoquatrro come si potrebbe pensare osservando il finale di questa espressione di Erasmus ...

Quanto grignolino hai bevuto stasera?
------------
Dal fatto che la base B di un triangolo isoscele con angolo al vertice di 36° (e quindi angoli alla base di 72°) è uguale alla sezione aurea d'un altro lato L di quel triangolo viene
B/L = [√(5) –1]/2.

La mediana relativa alla base – mediana che è anche asse della base, altezza del triangolo relativa alla base e bisettrice dell'angolo opposto – spacca quel triangolo isoscele in due triangoli rettangoli uguali. Ciascuno ha un cateto "mezza base" opposto all'angolo "mezzo angolo al vertice" di 18° (e adiascente all'altro angolo acuto che è di 72°); e per ipotenusa un lato L
Dunque
(B/2)/L = sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4.

Occhio: io non direi mai che la sezione aurea è √(5 – 1]/2
[Si dice "sezione" con un latinismo ... perché "sectio" significa "ritaglio", cioè "parte di un tutto"].
« La sezione aurea X di una grandezza [misurabile] M è la parte di M che è media proporzionale tra la grandezza stessa M e la la restante parte M – X » (complementare della sezione aure rispetto ad M ).
Con le parole che si usavano una volta nelle scuole di base insegnando le proporzioni:
«X è uguale alla Sezione Aurea di M quando vale la proporzione:
M sta ad X come X sta ad M–X »
In formula:
M/X = X/(M–X), ossia X^2 = M·(M–X) {da cui il "rapporto aureo" X/M = [√(5) – 1]/2 }
––––––––
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Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
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Ultima modifica di Erasmus : 16-10-13 21:14.
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Vecchio 16-10-13, 21:17   #1512
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Che è sta storia del /4? E' la prima volta che la sento. Ho sempre saputo /2 grignolino o non grignolino.
Matematicamente, il numero aureo corrisponde a una delle due possibili soluzioni dell'equazione di secondo grado , le cui radici[12] sono:
Tra le due soluzioni possibili, quella che ha un senso anche a livello geometrico è la radice positiva, ovvero il numero irrazionale 1,618....
Ciao
Insomma se mi si chiede quale è il numero aureo io rispondo 0,618033988 oppure il suo reciproco che è 1,618033988 mica gli dico che è 0,309016994.
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Io, Nino280 dichiaro una volta per tutte, di non essere in grado di risolvere i Quiz per via Analitica

Ultima modifica di nino280 : 16-10-13 21:34.
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Vecchio 16-10-13, 21:43   #1513
aleph
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Predefinito Re: Qualche quiz

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nino280 Visualizza il messaggio
Insomma se mi si chiede quale è il numero aureo io rispondo 0,618033988..... oppure il suo reciproco che è 1,618033988.... mica gli dico che è 0,309016994.
Gia...

Piuttosto, quanti sono i numeri (tra loro distanti esattamente l'unità) che hanno questa particolarissima proprietà di essere il reciproco di sé stessi?
aleph non in linea   Rispondi citando
Vecchio 16-10-13, 22:09   #1514
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Ne avevamo già parlato secoli fa e non mi ricordo se vi erano altri casi, ma mi ricordo però che per fare il quadrato di 1,618033988 . . . basta aggiungergli 1
Ciao
Si grazie Aleph dei puntini, ma chi non sa che Fi è trascendente ed irrazionale?
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Ultima modifica di nino280 : 16-10-13 22:20.
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Vecchio 16-10-13, 22:31   #1515
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Che è sta storia del /4?
E daje!
Ma hai letto quel che ho scritto?

Te lo ripeto oer la terza volta:
«La "sezione aurea" di una grandezza è quella parte [della grandezza] che è media proporzionale tra la grandezza stessa e la restante parte»
<Grandezza> sta a <sua sez. aurea> come <sua sez. aurea> sta a <Grandezza meno sua sez. aurea>
Sia X la sezione aurea di M, In formula:
M : X = X : (M – X) da cui X^2 = M·(M – X) ossia (X/M)^2 + (X/M) – 1 = 0
(che, se poni x il "rapporto aureo" X/M, è QUASI l'equazione di 2° grado che hai messo tu).
Occhio: Entrambi i valori [1±√(5)]/2 della soluzione che indichi tu sono sbagliati ... perché c'è un segno sbagliato nell'equazione!
Che questi siano entrambi sbagliati è evidente: uno è negativo e l'altro è maggiore di 1 (ed è il reciproco di quello giusto).
Se al posto di cercare il rapporto <sezione aurea di una grandezza>/<grandezza> (che è il rapporto aureo [mica la stessa "sezione aurea"], cerchi il reciproco, allora viene l'equazione che hai messo tu. Infatti, partendo da quella giusta:
x^2 + x – 1 = 0;
dividi tutto per x^2 ... e fa' conto che 0/x^2 = 0. Ricavi
1 + 1/x – (1/x)^2 = 0.
Poni y = 1/x, ottenendo 1 + y – y^2 = 0, cambi segno a tutto e riordina. Ottieni:
y^2 – y – 1 = 0
----------------------
Mi ripeto ancora (spero per l'ultima volta).
«Dal fatto che la base B di un triangolo isoscele con angolo al vertice di 36° è uguale alla "sezione aurea" del lato obliquo L, viene che il rapporto tra "mezza -base" ed il lato (rapporto che è il seno di mezzo angolo al vertice, cioè di 18° oppure il coseno dell'angolo adiacente che è di 72°) vale:
(B/2) / L = sin(18°) = cos(72°) = [√(5)–1]/4

[Il "fratto 4" nell'espressione di sin(18°) = cos(72°) viene dal fatto che è MEZZA base di quel triangolo isoscele che va divisa per il lato obliquo per avere appunto sin(18°) [ovvero cos(72°)].

Ma perché mi fai passare sotto queste forche caudine?
---------------------------------------------------------------
Non volevo fare una lezione sulla sezione aurea!
Volevo far notare ad aspesi che le prime nozioni su particolari valori delle funzioni "seno" e "coseno" altro non sono che dire in altro modo le rudimentali nozioni di geometria (piana).
Dopo aver imparato [come si fa a trovare] i valori di seno e coseno per angoli di 30° e 45° (e loro multipli), si imparavano i valori di seno e coseno di 18° (e dei suoi multipli) sfruttando la nozione di "sezione aurea" applicata ad un triangolo isoscele con l'angolo al vertice di 36°
Tutto qua.


Rivedi la mia scrittura che hai citato come possibile fonte di equivoco.
«B : L = (L–B) : B ––> B^2 = L·(L– B) ––> B/L = [√(5) – 1]/2 ––> sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4.»
Vedrai che non c'è nulla di equivocabile.
Ma, ovviamente, perché il mio invito sia ben accolto, sarà utile non essere sotto l'influsso del seducente tuo grignolino!
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 17-10-13 09:00.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 17-10-13, 10:11   #1516
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Non capisco, una volta scrivi:
(B/2) / L = sin(18°) = cos(72°) = [√(5)–1]/4

e subito dopo scrivi:

«B : L = (L–B) : B ––> B^2 = L·(L– B) ––> B/L = [√(5) – 1]/2 ––> sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4.»

Ma è B/2 o e B tutto intero che è radice di cinque meno 1 fratto 4 ?
Ciao
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nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 17-10-13, 10:19   #1517
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Gia...

Piuttosto, quanti sono i numeri (tra loro distanti esattamente l'unità) che hanno questa particolarissima proprietà di essere il reciproco di sé stessi?

La risposta è "ZERO numeri"
[NESSUN numero ha questa "stranissima proprietà"].

Reciproci di sé stessi sono solo 1 e –1. E se dicendo "tra loro esattamente distanti l'unità" intendi dire che il valore assoluto della loro differenza è 1 ... vedi bene che
| 1 – (–1)| = |(–1) – 1|= 2.

Ma tu intendevi non "ciascuno reciproco di sé stesso" bensì «uno reciproco dell'altro», cioè:
«due numeri x e y tali che: |x – y| = 1 ∧ xy = 1»
[Ovviamente x ≠ 0 ∧ y ≠ 0, dato che xy = 1 ≠ 0].
Se due numeri non sono uguali uno dei due è maggiore dell'altro, lapalissiano.
Sia allora x il maggiore dei due.

y = x–1 ∧ y = 1/x, da cui :
x – 1 = 1/x ⇒ x^2 – x = 1 ⇒ x^2 – x – 1 = 0 ⇒ x = [√(5) + 1]/2 ∨ x = –[√(5) –1]/2
Diciamo che x può essere uno dei due numeri, (uno positivo e l'altro negativo):
x1 =[√(5) + 1]/2; x2 = –[√(5) – 1]/2.

Se x = x1 = [√(5)+1]/2 allora y = x1 – 1 = [√(5)–1]/2 = –x2
altrimenti y = x2 – 1 = – [√(5)+1]/2 = –x1.

Le coppie {x, y} di numeri x ed y distinti tali che |x – y| = 1 ∧ xy = 1 sono due: una di numeri entrambi positivi, l'altra di numeri entrambi negativi; e precisamente:
{x1, y1} = {[√(5) + 1]/2, [√(5) – 1]/2};
{x2, y2} = {–[√(5) – 1]/2, –[√(5) + 1]/2}.
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Ultima modifica di Erasmus : 17-10-13 11:36.
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Vecchio 17-10-13, 12:56   #1518
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Non capisco, una volta scrivi:
(B/2) / L = sin(18°) = cos(72°) = [√(5)–1]/4
e subito dopo scrivi:
«B : L = (L–B) : B ––> B^2 = L·(L– B) ––> B/L = [√(5) – 1]/2 ––> sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4.»
A ridaje!
Sia B/L il rapporto tra base B e lato L di un triangolo isoscele
Siccome, quando l'angolo al vertice vale 36°, B è uguale alla sezione aurea di L, in tal caso B/L = [(√(5) – 1]/2. OK?
Se l'angolo al vertice è 36°, spaccando il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli, questi vengono col cateto maggiore in comune e il cateto minore lungo B/2. OK?
Ora, PER DEFINIZIONE, in un triangolo rettangolo si chiama "seno" di uno dei due angoli acuti il rapporto tra i cateto opposto a quell'angolo e l'ipotenusa.
Quindi, siccome il cateto lungo B/2 è opposto all'angolo di 18°, abbiamo PER DEFINIZIONE della Funzione SENO:
(B/2) fratto L = sin(18°), OK?
E siccome B/L valeva [√(5) – 1]/2, il sin(18°) è la metà di questo numero, cioè [√(5) – 1]/4. OK?
La scrittura da te citata dice esattamente questo.
[La freccia –––> stava a sostituire il simbolo di "implicazione" il quale, posto tra due affermazioni sta a significare che la seconda viene logicamente dalla prima.]
Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Ma è B/2 o e B tutto intero che è radice di cinque meno 1 fratto 4 ?
Me l'hai fatto dire già un sacco di volte!
Eccone una:
Quote:
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[Il "fratto 4" nell'espressione di sin(18°) = cos(72°) viene dal fatto che è MEZZA base di quel triangolo isoscele che va divisa per il lato obliquo per avere appunto sin(18°) [ovvero cos(72°)].
Per toglierti i dubbi ... prova a chiederlo al tuo CAD o alla tua Calcolatrice.

Adesso, però, per favore ... cambia disco!
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Ultima modifica di Erasmus : 21-10-13 22:15.
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Vecchio 21-10-13, 23:01   #1519
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nino280 Visualizza il messaggio
... chi non sa che Fi è trascendente ed irrazionale?

Che cos'è Fi?
Supposto che Fi sia un trascendente, non dà alcuna informazione aggiungere "e irrazionale".
[I trascendenti sono un sottoinsieme degii irrazionali.
Diverso sarebbe dire "irrazionale e trascendente" (che vorrebbe dire: non solo irrazionale, ma anche trascerndente).
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Vecchio 22-10-13, 07:22   #1520
nino280
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Quote:
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Che cos'è Fi?
Supposto che Fi sia un trascendente, non dà alcuna informazione aggiungere "e irrazionale".
[I trascendenti sono un sottoinsieme degii irrazionali.
Diverso sarebbe dire "irrazionale e trascendente" (che vorrebbe dire: non solo irrazionale, ma anche trascerndente).
----
«B : L = (L–B) : B ––> B^2 = L·(L– B) ––> B/L = [√(5) – 1]/2 ––> sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4.»

Va benissimo che avevo sfacciatamente torto su questa espressione che ti avevo contestato, figurati che l'avevo interpretata doppiamente o triplamente (si dice?) male perchè non avevo capito che quel B:L era in realtà l'estremo di una proporzione che dovevo leggere con "sta" e non diviso anche se in definitiva pensandoci bene è poi la stessa cosa , e l'altro mio errore (di sbaglio) era stato che non so perchè ho interpretato l'implicazione come "uguale" quindi mi portava tutto fuori, comunque come giustamente mi hai già detto, cambiamo disco.
Ma ora . . . . . ufffffaaaaa!!! Ti metti anche a contestarmi tutto parola per parola, non ti pare che sia un po troppo.
Fi è la lettera greca che io non riesco a scrivere e che indica su tutti i libri la sezione aurea, io so che tu lo sai ma so anche che fai il nesci. E come che mi dicessi cosa è Pi.
Poi mi contesti anche il trascendente irrazionale che sarebbe irrazionale trascendete o era il contrario?
Ciao
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