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Vecchio 17-08-22, 05:21   #3021
Erasmus
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Trovare le soluzioni reali dell’equazione

4^x + 6^x = 9^x

Eh eh... Implicitamente suggerisci che c'è ancora in ballo un rapporto aureo ...
Ma anche tu hai risolto questo quiz o ne hai raccolto la soluzione raccogliendo ll quiz stesso?
Per x = 1 risulta 4^x + 6^x = 10 > 9 = 9^x.
Per x = 2 risulta 4^x + 6^x = 52 < 81 = 9^x.
Quindi le eventuali soluzioni reali sono maggiori di 1 e minori di 2.
––––
Una sola soluzione reale: x = ln{[√(5)+1]/2}/ln(3/2)
__________________
Erasmus
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Vecchio 17-08-22, 08:40   #3022
aspesi
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Eh eh... Implicitamente suggerisci che c'è ancora in ballo un rapporto aureo ...
Ma anche tu hai risolto questo quiz o ne hai raccolto la soluzione raccogliendo ll quiz stesso?
Per x = 1 risulta 4^x + 6^x = 10 > 9 = 9^x.
Per x = 2 risulta 4^x + 6^x = 52 < 81 = 9^x.
Quindi le eventuali soluzioni reali sono maggiori di 1 e minori di 2.
––––
Una sola soluzione reale: x = ln{[√(5)+1]/2}/ln(3/2)


Per queste cose, ormai non ci perdo più tempo, le faccio risolvere a wolfram


Ciao
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 17-08-22, 14:16   #3023
Erasmus
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Per queste cose, ormai non ci perdo più tempo, le faccio risolvere a wolfram
Male!
Che importanza ha che la risposta sia questo o quel numero se non si sa (e non si vuol sapere ) il perchè?
A prima vista l'equazione di questo quiz sembra un'equazione che non si può risolvere se non per tentativi ed approssimazioni successive (e quindi non certo a mano!). Ma se si ragiona un tantino ... – questo quiz andrebbe messo proprio in "un po' di calcoli e un po' di logica" – si scopre che è addirittura facile (a parte il calcolo numerico della soluzione teorica).
Osserviamo anzitutto che
4^x = (2^2)^x = 2^(2x) = (2^x)^2 ≡ (2^x)·(2^x)
e analogamente
9^x = (3^2)^x = 3^(2x) = (3^x)^2 ≡ (3^x)·(3^x);
e che
6^x = (2·3)^x = (2^z)·(3^x).
Inoltre:
Se io avessi un'equazione del tipo y = a^x con a maggiore di 1 e diverso da "e", come faccio a farmi dare il valore numerico di x dalla calcolatrice (che non sa fare i logaritmi in base a)?
Elementare, Watason! Si fa il logaritmo naturale di a cioè ln(a). Allora:
y = a^x = [e^ln(a)]^x = e^[x·ln(a)] ⇒ xln(a) = ln(y) ⇒ x = ln(y)/ln(a).
Tenendo ciò presente, posto
z = (3^x)/(2^x) ≡ (3/2)^x (*)
si ha;
4^x + 6^x = 9^x ⇔ (2^x)·(3^x) = (3^x)·(3^x) – (2^x)·(2^x).
Divido i due membri di quest'ultima equazione per il primo membro ottenendo:
Codice:
      (3^x)·(3^x)    (2^x)·(2^x)            3^x     2^x
1= ––––––––––  – –––––––––– ⇔ 1 = ––––  – ––––  ⇔ 1 = [(3/2)^x] – [(2/3)^x]   ⇔ 
     (2^x)·(3^x)     (2^x)·(3^x)            2^x     3^x

  ⇔  1 = (3/2)^x – 1/[(3/2)^x] ⇒ 1 = z – 1/z ⇔ z^2 – z – 1 = 0.  (**)
Risolvendo questa equazione (**) in z si trova una soluzione positiva
z = [√(5) + 1]/2
e una negativa
z= – [√(5) – 1]/2.
Tornando al significato (*) di z abbiamo allora
(3/2)^x = z ⇒ x = ln(z)/ln(3/2).
Ricordando che il logaritmo naturale di un numero negativo non è reale albbiamo la sola soluzione:
Codice:
       ln{[√(5)+1]/2}
x = –––––––––––––.
          ln(3/2)
––––––
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Ultima modifica di Erasmus : 17-08-22 16:24.
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Vecchio 17-08-22, 14:49   #3024
aspesi
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Ricordando che il logaritmo naturale di un numero negativo non è reale abbiamo la sola soluzione:
Codice:
       ln{[√(5)+1]/2}
x = –––––––––––––.
          ln(4/2)
––––––
correggi ln(4/2) con ln(3/2)

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Vecchio 17-08-22, 16:25   #3025
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correggi ln(4/2) con ln(3/2)
Fatto!
–––
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Vecchio 17-08-22, 18:05   #3026
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Quella che vedete è una piramide a base triangolare.
Detta base è un equilatero, fidatevi, anche se da quella vista non si direbbe affatto, ma è colpa della prospettiva. E' un Equilatero se non altro perchè l'ho disegnato io.
In più ci metto l'area cioè 20 cosi quadrati.
Poi prendo la solita terna pitagorica da 3 4 5 e moltiplico per 2
Ho 6 8 10
E 6 8 10 sono gli spigoli della piramide.
Determinare il volume della piramide.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-08-22, 09:34   #3027
aspesi
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Determinare il volume della piramide.
Ciao
Non mi convince.

Il volume potrebbe essere zero, e in tal caso le "altezze" delle 3 facce laterali si incontrerebbero in un punto interno al triangolo equilatero che costituisce la base (di lato =RADQ(80/RADQ(3)) circa 6,796176979), lunghe rispettivamente:
faccia di "spigoli" 8 e 6 = 5,848886231
faccia di "spigoli" 10 e 8 = 7,964809404
faccia di "spigoli" 10 e 8 = 5,85514682

Probabilmente la domanda è:
Qual è il volume MASSIMO di questa piramide?
Calcolo che lascio volentieri a Erasmus...



(Però quello che ho scritto potrebbe essere una fesseria)

Ultima modifica di aspesi : 18-08-22 10:18.
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Vecchio 18-08-22, 10:30   #3028
nino280
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Be non è proprio una fesseria ma poco ci manca

Sinceramente io non avrei mai pensato che tu andavi a pensare che la piramide è piatta, cioè senza altezza.
Io (esagerando anche un pochino come è nel mio costume) ho 7000 modi per dimostrarti che quella piramide è una piramide vera.
Ho solo l'imbarazzo della scelta.
Ciao
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Vecchio 18-08-22, 11:07   #3029
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Ma forse fra le 7000 prove la più convincente è questa.
Ho acceso intanto tutta la piramide, non so per quale motivo avevo fatto vedere solo il "Telaio"
Questo disegno l'ho messo unicamente per farti vedere quello che devi fare tu se ne hai voglia, ma dovresti, visto che è a te che è venuto il dubbio.
Sopra sulla lista delle applicazioni di Geo se ne vedono 6 , sono di più ma ho fatto una finestra piccola per il postaggio.
L'ultima a destra si vede marcata nel riquadro perchè quando ho fatto la finestra era ancora selezionata.
Veniamo al dunque.
Ora ci metterò il famoso "Cliccabile"
E' necessario perchè con l'immagine di sopra non puoi fare nulla.
Col cliccabile agisci su quell'icona.
Mi pare che ci sia scritto "Rotazione Immagine" comunque è quella non ti puoi sbagliare.
Le scelte di quell' icona sono solo due mi pare, rotazione e sposta.
Bene una volta fatto ciò punta con il mouse un punto qualsiasi sul disegno, anche fuori della piramide e fai muovere il topo.
Vedrai mille e poi mille visioni della piramide.
Ma perchè dico tutto questo.
Be se fosse una figura piatta come tu hai sospettato, ci sarebbe un momento nel tuo roteare che la piramide degenerebbe in una linea o segmento che dir si voglia, in pratica la piramide scomparirebbe.
Ma questo non capita.
Attendere il cliccabile.

https://www.geogebra.org/m/gnag8fxh

Per la miseria non si vedono le icone.
Ma fa lo stesso.
Se clicchi su un punto qualsiasi e poi muovi il topo la piramide gira, ed è quello che in sostanza volevo far vedere.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 18-08-22 11:16.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-08-22, 16:27   #3030
nino280
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Prova n°2 (schiacciante)
Tre paroline:
io avevo disegnato la piramide con la base (ricordate quel triangolo equilatero) che stava o giaceva sul piano X Y
Lo si vede sto piano è quello azzurrino in basso che ora ho evidenziato.
Ma parallelo a questo, a distanza di 2, ne piazzo un' altro.
E' quello verdino.
I piani sono l'ideale per sezionare solidi.
Ed allora vado a fare l'intersezione fra il piano verde e la piramide.
Che fa il piano? Mi seca la piramide in un tronco di piramide ed una piramidina più piccola.
Non mi dilungo, basta vedere.
Ciò vuol dire che sto piano sente le superfici e le taglia, come se la piramide esistesse lì, diciamo materialmente.
Ho visto che tu (Aspesi) sei andato a calcolare le aree delle superfici delle quali io sto ora parlando, magari fino a stasera vado a metterceli anche io quei valori.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
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