Estrazioni casuali

[Erasmus]

astromauh

Mi è costato parecchia fatica ricavare queste formule.

a = ( (y1-y2)*(x1^2-x3^2) + (y1-y2)*(y1^2-y3^2) - (y1-y3)*(x1^2-x2^2) -(y1-y3)*(y1^2-y2^2) ) / ((y1-y3)*(x1-x2)-(y1-y2)*(x1-x3))
b= ( -(x1^2-x2^2) - (y1^2-y2^2) - (x1-x2) * a ) / (y1-y2)
c= -x1^2 -y1^2 - a*x1 - b*y1

Che date le coordinate di tre punti: x1,y1, x2,y2, x3,y3

permettono di trovare i parametri dell'equazione della circonferenza.

Non ho voglia (ne tempo) per controllare le tue tre formule. Mi pare però che la prima formula (quella che ti dà il coefficiente a di x) sia un po' troppo lunga!
Non capisco però perché vuoi prima scrivere l'equazione della circonferenza per i dati tre punti in quella forma se poi hai bisogno di trovare dove sta il centro ee quanto vale il raggio. Non ho nemmeno voglia di andar a leggere dove manda il link ed hai messo sulle parole "trovate qui".
Il centro ed il raggio del cerchio la cui circonferenza contiene i tre punti non allineati li trovi facilmente ragionando come segue:
1) L'asse di un segmento è la retta a lui perpendicolare per il suo punto medio.
Proprietà fondamentale dell'asse di un segmento è che tutti i suoi punti sono equidistanti dagli estremi di quel segmento.
2) Siano A, B e C tre punti del paino non allineati dei quali conosci le coordinate,
Considera l'asse del segmento AB e l'asse del segmento BC; e sia O il punto di intersezione dei due assi. Questo punto O appartenendo all'asse di AB è equidisatanre da A e da B; ed appartenendo all'asse di BC è equidistante da B e da C; O è dunque equidistante da A, B e C, è cioà proprio il centro del cerchio per quei tre punti. Ed il raggio di questo cerchio èa distanza di O da uno qualunque ddei tre punti A, B e C.
3) Una retta del piano non parallela all'asse delle ordinate può essere data con una equazione del tipo
y = mx + q.
Se è parallela all'asse delle ordinate y e dista da questo d – osia: tutti i suoi punti hanno ascissa d – la sua equazione è semplicemente
x = d.
Se è parallela all'asse delle ascisse x dal qiuale dista d – ossia: tutti i suoi punti hanno ordinata d) il suo coefficiente angolare è nullo e quindi la siua equazione è
y = d.
Se due punti di coordinatre rispettive (x1, y1) e (x2, y2) stanno su una retta non parallela all'asse delle ordinate y il "coefficiente angolare" m di quella retta è
m = (y2 – y1)/(x2 – x1).
Le rette perpendicolari ad una retta di coefficiente angolare m hanno coefficiente angolare –1/m.
Il paramegtro q è l'intercetta sull'asse delle ordinate, ossia l'ordinata del punto della retta di ascissa zero. L'intercetta q la trovi immediatamente se sai che la retta passa per un punto di note cooredinate, per esempip (h, k) [intendendo con ciò: ascissa h e ordinata k].
Metti cioè: x = h e y = k nella cercata equazione y = mx + q della retta, ossia:
k = mh + q ==> q = k – mh.
Cerchiamo l'espressione dell'asse del segmento AB conoscendo le coordinate (xA, yA) di A e (xB, yB) di B.
• Se è xA = xB l'equazione dell'aasse di AB è y = (yA + yB)/2,
•• • Se è yA = yB l'equazione dell'aasse di AB è :
x = (xA + xB)/2
••• Altrimenti si ha:
m = – (xB – xA)/(yB – yA) ;
Punto medio M di AB quello di coordinate
(xM, yM) = [(xA+xB)/2, (yA+yB)/2];
Intercetta con l'asse delle ordinate: q = yM – m·xM.
Asse di AB; y = mx + q,
Analogamente (mutatis nutandis) per l'asse di CD.
L'intersezione dei due assi (calcolata cpl sistema delle due equazioni dei due assii) sia O di coordinate (xO, yO).
O è il centro del cerxhio la cui circonferenza contiene A, B e C. Ilraggio di questo cerchio è
OA = OB = OC, per esempio:
r = √[(xO – xA)^2 + (yO – YA)^2]
––––––––

[aspesi]

1) Una colonia di camaleonti su un’isola è composta da 2 individui Blu, 5 Gialli e 3 Verdi. Quando due camaleonti di colori diversi si incontrano, entrambi diventano del terzo colore. Per esempio se si incontrano un camaleonte Verde e uno Giallo, entrambi diventano Blu.

È possibile che tutti i camaleonti della colonia diventino Gialli? O verdi? O blu?

2) astromauh l'ha già risolto:
In un certo collegio il 4% dei maschi e 1% delle femmine sono più alti di 1.83.
Inoltre il 60% degli studenti sono femmine.
Ora, se uno studente viene scelto a caso ed è più alto di 1.83, qual' è la probabilità che sia femmina?

3) L'urna A contiene 2 palline bianche, e l'urna B 4 palline rosse. In ciascun passaggio del processo viene estratta una pallina da ciascuna urna, e le due palline estratte vengono scambiate tra loro.
A lungo andare qual è la probabilità che vi siano 2 palline rosse nell'urna A?
E che ci siano 1 pallina rossa e 1 bianca?
E che ci siano 2 palline bianche?

[astromauh]

Ma i camaleonti si possono incontrare solo due alla volta? È possibile che due camaleonti blu ne incontrino uno giallo e diventino tutti verdi?

[aspesi]

astromauh

Ma i camaleonti si possono incontrare solo due alla volta?

Sì solo due alla volta e di due colori diversi (diventando del terzo colore)

[astromauh]

aspesi

1) Una colonia di camaleonti su un’isola è composta da 2 individui Blu, 5 Gialli e 3 Verdi. Quando due camaleonti di colori diversi si incontrano, entrambi diventano del terzo colore. Per esempio se si incontrano un camaleonte Verde e uno Giallo, entrambi diventano Blu.

È possibile che tutti i camaleonti della colonia diventino Gialli? O verdi? O blu?

SI

B G V
2 5 3 inizio
1 4 5 il blu ha incontrato il giallo
0 3 7 il blu ha incontrato il giallo
2 2 6 il giallo ha incontrato il verde
1 1 8 il blu ha incontrato il giallo
0 0 10 il blu ha incontrato il giallo


PS
Bisognerebbe verificare se la cosa è valida anche per gli altri colori,
però non mi va di farlo, ma scommetterei che sia lo stesso anche
per gli altri colori.

[astromauh]

aspesi

1) Una colonia di camaleonti su un’isola è composta da 2 individui Blu, 5 Gialli e 3 Verdi. Quando due camaleonti di colori diversi si incontrano, entrambi diventano del terzo colore. Per esempio se si incontrano un camaleonte Verde e uno Giallo, entrambi diventano Blu.

È possibile che tutti i camaleonti della colonia diventino Gialli? O verdi? O blu?

2) astromauh l'ha già risolto:
In un certo collegio il 4% dei maschi e 1% delle femmine sono più alti di 1.83.
Inoltre il 60% degli studenti sono femmine.
Ora, se uno studente viene scelto a caso ed è più alto di 1.83, qual' è la probabilità che sia femmina?

3) L'urna A contiene 2 palline bianche, e l'urna B 4 palline rosse. In ciascun passaggio del processo viene estratta una pallina da ciascuna urna, e le due palline estratte vengono scambiate tra loro.
A lungo andare qual è la probabilità che vi siano 2 palline rosse nell'urna A?
E che ci siano 1 pallina rossa e 1 bianca?
E che ci siano 2 palline bianche?

Soluzione

A lungo andare la disposizione iniziale delle palline nelle scatole
non conta più nulla. Quindi ciò che conta è solo che su sei
palline ce ne sono due bianche e quattro rosse.

B= 1/3; R= 2/3;


RR= 4/9
RB= 2/9
BR= 2/9
BB= 1/9

RB e BR sono la stessa cosa, e quindi la probabilità di avere una pallina di entrambi
i colori è 4/9

[aspesi]

astromauh

SI

B G V
2 5 3 inizio
1 4 5 il blu ha incontrato il giallo
0 3 7 il blu ha incontrato il giallo
2 2 6 il giallo ha incontrato il verde
1 1 8 il blu ha incontrato il giallo
0 0 10 il blu ha incontrato il giallo


PS
Bisognerebbe verificare se la cosa è valida anche per gli altri colori,
però non mi va di farlo, ma scommetterei che sia lo stesso anche
per gli altri colori.

No, è possibile terminare solo con tutti Verdi dal momento che la differenza iniziale tra G e B è 3 (o zero o un suo multiplo).
Infatti, ad ogni passo, i due colori che si incontrano diminuiscono di una unità ciascuno, quindi la differenza tra i due colori si mantiene inalterata. Il terzo colore, rispetto a ciascuno degli altri due, aumenta di 3.

[astromauh]

Erasmus

Non ho voglia (ne tempo) per controllare le tue tre formule. Mi pare però che la prima formula (quella che ti dà il coefficiente a di x) sia un po' troppo lunga!

Funzionano, perché hanno funzionato per trovare i parametri dell'equazione del cerchio presente nella pagina dell'esempio, ma ancora di più hanno dato prova di funzionare perché applicate a 100 milioni di circonferenze, hanno permesso di stabilire che il 40% di esse sono contenute nella circonferenza che contiene i tre punti casuali che le hanno generate, così come riferito da Aspesi.

Io sono pervenuto a questa conclusione con una simulazione, spetterebbe a te fornire la dimostrazione matematica del perché questo avvenga.

[aspesi]

astromauh

Soluzione

A lungo andare la disposizione iniziale delle palline nelle scatole
non conta più nulla. Quindi ciò che conta è solo che su sei
palline ce ne sono due bianche e quattro rosse.

B= 1/3; R= 2/3;


RR= 4/9
RB= 2/9
BR= 2/9
BB= 1/9

RB e BR sono la stessa cosa, e quindi la probabilità di avere una pallina di entrambi
i colori è 4/9

Sei sicuro?
Io ho fatto qualche calcolo e mi viene un risultato diverso.

[astromauh]

aspesi

3) L'urna A contiene 2 palline bianche, e l'urna B 4 palline rosse. In ciascun passaggio del processo viene estratta una pallina da ciascuna urna, e le due palline estratte vengono scambiate tra loro.
A lungo andare qual è la probabilità che vi siano 2 palline rosse nell'urna A?
E che ci siano 1 pallina rossa e 1 bianca?
E che ci siano 2 palline bianche?

aspesi

Sei sicuro?
Io ho fatto qualche calcolo e mi viene un risultato diverso.

Bisogna intendersi su che cosa intendi con "a lungo andare" ?

Una decina di volte? Un centinaio?

Io l'ho interpretato come un numero molto grande di volte.