Nino - Nino

[Erasmus]

·

Probabilmente la domanda è:
Qual è il volume MASSIMO di questa piramide?
Calcolo che lascio volentieri a Erasmus...

Se i tre spigoli laterali non sono troppo corti (e allora la piramide non c'è, ossia: dalla formula del volume viene un numero immaginario!) il volume è unico.
––––––––––--
Questa piramide d nino280 è un tetraedro irregolare del tipo della figura seguente

nella quale
a = b = c =√[80√(3)/3];
d = 10;
e = 6;
f = 8
Una formula generale per il volume (con riferimento alla figura qui sopra) è:
V = Sh/3 = [bc·sin(φ)/2]·[d·sin(ψ)·sin(β)]/3 (*)
Si sa che (invertendo la formula del teorema di Carnot);
1) cos(φ) =(b^2 + c^2 – a^2)/(2bc);
2) cos(χ) = (d^2 + b^2 – f^2)/(2db);
3) cos(ψ) =(c^2 + d^2 – e^2)/(2cd).

Dal "primo teorema del coseno " della trigonometria sferica segue che
cos(β) = [cos(χ) – cos(ψ)·cos(φ)]/[sin(ψ)·sin(φ)]. (**)
Da questa (**) si ricava
sin(β) = √{1 + 2·cos(φ)·cos(χ)·cos(ψ)– [cos(φ)]^2 – [cos(χ)]^2 – [cos(ψ)]^2}/[sin(ψ)·sin(φ)].
Sostituendo allora nella (*) sin(β) con questa espressione e poi cos(φ), cos(χ) e cos(ψ) con le rispettive espressioni scritte sopra in 1), 2) e 3) si ottiene per il volume di un tetraedro irregolare una formula funzione di tutte e sole le lunghezze degli spigoli.
Per cocisione di scrittura si ponga, provvisoriamente
x=a^2; y=b^2; z=c^2; u=d^2; v=e^2; w=f^2.. Con ciò la formula risulta:

       √[xu(–x+y+z–u+v+w) + yv(x–y+z+u–v+w) + zw(x+y–z+u+v–w)] – (abc +  aef + bfd + cde)]
V = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
                                                         12

Questa formula – ovviamente rimettendo a^2, b^2, c^2, d^2, e^2 e f^2 rispettivamente al posto di x, y, z, u, v e w – è facile da mandare a memoria se si osserva che:
a) Le coppie di spigoli opposti in figura sono (ad), (be) e (cf).
b) Davanti alle prime tre parentesi sotto radice ci stanno come fattori i quadrati di due spigoli opposti.
3) Dentro a ciascuna delle prime tre parentesi ci stanno i quadrati di tutti i 6 spigoli: i due fattori della parentesi col segno "meno" e gli altri quattro col segno "più".
4) Dentro la quarta parentesi ci sono i quadrati dei prodotti degli spigoli di ciascuna delle 4 facce.

Per maggiore chiarezza scrivo di seguito in cinque righe la formula completa.
[NB.Occorre tener presente la figura per controllare quali sono le coppie di spigoli opposti.] [code]
<Il volume V è uguale ad un dodicesimo della radice quadrata di>
[(ad)^2] ·(–a^2 + b^2 + c^2 – d^2 + e^2 + f^2) +
+ [(be)^2] ·( a^2 – b^2 + c^2 + d^2 – e^2 + f^2) +
+ [(cf)^2] ·( a^2 + b^2 – c^2 + d^2 + e^2 – f^2) +
– [(abc)^2 + (aef)^2 + (bfd)^2 + (cde)^2]. [code]
Nella piramide di nino280 [essendo 20 l'area della base che è un triangolo equilatero] abbiamo:
a = b = c = √[80/√(3)]; [e quindi a^2 = b^2 = c^2 = 80/√(3)]
d = 10; e = 6; f = 8. [e quindi: d^2 = 100; e^2 = 36; c^2 = 64]
––––––––––-
Il calcolo lo lascio fare a qualcun altro.
––––––––

[nino280]

Termino la campagna delle piramidi perchè mi rendo conto che dopo qualche giorno l'argomento comincia a puzzare come il pesce
E non è vero che devo fare 7000 prove, e poi in officina serve il disegno per fare il pezzo perchè è urgente.
Le solite due paroline:
come si vede l'altezza della piramide casca fuori dalla base.
Poi se tu hai fatto un disegno giusto per trovare il volume con Geo bastano 45 secondi 45
Basta cliccare i 3 vertici della base più il vertice in alto, e lui te lo dà.
Per l'altezza nemmeno io sapevo che cascava fuori.
Per disegnarla come ho poi fatto, io cercavo inizialmente l'intersezione fra il vertice di sopra e la base, ma naturalmente non me lo dava.
Dopo 3 o 4 tentativi arrivo a capire perchè non me lo dava.
Allora faccio di nuovo uso del piano X P (é sempre quello in verde) poi una parallela all'asse Z, interseco vertice con piano, spezzo la retta, ed ecco l'altezza 5,38377
Ultimo:
la difficoltà maggiore è stata fare il disegno come dicevo di sopra, giusto.
Dal mio primissimo disegno, quello che c'era la piramide vuota con solo il telaio, uno direbbe: sono solo 4 righe.
Ma per fare quelle 4 righe io ci ho impiegato 2 ore.
Altro che super poteri
Ciao
P.S.
Non mi sono accorto del paperino di Erasmus, perchè mentre lui postava io ero intento a postare a mia volta.
Ciao

[aspesi]

Erasmus

Il calcolo, lo lasco fare a qualcun altro.
––––––––

Per curiosità... viene proprio
V = 35,89177504

=RADQ(213333,3333+289634,4032+349367,7366-666831,8629)/12

[nino280]

Ma che brutti numeri
Probabilmente quando sono partito per questo quiz se invece di scegliere l'area del triangolo equilatero intera , avessi scelto di avere i lati interi, magari saltavano fuori numeri un poco migliori
Ciao

[aspesi]

Calcolare il rapporto esatto delle aree (cioè numeratore e denominatore della frazione)

[Erasmus]

Sempre più in basso! (°)
––––––––––––––––––––––--
Sia DB = 100 u.
Allora
1) DF = DE = (3/5)·DB = 60 u; (*)
2) AD = (4/5)·DE = 48 u.
3) AB = AD + DB = (48 + 100) u = 148 u: (**)
4) AC = (3/4) AB = (3/4)·148 u = 111 u (***)
Dalla (*) viene che l'area del quatrato DEGF è 3600 u^2.
Dalle (**) e (***) vene che l'area del triangolo ABC è (111·148/2) u^2 = 8214 u^2.
Il rapporto richiesto è dunque 8214/3600 = 1369/600 ) =2,281(6).
(°)!l carattere "=" va posto dopo e allo stesso livello della linea di frazione non sotto essa!
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––
Sia con Pitagora al triangolo rettangolo ABC che con proporzioni per similitudine viene BC = 185 u.
Anche: BC = (3/4 + 1 + 4/3)·GF = (37/12)·60 u = 185 u.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––--

[aspesi]

Area triangolo ABC = AB*AC/2 = (5x+12/5x)*(15/4x+9/5x)/2 = (37/5x*111/20x)/2 = 4107/200x^2

Area quadrato DEGF = 9x^2

Area_T/Area_Q = (4107/200)/9 = 1369/600

[nino280]

Scusa, ma non era più semplice prendere il solito triangolo 3 4 5
C'era anche scritto.
Ciao
Il rapporto l'ho scritto sotto il disegno in rosso

[aspesi]

nino280

Il rapporto l'ho scritto sotto il disegno in rosso

OK, ma si chiedeva numeratore e denominatore della frazione

[Erasmus]

nino280

OCCHIO!
I due triangoli [uno in alto a sinistra, l'altro in basso a sinistra) che hai marchiato con lo stesso numero 1,62162 sono simili ma non uguali!
Quello in alto a sinistra a i lati 5/4 dei corrispondenti lati di quello in basso a sinistra (e quidi l'area del primo è 25/16 dell'area del secondo).
-––––––––