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Vecchio 21-08-21, 08:01   #2121
aspesi
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nino280 Visualizza il messaggio
[

Naturalmente questo quadrangolo ha ancora numerose sfaccettature.

E poi, e poi.
Ciao
Quello che interessa veramente θ:
chiamato K il punto d'incrocio delle diagonali AC e BD, le 4 lunghezze DK, KB, AK e KC sono lunghe rispettivamente 24, 90, 60 e 36 (tutte e 4 diviso RADQ(19))

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-08-21, 14:16   #2122
nino280
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Ti servivano insomma le quattro "semi" diagonali?
E dimmelo!
Sai che una volta impostato un disegno poi puoi chiedergli tutto quello che vuoi.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 22-08-21, 22:52   #2123
Erasmus
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Quiz giΰ risolto da un pezzo!
[NB. Ho scritto apposta un veronesismo! Qui "da un pezzo" significa "da molto tempo"].
Ma sapete bene che non mi piacciono le risposte giuste senza spiegazione di come ci si arriva!
Metto allora un modo di risolvere questo quiz.
Chiamo q il lato del quadrato.
Se sapessi quanto vale q^2, troverei subito il coseno di x con Carnot perchι nel triangolo di sinistra di lati 1, 2 e q il Teorema di Carnot fa:
1^2 + 2^2 – 2·(1·2)·cos(x) = q^2 ==> cos(x) = (1^2 + 2^2 – q^2)/[2·(1·2)] ==>
==> cos(x) = (5 – q^2)/4. (*)
Vado allora in cerca di q.
Sia P il punto interno al quadrato estremo comune dei segmenti lunghi 1, 2 e 3.
Sia u la distanza di P dal lato di sinistra del quadrato e sia v la distanza di P dal lato inferiore del quadrato.
Ho allora:
u^2 + v^2 = 1^2 = 1;
u^2 + (q – v)^2 = 2^2 = 4 ==> q^2 – 2qv = 3 ==> v = (q^2 – 3)/(2q);
(q – u)^2 + (q – v)^2 = 3^2 = 9 ==> 2q^2 –2qu – 2qv = 8 ==>
==> u+v = (2q^2 – 8)/(2q) ==>
==> u = (2q^2 – 8)/(2q) – (q^2 – 3)/(2q) = (q^2 – 5)/(2q) e v = (q^2 – 3)/(2q).
Riassumendo: u = (q^2 – 5)/(2q) e v = (q^2 – 3)/(2q).

Allora
u^2 + v^2 = 1 ==> q^4 – 10q^2 + 25 + q^4 – 6q^2 + 9 = 4q^2 ==>
==> 2q^4 – 20q^2 + 34 = 0 ==> q^4 –10q^2 + 17=0 ==>
==>q^4 –10q^2 + 25 = 8 ==> (q^2 – 5)^2 = 8 ==> q^2 = 5+2√(2).

Pertanto [riprendendo la (*) ]:
Codice:
             5 – q^2      5 – [5 + 2√(2)]      –2√(2)       √(2) 
cos(x) = ––––––– = ––––––––––––– =   ––––– = – –––––  ==>
                 4                       4                   4              2      
                                         
==> x = arccos[–√(2)/2] = 3(π/4)  rad = 135°.
–––––
__________________
Erasmus
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 24-08-21, 03:06   #2124
Erasmus
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Predefinito Re: Nino - Nino

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Mi piacerebbe vedere come Erasmus risolve questo problema:
Ti accontento!
Rimetto prima la figura per comoditΰ di riferimenti.
a) Per generalizzare, supponiamo che in figura sia:
AC= a; BD = b; AB = p; CD = q (lunghezze note)
DA = x; BC = y (incognite)
[Quando si manipolano espressioni algebriche astratte ... si va meglio a lavorare con simboli letterali che con numeri]
b) In un un quadrilatero convesso circoscrittibile gli angoli opposti sono supplementari e quindi il coseno di uno θ opposto del coseno dell'altro, ossia: la somma dei coseni di due angoli opposti θ nulla.
In un triangolo ABC con lati di lunghezza a, b e c rispettivamente opposti ai vertici A, B e C, invertendo il teorema di Carnot si ha (per esempio):
cos(A) = (b^2 + c^2 – a^2)/(2bc)
c) Siccome i triangoli DAB e BCD hanno in comune il lato BD = b, sommando i coseni degli angoli in A e in C ottengo
Codice:
x^2 + p^2 – b^2      y^2 + q^2 – b^2
––––––––––––––– + ––––––––––––––– = 0   ==>
     2px                            2qy

                                      px + qy
==> xy + pq =  (b^2) · ––––––––                       (*)
                                     qx + py
E siccome i triangoli ABCe CDA hanno in comune il lato AC = a, sommando i coseni degli angoli in B e in D ottengo
Codice:
x^2 + q^2 – a^2      y^2 + p^2 – a^2
––––––––––––––– + ––––––––––––––– = 0   ==>
     2qx                            2py

                                      qx + py
==> xy + pq =  (a^2) · ––––––––                  (**)
                                     px + qy
Uguagliando allora i secondi membri di (*) e (**) ricavo:
Codice:
    a^2                  b^2                                                              x       ap – bq
–––––––––  =   ––––––––––   ==> aqx + apy = bpx +bqy. ==> ––– = ––––––––       (***)
(px+qy)^2       (qx + py)^2                                                       y.       bp – aq
Se ora nella (***) metto i tuoi numeri, essendo:
a = 96/√(19) = [6√(19)]·(16/19) = (16/19)b,
trovo
x/y = (16·30 –19·12)/(19·30 – 16·12) = (80 – 38)/(95 – 32) = 42/63 = 6/9 = 2/3.
Se ora riprendo una qualsiasi equazione precedente e sostituisco y con (3/2)x trovo una equazione nella sola x.
Ma preferisco ricavare il prodotto xy dalla (*) (sostituendovi y con (3/2)x solo nel 2° membro):
Codice:
                              2p + 3q                            96
==> xy  =  (b^2) · –––––––– – pq   = (36·19)·–––– –360 = 576 – 360 = 216.  
                              2q + 3p                            114
Infine:
Codice:
                 x               2 
 x^2 = xy –––  = 216·––– = 144 ––> x = √(144) = 12;
                 y               3
                 y               3 
 y^2 = xy –––  = 216·––– = 324 ––> y = √(324) = 18.
                 x               2
NB Risolto direttamente sul computer nuovo, senza usare nessun mezzo di calcolo e nemmeno carta su cui scrivere a mano!
Ci ho messo molto tempo a scrivere ... come Dio comanda!
Ma il calcolo in sι θ facile-facile una volta scritte le due equazioni con la somma dei coseni degli angoli opposti uguagliata a zero.
––––––


P:S_
Dimenticavo che tu chiedevi il perimetro.
Eccolo.
x + p + y + q = 12 + 30 + 18 + 12 = 42 + 30 = 72.
A riciao!
__________________
Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 24-08-21 03:18.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 24-08-21, 08:16   #2125
aspesi
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Ti accontento!

P:S_
Dimenticavo che tu chiedevi il perimetro.
Eccolo.
x + p + y + q = 12 + 30 + 18 + 12 = 42 + 30 = 72.
A riciao!
, ma non credo possa mai essere il mio approccio.

Comunque, xy = 216 come ho detto a nino218 si trova piω facilmente facendo
xy = DB*AC - AB*CD = 6RADQ(19)*96/RADQ(19) - 12*30

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 24-08-21, 08:48   #2126
Erasmus
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xy = 216 come ho detto a nino218 si trova piω facilmente facendo
xy = DB*AC - AB*CD = 6RADQ(19)*96/RADQ(19) - 12*30
Ma θ ESATTAMENTE l'espressione che ho trovato anch'io per il prodotto xy
Tu la scrivi servendoti di un teorema ... che io (insegnante di matematica! ) purtroppo NON CONOSCO.
Tu hai una spiccata avversione all'uso. della trigonometria. Ma come usi abitualmente il Teorema di Pitagora, cosμ potresti fare col Teorema di Carnot (di cui quello di Pitsgora non θ, in fondo, che un caso particolare).
-------
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Vecchio 25-08-21, 10:28   #2127
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Riporto qui da me questo disegno che ho fatto stanotte, per 2 motivi:
uno perchθ lμ in Estrazioni Casuali θ completamente fuori luogo e secondo nel caso mi dovesse servire fra giorni o anni, magari lo ritrovo piω facilmente.
Ciao
Solo manca la didascalia, non so se riesco a farne una copia da lμ.

Ultima modifica di nino280 : 25-08-21 10:32.
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Vecchio 25-08-21, 10:38   #2128
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Sia io che forse anche tu Astromauh non abbiamo considerato un terzo caso.
E sarebbe quello che nessuno dei tre punti che presi a due a due passano per un cerchio massimo.
E' il caso che si vede lμ in figura.
Allora ho cercato di sistemare i tre punti sulla sfera abbastanza vicini fra loro, sono i punti B C D che ho cercato di far stare nel primo ottante, quello in cui X Y Z sono tutti positivi. Per questi tre punti faccio passare una circonferenza, θ quella piccola color nero.
Premetto che θ indifferente fare passare una circonferenza per tre punti, oppure fare un piano (e l'ho fatto, θ quello color verdino piω a destra o piω in alto) e con questo piano fare una sezione che intersechi la sfera e come risultato ottengo sempre la stessa circonferenza piccola color nero.
Ma il piano che dicevo pocanzi, mi era anche strettamente necessario perchθ dovevo fare poi fare un piano parallelo ad esso che passando per il centro della sfera mi andasse a sezionare la sfera. Detto piano parallelo come si vede in figura θ quello verniciato in rosso.
E allora per finire, seziono la sfera con detto piano rosso, ottengo la mia semisfera che cercavo e che si vede chiaramente in figura (la parte di sopra e verso destra) con il suo bel cerchio massimo (ora sμ) in Blu.
Ciao
Si le stranezze della rete.
Si riesce a trasportare da una sezione all'altra la descrizione no invece il disegno.
Ho dovuto per portarlo di qui riadoperare postimage.
Cosa che no succedeva quando avevo Internet Explorer
Maledizione: non sono piω stato capace a reinstallarlo, malgrado un minimo di almeno 1000 tentativi.
Del resto il manuale del 3D lo stavo scrivendo credo in questa sezione, che poi mi interruppi, non ricordo piω dove ero arrivato se al capitolo 9 o al 10
Facciamo che questo sia il capitolo 11
E' una parte molto ma molto interessante, dove si vede come si possa sezionare un solido con un "Piano", scelto magari (il piano) a tuo piacimento.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 25-08-21 11:00.
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Vecchio 25-08-21, 11:28   #2129
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Ripensandoci, le semisfere che posso costruire con quei tre punti che io avevo messo a casaccio sulla sfera intera, sono infinite. Basta che i tre punti stiano tutti dalla stessa parte del piano secante, e che naturalmente il piano secante passi per il centro della sfera.
Solo, la condizione che ho disegnato io θ unica, dettata dal fatto che i tre punti sono tutti equidistanti dalla base, permettetemi di chiamarla cosμ, della semisfera.
E dove sta la differenza fra quest'ultimo caso ed il caso precedente cioθ quello del mio primo disegno?
La differenza principale θ che nel mio primo disegno c'erano due punti che appartenevano sia alla superficie piatta della semisfera sia alla sua superficie curva, mente in questo secondo disegno i tre punti stanno tutti sulla superficie curva.
Ciao
Facciamo, visto che ci siamo, le dovute differenze fra una sfera e una semisfera.
La sfera diciamo ha un equilibrio non so come si dice, se semistabile o indifferente.
Qualsiasi punto che la appoggiamo ad un piano stavolta il piano θ inteso come piano reale tipo per esempio un tavolo e non il "geometrico" che io mi servo per fare le sezioni, lei sta.
Ma il piano deve essere perfettamente orizzontale come sanno tutti, sennς la sfera rotola.
Cosa succede con la semisfera?
Se la appoggiamo dalla parte piatta lei sta ferma.
Ma la appoggiamo dalla parte curva che fa?
Se il piano θ orizzontale si comporta come la sfera intera, ma facciamo il caso che il piano sia inclinato di 2°
Su due piedi direi che anche la parte di sopra quella piatta si inclina di 2 gradi.
Ma sarΰ poi cosμ?
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 25-08-21 20:35.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-08-21, 21:25   #2130
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