Nino - Nino

[nino280]

aspesi

Giusto! (Risultato trovato in rete)

Non so se ci sarei arrivato

Questi sono i misteri della Fede Calcistica
Robetta della mia prima infanzia.
Ciao
Intendiamoci, le 400 operazioni (ok non saranno proprio 400, ma ci andiamo vicino) non sono dovute al fatto che ho fatto tanti tentativi, ho fatto 1 solo tentativo.
400 sono dovute al numero della operazioni necessarie, voglio dire che il procedimento è lungo.
Ciao

[Erasmus]

nino280

Questi sono i misteri della Fede Calcistica!
Robetta della mia prima infanzia.
Ciao
Intendiamoci, le 400 operazioni (ok non saranno proprio 400, ma ci andiamo vicino) non sono dovute al fatto che ho fatto tanti tentativi, ho fatto 1 solo tentativo.
400 sono dovute al numero della operazioni necessarie, voglio dire che il procedimento è lungo.
Ciao

Dimostro che l'area richiesta (del rettangolo in cui stanno 9 cerchietti uguali) è 400 "cosi" con un breve prodcedimento (in cui il numero di operazioni è ben minore di 400).

Detto R il raggio di un cerchio, sia φ l'inclinazione del raggio che congiunge il centro [d'un cerchio] a sinistra di un fuso di intersezione con il punto più alto di questo fuso.
Allora l'altezza di un fuso è 2Rsin(φ) e la larghezza è 2R[1 – cos(φ)].
Nella figura-testo è evidente un triangolo rettangolo di ipotenusa 20 "cosi" e di cateti
c1 = altezza del fuso, cioè 2Rsin(φ)
c2 = 3 diametri meno la.larghezza di un fuso, cioè 6R – 2R[1 – cos(φ)] = 4R + 2Rcos(φ).
a) Allora, con Pitagora, si ha:
[2Rsin(φ)]^2 + [4R + 2Rcos(φ)]^2 = 400
Svogendo i quadrati e ricordando che [sin(φ)]^2 + [cos(φ)]^2= 1 si trova:
[20 + 16cos(φ)]R^2 = 400 (*)
b) La lunghezza L del rettangolo di cui si chiede l'area è 9 diametri meno 4 larghezze d'un fuso cioè:
L = 18R – 4·2R[1 – cos(φ)] = [10 + 8cos(φ)]R.
L'altezza H del detto rettangolo è
H = 2R.
L'area di questo rettangolo è dunque
LH = [10 + 8cos(φ)]R·2R = [20 + 16cos(φ)]R^2 (**)
Confrontando (**) con (*), il famigerato Giuseppe Scorza Dragoni direbbe:
«Donde la conclussionre»
-––––––––––––-
@ nino280
Non ho contato quante sono le operaziooni del mio procedimento, ma scommetterei che non sono di più di √(400).
–––
@ aspesi
Non ci credo che non ci saresti arrivato!
O meglio: non ci arrivi finchè insisti nel crogiolarti nella "mania" di odiare la trigonometria!
[Absit iniuria a verbo "mania" ]
––––

[nino280]

Sei sicuro di quella tua formula?
Io ho provato a sostituire le tue lettere con dei valori (numerici) e non mi viene.
Potresti provarci tu a fare delle sostituzioni visto che la formula la proponi tu?
Tanto più che io potrei anche essermi sbagliato nel calcolo con valori numerici.
Ciao

[Erasmus]

nino280

Sei sicuro di quella tua formula?

Puoi tu stesso controllare se è giusta o mno controllando se va bene o no quel mio procedimento.

nino280

Io ho provato a sostituire le tue lettere con dei valori (numerici) e non mi viene.
Potresti provarci tu a fare delle sostituzioni visto che la formula la proponi tu?
Tanto più che io potrei anche essermi sbagliato nel calcolo con valori numerici.

Non puoi fare sostituzioni numeriche se non mantenendo il prodotto Rcos(φ) che, essendo comunque
20·R^2 + 16·(R^2)·cos(φ) = 400 cosi^2 (°)
deve valere quanto segue:
Rcos(φ) = {√[400 cosi^2 – 20R^2]} / 4 = √[25 cosi^2 – 5·(R/2)^2]
Cio equivale a
cos(φ)=√[(5 cosi)/R]^2 – 5/4].
Come unità di misura (da sostituire a "cosi"). puoi prendere quello che preferisci.
Ma allora, attento ché il 20 cm del testo va cosiderato "20 cosi"!
Insomma: se fissi il valore di R rispetto a quel 20 cosi, sucede che poi cos(φ) non è più una variabile: e viceversa.
Dalla tua figura mi par di capire che tu hai assunto che la larghezza di un fuso sia uguale al raggio dei cerchi. Allora è come avessi assunto cos(φ) =1/2, ossia φ = 60° (gradi).
In tal caso è R che non è più variabile ma deve essere – in base alla (°) – ;
R = √[400/(20+8)] cosi = [10√(7)]/7 cosi.
–––––––
Ripeto: puoi controllare tu stesso se il mio procedimento è o non è corretto!
––––––––

[nino280]

Erasmus hai visto male.
La distanza o larghezza dei fusi non è affatto uguale a raggio.
C'è una lievissima differenza, ma c'è.
Quel disegno che ho postato è un capolavoro di Ingegneria Meccanica o diciamo di grafica associata alla geometria, e questo è evidente, basta dire che l'ho fatto io.
IL prossimo disegno sarà quello di far vedere come al variare di R non varia l'Area del rettangolo.
Ciao
Comunque i tuoi dubbi sono del tutto giustificati, perchè i centri delle circonferenze che sono tangenti sull' ascissa fra di loro e sono 5 contro i 4 non tangenti, sono talmente vicini che ad occhio sembrano sovrapporsi.
Ho due possibilità per mostrarti questa faccenda.
O faccio un bello zoom in quella zona, ho cambio la R in modo che lo scostamento dei centri risulta apprezzabile.
Se è il caso farò uso anche del cliccabile con l' animazione.
A frappè

[nino280]

Nota come si distanziano i centri dei fusi con i cerchi tangenti.
E questo è sorprendente, avendo io cambiato quasi in diretta, il raggio di pochissimo, cioè era prima 3,75 ora è 4
E mi viene sempre 400 perchè come si evince 8 x 50 = 400
Ciao

[Erasmus]

@ nino280
Ma non serve quello che vuoi fare!
Come alltre volte, ci sono due grandezze che sono mutuamente condizionate.
Ovviamente il coseno di phi deve stare (in questo caso) tra 1/2 e 1. Ossia: il fuso può avere larghezza tra 0 e R. Ma 0 è un caso limite che rende degenere il triangolo rettangolo (in cui si annullerebbe un cateto e l'altro diventerebbe lungo come l'ipotenusa). Invece 1/2 va pure bene. L'importante è che R ·cos(phi) sia tale da rispettare quel triangolo rettangolo con ipotenusa 20 "cosi"!
Lascia perdere! Hai trovato giustamente la risposta 400 cosi^2.
Penso che sei partito con il fuso largo come il raggio ma poi il raggio non andava bene e quindi hai dovuto modificare e controllare con un calcolo ... e alla fine avvicinarti per approssimazioni successive ad una soluzione con i fusi un pelo meno largghi di un raggio.
Tu non hai usato cos(phi) come l'ho usato io. Ed è perciò che, per arrivare ad una giusta soluzione hai dovuto fare un mare di calcoli.
––––

[nino280]

Ma!
In verità ho fatto Zero calcoli.
La lunghezza del procedimento di cui parlavo, era dovuto solo a lunghezza di designazione.
Perchè ho dovuto fare 18 o giù di lì, intersezioni con cerchi e perpendicolari e anche parallele varie.
Ho già adoperato il termine "sorprendente" ma lo ripeto ancora una volta.
E' sorprendente come il risultato è saltato fuori quasi da solo.
Ciao

[aspesi]

Una volta che mi sono deciso ad esaminarlo, mi sono accorto che questo problema è di una semplicità disarmante (banale, direi)

Infatti, io ho semplicemente fatto finta che i 9 cerchiolini siano tangenti (in modo progressivo).
A questo punto, dal dato in ipotesi (20 cm) si ricava subito che il raggio di questi 9 cerchi è =10/3 cm
e che l'altezza del rettangolo di cui occorre calcolare l'area è =2R, cioè 20/3 cm

Ne consegue facilmente:

S = 9*2*10/3*20/3 = 400 cm^2


D'altronde, se anziché avere 9 cerchi tangenti, si avesse (all'estremo opposto) un cerchio centrale con 4 cerchi ai lati (a due a due sovrapposti), anche in questo caso l'area del rettangolo sarebbe = 400 cm^2
Perché:
100 = R^2 + 4R^2
R = 2√(5)

S= 10*2√(5)*4√(5) = 400

[Erasmus]

aspesi

[...] ho semplicemente fatto finta che i 9 cerchiolini siano tangenti (in modo progressivo).

Hai solo avuto "c.**o"
Questo è il caso limite (cui ho pure accennato in dialogo con nino280) per larghezza infinitesima dei fusi.
Ma dovresti dimostraere – tu non lo fai ed io invece l'ho fatto – che la soluzioone va bene per fusi di larghezza variabile assieme al variare del raggio condizionato dal variare della larghezza dei fusi. Toh che questa dimostrazione richiede o un pizzico di trigonometria o un aggirare la cosa con alcune (non so ora quante) altre uguaglianze geometriche comprendenti più volte il teorema di Pitagora. [Ricordiamo che le funzioni trigonometriche, anche se poi si sono rese "autonome", sono nate "trigonomeytricamengte – = per studiare triangoli – dai rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo al variare della sua forma, ossia (in ultima istatnza) dall'ampiezza di un suo angolo acuto. Insomma: Della trigonomegtria in greometria euclidea si può fare a meno: ma si incappa in procedimenti lunghi e barbosi: e appunto per questo è stata inventata apposta la trigonometria.

D'altra parte, non mim pare che quanto ho fatto io sia particolarmente elevato o lungo!
Ripeto: se tu accettassi di usare un pizzico di ytrigonometria scopriresti anche tun che è comodo e facile fare come ho fatto io.
Parti dall'idea che le equazioni parametriche di un cerchio con origine in (0, 0) e raggio R sono
x = Rcos(phi); y = Rsin(phi). E allora arrivi di colpo a trattare i fusi del quiz come ho fatto io!
––––