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Vecchio 28-08-22, 21:53   #5491
astromauh
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Perché scrivi la filastrocca di tutte le terne col 52?
Hai già motivato che il numero di Bea, da quel che lei dice dopo aver udito quel che ha detto Alice, non può essere diverso da 48 e da 47.
–––––––
Perché, secondo me, listando tutte le terne, si vedeva meglio che gli unici numeri che comparivano solo una volta, erano il 47, e il 48, mentre gli altri numeri, essendo ripetuti più volte, davano origine a delle ambiguità, per cui le ragazze non avrebbero mai potuto fare le affermazioni che hanno fatto.

Erasmus, come sei diventato criticone, non ne lasci passare una!

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Vecchio 29-08-22, 08:43   #5492
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Abbiamo due grandi vasche contenenti rispettivamente 100 litri di vino e 100 litri di acqua.
Disponiamo di una caraffa con la capacità di 5 litri.
La usiamo una prima volta riempiendola con il contenuto della prima vasca ( vino ) e versandolo nella seconda vasca ( acqua ).
Poi la usiamo una seconda volta riempiendola con il contenuto della seconda vasca ( che a questo punto sarà una miscela acqua e vino ) versandolo poi nella prima vasca ( che ha ancora solo vino ).
Ripetiamo questa sequenza, usandola allo stesso modo prima da vasca1 a vasca2 e poi da vasca 2 a vasca 1, complessivamente 10 volte..
A questo punto entrambe le vasche conterranno di nuovo 100 litri ciascuna, ma di una miscela vino-acqua con concentrazioni inverse.
Quale rapporto di miscelazione del vino si avrà alla fine di queste operazioni nella prima vasca?

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Vecchio 29-08-22, 18:27   #5493
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Un trapezio isoscele è circoscritto a una circonferenza.
Sapendo che il lato obliquo è lungo 10 cm e il raggio della circonferenza è uguale alla base minore, calcolare l'area del trapezio.
Affinché un quadrilatero [convesso] ammetta il cerchio inscritto occorre che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma segli altri due.
La semisomma delle basi del nostro trapezio isoscele è dunque uguale al lato obliquo e l'altezaa del tapezio è uguale al doppio della base minore.

Se pongo:
• b = 2x la base minore e
• B = 2y la base maggiore,
deve essere
• L = x+y il lato obliquo.
L'altezza del trapezio è allore
• h = 4x
e deve anche essere
L^2 – h^2 = [(B – b)/2]^2
cioè
L^2 – 16x^2 = y^2 + x^2 – 2xy
ossia
L^2 = 17x^2 + y^2 –2xy (*)

Ma è anche
L^2 = (z+y)^2 <==> L^2 = x^2 + y^2 + 2xy (**)
Sottraendo membro a membro la (**) alla (*) si ricava:
0 = 16x^2 – 4xy <==> y = 4x ==> L = x+ y = 5x <==> x = L/5 ==> b = 2L/5
In conclusione
(b + B)/2 = L e h = 2b = 4L/5
per cui l'area viene
S = (4/5)L^2
e in particolare, per L = 10 cm:
S = 80 cm^2
–––
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Vecchio 29-08-22, 18:37   #5494
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Probabilmente sbaglio.
Sì, hai sbagliato ... nel procedere (scondo me), non nel metodo!
Supongo che sbagli perché invece di procedere dapprima con i somboli, come ho fatto io, parti subiito con i numeri e allora o li hai presi con bassa risoluzione (cioè con troppo poche cifre) o addirittura sbagli a scriverli perché sbagli (o salti involontariamente) qualche cifra (cosa abbastanza probabile se si procede scrivendo numeri decimali con molte cifre).

Vedi un po' come ho fatto io.
–––––
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Vecchio 29-08-22, 19:27   #5495
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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S = 80 cm^2
–––
Ma il mio procedimento ti piace o no?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-08-22, 19:47   #5496
astromauh
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Sì, hai sbagliato ... nel procederem, non nel metodo!
Supongo che sbagli perché invece di procedere dapprima con i somboli, come ho fatto io, parti subiito con i numeri e allora o li hai presi con bassa risoluzione (cioè con troppo poche cifre) o addirittura sbagli a scriverli perch° sbagli (o salti involontariamente) qualche cifra (cosa abbastanza probabile se si procede scrivendo numeri decimali con molte cufre.

Vedi un po' come ho fatto io.
–––––
No, ho proprio toppato alla grande, non si tratta di errori di calcoli.

Ti pare che faccio a mano dei calcoli con tutte quelle cifre decimali?

Il mio errore è stato quello di pensare che gli angoli alla base del trapezio isoscele
fossero di 60 gradi, ma non c'era alcuna ragione al mondo per cui dovessero
essere di 60 gradi.
In realtà quegli angoli erano circa di 60°, per cui alla fine l'errore non è stato macroscopico, ma di errore si è trattato.

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Vecchio 30-08-22, 05:42   #5497
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Predefinito Re: Qualche quiz

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aspesi Visualizza il messaggio
Ma il mio procedimento ti piace o no?
Non l'avevo visto! Lo vedo solo ora.
[Come al solito, ho iniziato a scrivere che ancora non c'era la tua soluzione (ma già avevi avvisato nino280 che era il rapezoio ad essere circoscritto al cerchio, non viceversa). Poi ho dovuto sospendere ... e molto tempo dopo ho concluso senza andar a vedere se c'erano altri precedenti interventi]
Sostanzialmente il tuo procedimento è equivalente al mio, con la differenza che chiami x la metà della base maggiore che io ho chiamato y ... e scopri poi (passando per la ricerca dell'altezza) che L – x è è metà base minore che io avevo chiamato x – ossia un quarto dell'altezza.
Ammetterai, però, che per un lettore qualunque – che ragiona con la sua testa, MOLTO PROBABILMENTE ben diversa dalla tua ... di tipo particolarmente raro!) il tuo svolgimento è un po' difficoile da ruminare!
---------
@ astromauh
Sì, 'stavolta ho sbagliato io (nel suppore come avevi proceduto tu) ... ma non proprio del tutto! Vedo infatti che dici che il tuo errore è stato quello di aver preso per 60° un angolo che invece è – dici tu – 53,13010°.
Ecco: la mia critica principale a come procedi tu è quella di passare per i valori numerici di segmenti e angoli prima di aver impostato il problema con soli simboli (compresi quelli delle funzioni trigonometriche), ossia prima di aver scritto [ovviamente in simboli] la traccia sulla quale poi procedere.
–––––––––
In questo caso ... prova a disegnare priima un cerchio e poi attorno a lui un trapezio isoscele.
Come fai? ...
Ovvio!
TDisegnato il cerchio, tracci [le] due rette [orizzontali] tangenti parallele e poi i due lati obliqui (uno a sinistra e l'altro a destra simmetrici rispetto alla verticale) i quali vengono così a delimitare le due basi.
Vedi allora di colpo non solo che l'altezza h del trapezio è lo stesso diametro [verticale] 2r del cerchio, ma anche che il lato obliquo L è diviso dal punto di tangenza in due pezzi dei quali il minore è metà della base minore b ed il maggiore è metà della base maggiore B.
Lascia allora perdere quanto valgono gli angoli!
Non occorrono i "superpoteri" /di nino280) per vedere che, se chiami x metà di una base ed y metà dell'altra ottieni L = x+y e allora;
(x + y)^2 = L^2;
(x – y)^2 = L^2 – h^2;
da cui, per dufferenza membro a memvro, ricavi::
4xy = h^2 = 4r^2
Ma 4xy è anche uguale a (2x)·(2y) = Bb e il testo ti dice che è r = b, ossia che è h = 2b.
Sicchè hai subito
Bb = 4b^2 ==> B = 4b
Aggiungi che sai già che L = (B+b)/2 e hai di colpo:
4b + b = 2L ==> b = (2/5)L;
ed il definitiva:
b = 2L/5;
B = 4 b = 8L/5:
h = 2b = 4L/5:
<Area> = S = [(B + b)/2]h = (4/5)L^2.

––––––––--
Ancora una volta la terna pitagorica (3,4, 5)!
Questa volta moltiplicata per 2 e costituita dal triangolo rettangolo che ha
• per ipotenusa il lato obliquo L = 10,
• per cateto minore [e sua base orizzontale] metà della differenza tra le basi (B – b)/2 = 6 e
• per cateto maggiore [we sua altezza] l'altezza del trapezio h = 2b = 8.
–––––
Di notevole c'è il fatto che mettendo tra due triangoli siffatti e simmetrici un rettangolo largo metà dell'altezza ottieni un trapezio isoscele che ammette il cerchio inscritto.
[Tutti i trapezi isosceli ammettono un cerchio circoscritto. Ma non tutti ammettono il cerchio inscritto!]
–––––––––
Memorizza l'importante nozione (facilissima da dimostrare) che affinché un quadrilatero (convesso) ammetta un cerchio inscritto occorre che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due [cosa evidente per un traapezio isoscele disegnato attorno ad un cerchio].
––––––
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Ultima modifica di Erasmus : 30-08-22 09:19.
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Vecchio 30-08-22, 09:01   #5498
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Abbiamo due grandi vasche contenenti rispettivamente 100 litri di vino e 100 litri di acqua.
Disponiamo di una caraffa con la capacità di 5 litri.
La usiamo una prima volta riempiendola con il contenuto della prima vasca ( vino ) e versandolo nella seconda vasca ( acqua ).
Poi la usiamo una seconda volta riempiendola con il contenuto della seconda vasca ( che a questo punto sarà una miscela acqua e vino ) versandolo poi nella prima vasca ( che ha ancora solo vino ).
Ripetiamo questa sequenza, usandola allo stesso modo prima da vasca1 a vasca2 e poi da vasca 2 a vasca 1, complessivamente 10 volte..
A questo punto entrambe le vasche conterranno di nuovo 100 litri ciascuna, ma di una miscela vino-acqua con concentrazioni inverse.
Quale rapporto di miscelazione del vino si avrà alla fine di queste operazioni nella prima vasca?

Versione ... "pedante" e noiosa di un simpatico e ben noto quiz (moltissimi anni fa pos[ta]to qui in R. M. da Erasmus ).
Lo ripeto:
«Ci sono due bicchieri, uno contenemte vino, l'altro acqua. Prendo una cucchiaiata di vino e la metto nell'aqua, Poi prendo una uguale cucchiaiata di quell'accqua e vino e la metto nel vino.
Domanda: c'è più acqua nel vino o più vino nell'acqua?»

Risposta: Nessuna delle due!
C'è nel vino tant'acqua qunto vino c'è nell'acqua!
Infatti, siccome i volumi d'acqa sporca di vino e di vino leggermente annacquato tornano ad essere come erano inizialmente i volumi di acqua e vino nei rispettivi bicchieri, lo scambio di vino e acqua tra i due bicchierio non può che essere di uguale volume.
––––––-
Ma veniamop al qyuz citato,
a) Ogni volta che la caraffa torma a versare miscela dalla seconda vasca (quella inizialmente di acqua) nella prima (quella inizialmente di vino), il volume d'acqua nel vino è uguale al volume di vino nell'acqua, Ma. ovviamemte, insistendo nel ripetere quella duplice operazione le due miscele tendono ad avere entrambe metà acqua e metà vino.
Lo fanno in uguale progressione crescente del vino nell'aqua e dell'acqua nel vino.
L'apporto di acqua nel vino e di vino nell'acqua avviene in progressione geometrica decrescente (come si intuisce).
Al primo versamento (di 5 litri di vino in 100 litri d'acqua). 5 litri è 1/21 di 105 litri. La prima volta che la caraffa torna con 5 litri d'aqiua-e-vino ha in realtà
5·(20/21)litri = 100/21 litri d'aqua e
5/21 litri di vino.
La seconda volta non versa in acqua 5 litri di vino bensì 100/21 litri di vino e 5/21 itri di aqua per cui quelli che erano
00 litri di miscela
di cui
2000/21 litri di aqua e 100/21 di vino
diventano
2005/21 litri d'acqua e 200/21 vlitri di vino.
Asportando una caraffa da 5 litri di questa miscela restano
(2005/21)·(100/105) litri = 40100/21^2 litri di aqua e
4000/121^2 litri di vino.
La ragione con cui cresce l'apporto di vino nell'acqua è dunque
r = <miscala acqua- vino al 2° colpo>/<miscala acqua- vino al12° colpo> – 1 = 19/21.
Dopo 10 di queste duplici operazioni – 5 litri da qua a là e 5 litri da là a qua– il vino nell'aqua è (in litri):
(100/21)·[1 + 19/21 + (19(21)^2 + ... + (19/21)^9] =
= (100/21)[1 – (19/21)^10]/(1 – 19/21) = 50·[1 – (19/21)^10] (*) ≈
≈ 50·0,63243 ≈ 31,6214;
e altrettanrta è l'aqua nel vino.
Si vede anche da questa formula (*) che continuando a ripetere l'a duplice operazione si tende ad avere in entrambe le vasche la miscela di 50 litri di vino e 50 litri d'acqua.
--------
Riassumendo:
Dopo 10 volte di "una caraffa da qua a là e una caraffa da là a qua" l'acqua nel vino è (percentualmente) circa il 31,6214% (contro circa il 68,3786% di vino nella prima vasca e di acqua nella seconda).
––––
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Ultima modifica di Erasmus : 30-08-22 09:29.
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Vecchio 30-08-22, 09:19   #5499
aspesi
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a) Ogni volta che la caraffa torma a versare miscela dalla seconda vasca (quella inizialmente di acua) nella prima (quella inizialmente di vino), il volume d'aqua nel vino
––––
E deciditi fra la c e la q

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Vecchio 30-08-22, 10:08   #5500
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Dopo 10 volte di "una caraffa da qua a là e una caraffa da là a qua" l'acqua nel vino è (percentualmente) circa il 31,6214% (contro circa il 68,3786% di vino nella prima vasca e di acqua nella seconda).
––––
50*(1 + ((100-5)/(100+5))^10) litri di vino = 68,37862712 % di vino

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