Estrazioni casuali

[aspesi]

Se lanciamo due dadi regolari a sei facce ognuno numerato da 1 a 6, 10 volte, qual e' la probabilita' di ottenere almeno un 2 o almeno un 12 o almeno un 3?

Esempio:
6, 5, 7, 9, 11, 10, 8, 8, 2, 6 oppure 5, 2, 3, 3, 6, 6, 7, 8, 12, 6 -------> OK
8, 6, 4, 7, 10, 5, 8, 5, 9, 4 oppure 8, 5, 11, 7, 9, 6, 9, 8, 11, 5 -------> NO

[astromauh]

aspesi

Se lanciamo due dadi regolari a sei facce ognuno numerato da 1 a 6, 10 volte, qual e' la probabilita' di ottenere almeno un 2 o almeno un 12 o almeno un 3?

Esempio:
6, 5, 7, 9, 11, 10, 8, 8, 2, 6 oppure 5, 2, 3, 3, 6, 6, 7, 8, 12, 6 -------> OK
8, 6, 4, 7, 10, 5, 8, 5, 9, 4 oppure 8, 5, 11, 7, 9, 6, 9, 8, 11, 5 -------> NO

Non è difficile: 1 - (8/9)^10 = 0,692053852342561

Delle 36 combinazioni possibili dei risultati di due dadi ce ne sono 4, con cui si realizzano 2, 12 o 3 punti, per cui la probabilità di fare almeno uno dei tre risultati richiesti è 4/36 ossia 1/9.

La probabilità di non fare quanto richiesto è 8/9.

La probabilità di non farlo per dieci volte consecutive è (8/9)^10

E quindi la probabilità di ottenere almeno uno dei tre risultati richiesti con dieci lanci è

1 - (8/9)^10

[aspesi]

astromauh

Non è difficile:1 - (8/9)^10 = 0,692053852342561

Delle 36 combinazioni possibili dei risultati di due dadi ce ne sono 4, con cui si realizzano 2, 12 o 3 punti, per cui la probabilità di fare almeno uno dei tre risultati richiesti è 4/36 ossia 1/9.

La probabilità di non fare quanto richiesto è 8/9.

La probabilità di non farlo per dieci volte consecutive è (8/9)^10

E quindi la probabilità di ottenere almeno uno dei tre risultati richiesti con dieci lanci è

1 - (8/9)^10

Benissimo astromauh.
Se sapevo che c'eri tu, avrei complicato la domanda

Qual è la probabilità (sempre lanciando 10 volte due dadi regolari a sei facce ognuno numerato da 1 a 6) se si considerano solo i casi in cui escono almeno una volta sia il 2 che il 3 che il 12, esempio:
5, 2, 3, 3, 6, 6, 7, 8, 12, 6 ma non 2, 5, 7, 9, 11, 10, 8, 8, 6, 6

[astromauh]

aspesi

Benissimo astromauh.
Se sapevo che c'eri tu, avrei complicato la domanda

Qual è la probabilità (sempre lanciando 10 volte due dadi regolari a sei facce ognuno numerato da 1 a 6) se si considerano solo i casi in cui escono almeno una volta sia il 2 che il 3 che il 12, esempio:
5, 2, 3, 3, 6, 6, 7, 8, 12, 6 ma non 2, 5, 7, 9, 11, 10, 8, 8, 6, 6

Dovrei controllare meglio, o magari fare una simulazione come avevo fatto nel quiz precedente, anche se poi ho optato per la soluzione analitica.

Ma non mi va, e allora ecco la soluzione.

P= 0,0308641975308642


Ho ragionato in questo modo.
Supponiamo che i tre punteggi richiesti debbano uscire nei primi tre lanci
e che al primo lancio debba uscire il punteggio 2 al secondo lancio debba
uscire il punteggio 12 e al terzo lancio debba uscire il punteggio 3.

La probabilità che questo avvenga è P= (1/36)*(1/36)*(2/36)= 2/36^3

Ma in realtà sebbene vogliamo realizzare i tre punteggi richiesti con
i primi tre lanci, non ci importa che escano esattamente in quel modo,
per cui possiamo moltiplicare la probabilità calcolata in precedenza per
3! ossia per 6. P= 12/36^3

Ma il quiz ci richiede di realizzare i tre punteggi con 10 lanci,
per cui possiamo moltiplicare per 120 la probabilità calcolata in precedenza.

P= 120 ° 12 / 36^3

120 sono le disposizioni di tre "soggetti" in 10 "posti".

https://www.astrionline.it/cinema/de...x?F=1&P=10&S=3

[aspesi]

astromauh

Dovrei controllare meglio, o magari fare una simulazione

Ecco, una simulazione sarebbe opportuna
Il tuo risultato è il 50% circa in eccesso

[astromauh]

aspesi

Ecco, una simulazione sarebbe opportuna
Il tuo risultato è il 50% circa in eccesso

Hai ragione, con la simulazione viene

P= 0,0209

ps
Adesso ho provato a seguire un nuovo ragionamento che però mi da lo stesso risultato sbagliato che avevo trovato prima.

10*9*8*(1/36)*(1/36)*(2/36)

[aspesi]

astromauh

Hai ragione, con la simulazione viene

P= 0,0209

p = 1 - ( (35/36)^10 + (34/36)^10 + (35/36)^10 - (33/36)^10 - (34/36)^10 - (33/36)^10 + (32/36)^10 )

si ha: p = 1590037431625/76169967501312 = 0,02087486...

[astromauh]

aspesi

p = 1 - ( (35/36)^10 + (34/36)^10 + (35/36)^10 - (33/36)^10 - (34/36)^10 - (33/36)^10 + (32/36)^10 )

si ha: p = 1590037431625/76169967501312 = 0,02087486...

Vedo un 1 - da cui arguisco che quello che c'è alla destra del meno è la probabilità negativa, ossia la probabilità che non escano tutti e tre i risultati contemporaneamente.

Però se non mi spieghi la formula passo passo non la capisco.

[aspesi]

astromauh

Vedo un 1 - da cui arguisco che quello che c'è alla destra del meno è la probabilità negativa, ossia la probabilità che non escano tutti e tre i risultati contemporaneamente.

Però se non mi spieghi la formula passo passo non la capisco.

Principio di inclusione-esclusione
http://www.dm.unibo.it/~regonati/md0708/md0708-IE.pdf

Per i 3 insiemi A (nosomma2), B (nosomma3), C (nosomma12) si ha:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

|A| = |C| = (35/36)^10
|B| = (34/36)^10
|A ∩ B| = |B ∩ C| = (33/36)^10
|A ∩ C| = (34/36)^10
|A ∩ B ∩ C| = (32/36)^10

[aspesi]

Lanciando due dadi regolari sappiamo che il numero che si presenta con la maggiore frequenza è 7.

Se ipotizziamo di avere n dadi, la formula generale che definisce la frequenza maggiore di un numero dato dalla somma degli n dadi è 7n/2.
Se il risultato non è intero (finisce con ,5 quando n è dispari) entrambi gli interi prima e dopo del risultato hanno la stessa maggiore frequenza.

Le prime ricorrenze centrali sono:
1 dado ----> qualsiasi numero ----> 1 frequenza ----> p= 0,16667
2 dadi ----> numero 7 ----> 6 frequenze ----> p= 0,16667
3 dadi ----> numeri 10 e 11 ----> 27 frequenze ----> p= 0,125

Sapete come continua questa sequenza (1, 6, 27, ...) per 4, 5, 6 dadi (da 6 facce regolari)?