Nino - Nino

[nino280]

Ma!
Sei daltonico?
Addirittura la bandella è di un colore più scuro del pianale.
Poi . . . .
ciao

[ANDREAtom]

Ti facevo un osservatore più attento; ingrandisci anche il disegno D (la soluzione) e mettilo a confronto con l'originale visto per intero, non c'è bisogno di ingrandirlo a dismisura,poi ragioniamo.

[aspesi]

In questa matrice 5x5 i 25 punti si toccano con 6 circonferenze.


Nino280, riesci a farlo con 5 circonferenze? (ci sono 3 soluzioni diverse)

[Erasmus]

nino280

Sei stato bravo a trovare quell'angolo di 30 gradi!
Ma nel quiz originale che tu stesso hai posto, cioè

io avevo capito – sbagliando! – che x fosse la lunghezza del segmento KD (in rapporto ad un predeterminato valore della base AC).
Dal punto di vista grafico il venir a sapere quanto vale l'angolo DKC è molto facile perché, anche senza accorgersi che ABD è isoscele (e quindi è isoscele anche BDC), è facile riportare col compasso AB su AC come DC e poi AD su BC come KC, tracciare KD e quindi semplicemente misurare il nuovo angolo DKC.
Ma, dal punto di vista strettamente matematico, il calcolare quell'angolo comporta proprio il conoscere la lunghezza di KD (ovviamente in una determinata scala arbitraria, arbitraria ma già determinata, per esempio in rapporto al segmento base [i]AC[/I]).
Con i dati leggibili nella figura elaborata da nino280 si trova (circa):
KD/AC = [2DC·sin(20°)]/AC =
=2·9,79055· 0,342020143325667/(15 +9,79055) ≈ 6,697130628474218/24,79055 ≈ 0,270149.

Il calcolo matematico (anche soltanto numerico) della lunghezza del segmento KD preliminare al calcolo dell'angolo DKC non è molto diffioile ma è alquanto laborioso. [Si vedano i "conticini" del solutore del quiz riportati da nino280 e che ad ANDREAtom parevano "geroglifici"!]
Io (col procedimento che poi spiegherò) col calcolo solo numerico ho trovato
KD/AC ≈ 0,270148607487335.

Con questo valore di KD/AC mi risulta
sin(DKC) = DC·sin(20°)/KD = 0,499999999999994 ≈ 1/2
e quindi effettivamente
DKC = arcsin(1/2) = π/6 rad = 30°.

Ma è anche possibile procedere col calcolo simbolico fino a trovare che il seno dell'angolo DKC vale esattanente 1/2, ossia che quest'angolo vale proprio 30°.

Come ho trovato (KD/AC)^2
Posto, per comodità

  a = BC,
  b = CA, 
  c = AB;
  d = KD  e
  m = cos(20°),

ricordando che in generale:

   sin(2φ) = 2·sin(φ)·cos(φ); 
   cos(2φ) = [cos(φ)]^2 – [sin(φ)]^2  = 2·[cos(φ)]^2 – 1

nel dato triangolo ABC, assumento la base b come unità di misura, si ha:
c·sin(40°) = a·sin(20°) ==> a = 2c·cos(20°) = 2m·c:
c·cos(40°) + a·cos(20°) = b = 1 <==> c·{2[cos(20°)]^2 – 1} + [2c·cos(20°)]·cos(20°) = 1 ==>
==> c·(4m^2 – 1) = 1 ==> c = 1/(4m^2 – 1))-
Cioè:
DC = c =1/(4m^2 – 1);
AD = b – c = 1 – c = (4m^2 – 2)/(4m^2 – 1).

Con ciò, col teorema di Carnot si trova subito:
KD^2 = [(4m^2 – 2)^2 + 1 – 2m(4m^2 – 2)]/(4m^2 – 1)^2] =
= (16·m^4 – 8·m^3 – 16·m^2 + 4m + 5)/(16m^4 – 8m^2 + 1).
Questa espressione in m si può semplificare osservando che, in generale, se m = cos(φ) allora
cos(3φ) = 4·[cos(φ)]^3 – 3·cos(φ) = 4m^3 – 3m.
Nel nostro caso, cioè per φ = 20°, abbiamo cos(3φ) = cos/60°) = 1/2, ossia:
4m^3 – 3m = 1/2.
Tenendo conto di ciò l'espressione di KD^2 diventa:

 4m(4m^3 – 3m – m) – 2(4m^3 – 3m + m) + 5      4m(1/2 – m) – 2(1/2 + m) + 5      
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– =  –––––––––––––––––––––––––––  =
                 4m(4m^3 – 3m +m) + 1                             4m(1/2 + m) + 1
  
        2m - 4m^2 – 1 – 2m + 5                          4·(1 – m^2)
   =  –––––––––––––––––––––  ==> KD ^2= ––––––––––-–––- . 
                2m  + 4m^2  + 1                          4·m^2 +2m + 1

Analogamente, DC^2 = 1/[(4m^2 – 1)^2] diventa:

          1                                   1                               1                     1   
––––––––––––––--- = ––––––––––––––––––– = ––––––––––––– = ––––––––––--–.
16m^4 – 8m^2 +1     4m(4m^2 –3m +m)+1     4m(1/2 +m) +1    4m^2 +2m +1

Nel triangolo KDC, posto x l'angolo DKC, si ha dunque:

KD·sin(x) = DC·sin(20°) ==> [KD·sin(x)]^2 = (DC^2)·(1 – m^2)  ==>

             4·(1 – m^2)                                1
==> ––––––––––––––-·[sin(x)]^2 = –––––––––––––-· (1 – m^2)  <==> 4[sin/x)]^2 = 1 <==>
          4m^2 + 2m + 1                     4m^2 + 2m + 1

                              1                          1
 <==> sin/x)]^2 = ––  ==> skin(x) = –––   ==> x =arcsin(1/2) = π/6 rad = 30°.
                              4                          2

––––––––––

[Erasmus]

aspesi

In questa matrice 5x5 i 25 punti si toccano on 6 circonferenze.[...]

Non capisco cosa vuoi dire!
(Non capisco sia mettendo "in" al posto di "on", ai mettendo "con"al posto di "on").
[Prova a dirmelo cambiando qualcosa ... e con qualche parolina in più ]
–––––––

[nino280]

Erasmus

Sei stato bravo a trovare quell'angolo di 30 gradi!
Ma nel quiz originale che tu stesso hai posto, cioè

Be l'autore del quiz e diciamo pure di quel disegno è stato avaro di dati e notizie.
Io diciamo avevo capito subito che voleva l'angolo, dal momento che per i lati non diceva nulla e si limitava a dire lunghezze uguali uguali a colori uguali.
Sarebbe bastato che su quella x ci avesse messo il pallino di grado ( X° ) e finiva li.
Comunque dei tanti disegni che fatto quello che mi piace più di tutti è l'ultimo.
Quello cioè che arrivo a costruire l'equilatero e poi . . . . .
Naturalmente non sono un genio e non so quante prove ho fatto per arrivarci.
Ma pensavo ad una mente eccelsa, non la mia, che avesse previsto o preconizzato quel disegno, che una volta fatto pare persino banale quanto è elementare, Lui la mente eccelsa fa appunto 60° / 2 = 30° senza una miriadi calcoli e calcoletti .
Ci ho messo Lui con la lettera maiuscola in suo devoto rispetto
Ciao

[aspesi]

nino280

Non so cosa bisogna fare di preciso.
Disegnare e disegnare e contarli?

Disegnare il minor numero possibile di circonferenze (di posizione e raggio qualsiasi), mediante le quali si riesce a toccare (passare sopra) tutti i 25 punti della matrice quadrata.

L'esempio indicato nel messaggio precedente realizza questo con 6 cerchi. Si può fare con 5.

[Erasmus]

nino280

[...] Lui la mente eccelsa fa appunto 60° / 2 = 30° senza una miriadi calcoli e calcoletti .
Ci ho messo Lui con la lettera maiuscola in suo devoto rispetto

In questo caso l'angolo richiesto è la media aritmetica dei due angoli dati (uno doppio dell'altro). Ma in generale, [mantenendo la condizione che uno dei due angoli è doppio dell'altro], non è così!
Per esempio, se a destra l'angolo fosse 30° e quindi a sinistra (dove c'è il doppio) fosse 60°, ABC sarebbe rettangolo in B e allora sarebbe AD = DC e quindi anche KC = DC. Cioè:
• [i]ABD[i] equilatero e KDC isoscele su KD;
• in KDC 30° l'angolo al vertice C e quindi 75° gli angoli in D ed in K.

Ripeto che dal puunto di vista grafico la soluzione è facilissima: basta fare un buon disegno e misurare quell'angolo di cui è richiesta l'ampiezza.
[E', in fondo, quello che tu hai fatto fare a GeoGebra.]
Dal punto di vista analitico, se diciamo m il coseno dell'angolo a destra (quello che in questo quiz è 20°) abbiamo sempre che il seno dell'angolo x richiesto è:

                           √(1 – m^2)
  sin(x) = ––––––––––––––––––––––––––––––––- .
               √(16m^4 – 8m^3 – 16m^2 + 4m + 5)

Nota che √(1 – m^2) è il seno dell'angolo di destra (quello che in queeto quiz è 20°).
Allora il coseno di x viene:

              √(16m^4 – 8m^3 – 15m^2 + 4m + 4)
 cos(x) = ––––––––––––––––––––––––––––––––- 
               √(16m^4 – 8m^3 – 16m^2 + 4m + 5)

e quindi la tangente di x risulta:

                           √(1 – m^2)
  tan(x) = ––––––––––––––––––––––––––––––––- .
               √(16m^4 – 8m^3 – 15m^2 + 4m + 4)

Per m = cos(20°), sostituedo 4·m^3 con (4m^3 – 3m) + 3m = 1/2 + 3m, si ha:

                                   √(1 – m^2)
  tan(x) = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 
               √[4m(1/2 + 3m)– 2(1/2 + 3m) –15m^2 + 4m + 4]    

                              √(1 – m^2)                                   √(1 – m^2)         1
         = –––––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––- = ––––-.
             √(2m +12m^2 –1 – 6m –15m^2 +4m +4)       √(3 – 3m^2)       √(3)

Vedi che tan(x) = 1/√(3), (da xui x = 30, è ciò che ha trovato anche l'autore dei "geroglifici".
Nemmeno io ho decodificato i "geroglifici"!
Mi pare che il mio metodo, cioè quello di sfruttare il fatto che
[cos(20°)]^3 – 3·[cos(20°)]= cos(3·20°) = cos(60°) =1/2,
sia il più chiaro.
–––––

[Erasmus]

aspesi

Disegnare il minor numero possibile di circonferenze (di posizione e raggio qualsiasi), mediante le quali si riesce a toccare (passare sopra) tutti i 25 punti della matrice quadrata.
[...] Si può fare con 5.

Mi pare abbastanza facile!
Facile disegnare 5 cerchi (che chiamo A, B, C, D ed E) che nella matrice

     11       12       13       14       15

     21       22       23       24       25

     31       32       33       34       35

     41       42       43       44       45

     51       52       53       54       55

passino rispettivanente

A per                    B per                     C per
  ...  ... 13 14  ...       ...  ...  ... ...  ...       ...  ...  ... ...  ...
  ...  22 ...  ... 25       ...  ... 23 24  ...       ... 22 23  ...  ...
  ...  32 ...  ... 35       ...  32 ...  ... 35       31 ...  ... 34  ...
  ...  ... 43 44  ...       ...  42 ...  ... 45       41 ...  ... 44  ...
  ...  ...  ... ...  ...       ...  ... 53 54  ..        ... 52 53  ...  ...

(Già toccati)           D per                   E per                  
  ...  ...  13 14 ...       ...  12 ...  ... ...      11 ...  ...  ... 15
  ...  22 23 24 25       21  ... ...  ... ...      ...  ...  ...  ... ...
  31 32 ...  34 35       ...  ... 33  ... ...      ...  ...  ...  ... ...
  41 42 43 44 45       ...  ...  ...  ... ...      ...  ...  ...  ... ...
   ... 52 53 54  ...       ...  ...  ...  ...  ...     51 ...  ...  ... 55

Ecco, per controllo, le matrici dalle quali cancellare i non toccati da una sola circonferenza.

A per                    B per                     C per
  11 12 13 14 15       11 12 13 14 15       11 12 13 14 15
  21 22 23 24 25       21 22 23 24 25       21 22 23 24 25
  31 32 33 34 35       31 32 33 34 35       31 32 33 34 35
  41 42 43 44 45       41 42 43 44 45       41 42 43 44 45
  51 52 53 54 55       51 52 53 54 55       51 52 53 54 55

D per                    E per 
  11 12 13 14 15       11 12 13 14 15
  21 22 23 24 25       21 22 23 24 25
  31 32 33 34 35       31 32 33 34 35
  41 42 43 44 45       41 42 43 44 45
  51 52 53 54 55       51 52 53 54 55

Le circonferenze ... se le disegni chi vuole!
–––

[aspesi]

Erasmus

passino rispettivanente

A per                    B per                     C per
  ...  ... 13 14  ...       ...  ...  ... ...  ...       ...  ...  ... ...  ...
  ...  22 ...  ... 25       ...  ... 23 24  ...       ... 22 23  ...  ...
  ...  32 ...  ... 35       ...  32 ...  ... 35       31 ...  ... 34  ...
  ...  ... 43 44  ...       ...  42 ...  ... 45       41 ...  ... 44  ...
  ...  ...  ... ...  ...       ...  ... 53 54  ..        ... 53 54  ...  ...

(Già toccati)           D per                   E per                  
  ...  ...  13 14 ...       ...  12 ...  ... ...      11 ...  ...  ... 15
  ...  22 23 24 25       21  ... ...  ... ...      ...  ...  ...  ... ...
  31 32 ...  34 35       ...  ... 33  ... ...      ...  ...  ...  ... ...
  41 42 43 44 45       ...  ...  ...  ... ...      ...  ...  ...  ... ...
  ...  ... 53 54  ...       ...  ...  ...  ...  ...     51 ...  ...  ... 55

Le circonferenze ... se le disegni chi vuole!
–––

Queste sono 3 soluzioni. La tua mi pare diversa e potrebbe essere una quarta soluzione (però mi pare manchi 52)