Estrazioni casuali

[aspesi]

Erasmus

La richiesta probabilità è il rapporto tra quest'area verde e l'area di ABO. Siccome quest'ultima vale 1, la richiesta probabilità coincide numericamente col valore dell'area verde, cioè:
<Probabilità che un punto di un quadrato preso a caso
sia più vicino al centro del quadrato che ad un suo lato> = [4√(2) – 5]/3 ≈ 0,21895141649746.
–––

[Erasmus]

aspesi

Qual è la probabilità che un triangolo di vertici A, B e C casuali appartenenti ad un cerchio contenga il centro O del cerchio stesso?

Questo quiz è più impegnativo del solito!
Ma saprei risolverlo "numericamente" se non fosse che il computer vecchio s'è fottuto del tutto![Non si accende più!]
Là avevo Grapher, qua ho solo una calcolatrice che sa fare solo le operazioni razionali una alla volta!
Ma l'idea di fondo è la seguente (ed illustrata in questa figura):

Sorteggiati due punti casuali A e B dentro il cerchio, tranne il caso a probabilità infinitesina che questi due punti siano allineati col centro O del cerchio, ci sarà pure un diametro parallelo al segmento AB (il quale sta in uno dei due semicerchi individuati da quel diametro).
Consideriamo l'angolo φ = AOB sotto il quale è visto dal centro O il segmento AB. A tale scopo basta considerare le rette AO e BO.
L'opposto al vertice di quest'angolo (fatto dai prolungamenti di AO e BO nell'altro mezzo cerchio) è pure ampio φ ed individua un settore di cerchio. Se il terzo punto casuale C casca in questo settore, allora il centro del cerchio sta dentro al triangolo ABC. Se dunque il segmento AB è visto dal centro O sotto l'angolo φ (radianti), la probabilità che il centro O del cerchio stia in ABC è φ/(2π)

Forse riesco a fare il calcolo per tutti i possibili segmenti AB con opportuna integrazione.
Intanto, chi ha mezzi di calcolo idonei può fare i conti considerando un rettangolo largo 4n e alto 2n (con n molto grande) di vertici D, E, F e G con queste coordinate:
D(2n, 0); E(2n, 2n); F(–2n, 2n); G(–2n, 0)
ed eseguendo poi un programmino col quale individuare tutti i segmenti AB paralleli all'asse delle ascisse con ordinata y dispari tra 1 e 2n –1 e, dette M ed N le intersezioni a sinistra e a destra della circonferenza di centro (0, 0) e raggio 2n con la corda di ordinata y e ascisse x1 di A e x2 di B pure dispari e tali che sia
xM ≤ x1 < x2 ≤ xN.
Per ognuno di questi segmenti sia
a =x2 – x1; b = √(x1^2 +y^2); c = √(x2^2 +y^2);
φ = arcos[(b^2 + c^2 – a^2)/(2bc)]; pr = φ/(2π).
Si sommino i pr di tutti i segmenti e si doivida il totale per il numero di segmenti.
Questo rapporto al crescere di n verso +∞ tende alla richiesta probabilità.

Se avrò abbastanza tempo e se ne sarò capace farò il calcolo di questa probabilità con un opportuno integrale triplo.

Intanto qualcuno esperto di "simulazione" faccia il calcolo numerico: con un qualche metodo esaustivo (come ho indicato io) o con metodo tipo Montecarlo.
[Astromauh: se ci sei batti un colpo!]
Tanti auguri di buon lavoro ad hoc
––––––––

[aspesi]

Erasmus

Questo quiz è più impegnativo del solito!
Ma saprei risolverlo "numericamente" se non fosse che il computer vecchio s'è fottuto del tutto![Non si accende più!]
Là avevo Grapher, qua ho solo una calcolatrice che sa fare solo le operazioni razionali una alla volta!

Sorteggiati due punti casuali A e B dentro il cerchio, tranne il caso a probabilità infinitesima che questi due punti siano allineati col centro O del cerchio, ci sarà pure un diametro parallelo al segmento AB (il quale sta in uno dei due semicerchi individuati da quel diametro).
Consideriamo l'angolo φ = AOB sotto il quale è visto dal centro O il segmento AB. A tale scopo basta considerare le rette AO e BO.
L'opposto al vertice di quest'angolo (fatto dai prolungamenti di AO e BO nell'altro mezzo cerchio) è pure ampio φ ed individua un settore di cerchio. Se il terzo punto casuale C casca in questo settore, allora il centro del cerchio sta dentro al triangolo ABC. Se dunque il segmento AB è visto dal centro O sotto l'angolo φ (radianti), la probabilità che il centro O del cerchio stia in ABC è φ/(2π)

Forse riesco a fare il calcolo per tutti i possibili segmenti AB con opportuna integrazione.
Intanto, chi ha mezzi di calcolo idonei può fare i conti considerando un rettangolo largo 4n e alto 2n (con n molto grande) di vertici D, E, F e G con queste coordinate:
D(2n, 0); E(2n, 2n); F(–2n, 2n); G(–2n, 0)
ed eseguendo poi un programmino col quale individuare tutti i segmenti AB paralleli all'asse delle ascisse con ordinata y dispari tra 1 e 2n –1 e, dette M ed N le intersezioni a sinistra e a destra della circonferenza di centro (0, 0) e raggio 2n con la corda di ordinata y e ascisse x1 di A e x2 di B pure dispari e tali che sia
xM ≤ x1 < x2 ≤ xN.
Per ognuno di questi segmenti sia
a =x2 – x1; b = √(x1^2 +y^2); c = √(x2^2 +y^2);
φ = arcos[(b^2 + c^2 – a^2)/(2bc)]; pr = φ/(2π).
Si sommino i pr di tutti i segmenti e si divida il totale per il numero di segmenti.
Questo rapporto al crescere di n verso +∞ tende alla richiesta probabilità.

Se avrò abbastanza tempo e se ne sarò capace farò il calcolo di questa probabilità con un opportuno integrale triplo.

Intanto qualcuno esperto di "simulazione" faccia il calcolo numerico: con un qualche metodo esaustivo (come ho indicato io) o con metodo tipo Montecarlo.
[Astromauh: se ci sei batti un colpo!]

––––––––

Se ci riesci...
https://math.stackexchange.com/quest...PpT8VR038is9oU

Il problema per quanto mi riguarda si può risolvere (intuitivamente) in modo da essere praticamente certi del risultato, che è 1/4.

[aspesi]

Dedicati agli studenti che in settimana sosterranno le prove d'esame di calcolo delle probabilità.

Immaginate di dover affrontare un esame su un tema scelto tra un gruppo di 25 temi.
Il giorno dell’esame estraggono tre numeri che corrispondono a 3 di essi.
Dovete sceglierne uno da sviluppare per l’esame.

Quanti temi dovete studiare per avere il 90% di probabilità che vi tocchi almeno uno degli argomenti che avete studiato?

[Erasmus]

aspesi

[...]
https://math.stackexchange.com/quest...PpT8VR038is9oU

Ho leggiucchiato un po!
Ho visto che il risultato esatto è un po' minore di 1/4.
Uno dice di aver evitato la complicata intergrazione e di aver trovato, con procedimentio di calcolo numerico, 0,2453 dove potrebbe essere sbagliata solo l'ultima cifra.
Un altro scrive come risposta esatta (ma chissà se è veramente così):
1/4 – (1/324)·[57 – 80·ln(2)] = (2/81)·[3+10·ln(2)] ≈ 0.2452215...
Un terzo perfeziona questo risultato scrivendo:
(2/81)·[3+ln(1024)] ≈ 0.24522152606418402702 < 1/14.
Beh: costui non ha fatto nulla di notevole! Ha solo trascritto molte cifre di un banale calcoletto fatto con qualche moderno attrezzo di calcolo.
Se disponessi ancora del mio Grapher, con una tripla sommatoria eviterei l'integrale triplo analitico trovando lo stesso un risultato con un sacco di cifre esatte.

aspesi

Il problema per quanto mi riguarda si può risolvere (intuitivamente) in modo da essere praticamente certi del risultato, che è 1/4.

Oh bella!
• Il risultato NON è 1/4! E' un po' di meno!
Il mio intiito ... opps! No: il mio intuito noin esisre!. Banali considerazuìioni geometriche mi permettono di dire che, per un solo sorteggio, la probabilità che quel unico triangolo contenga il centro del cerchio può essere qualunque numero tra 0 e 1/2. Ma sono pochi i casi in cui la probabilità è prossima ad 1/2 –perché occorre che il segmento capitato con i primi due punti sia prossimo ad un diametro – e sono pochi anche i casi in cui è prossima a 0 – perché occore che il segmento dei primi due punti sia prossimo ad una corda molto corta oppure sia pressoché allineato con il centro –. Pochi, ovviamente, rispetto ai casi in cui siamo distantini sa da 0 che da 1/2, Qunidi a naso mi aspetterei anch'io un risultato prossimo ad 1/4. Ma non saprei dire se maggiore o minore di 1/4. Che sia esattamente 1/4 ... sarebbe qualcosa di più unico che raro. Dico questo a sentimento, ovviamente a mio fallibile sentimwento.
• Sono appunto curioso di sapere come tu arrivi a supporre che sia esattamente 1/4.
Almeno questa volta il tuo formidabile intuito ha fatto cilecca!
[Ricoda l'etimolodia di "formidabile"! In latino "formido" è la paura, ma non quella passiva bensì quella attiva; cioè: non quella che si ha, ma quella che qualcuno è in grado di fare a qualcun altro!]
––––

[Erasmus]

aspesi

[...] Immaginate di dover affrontare un esame su un tema scelto tra un gruppo di 25 temi.
Il giorno dell’esame estraggono tre numeri che corrispondono a 3 di essi.

Dovresti dire quel che, immagino, tu intendi sottinteso: che si possono avere in anticipo i testi di tutti i 25 temi dai quali saranno sorteggiati i tre dei quali il candidato potrà sceglìiere uno a poiacer suo!

aspesi

Quanti temi dovete studiare per avere il 90% di probabilità che vi tocchi almeno uno degli argomenti che avete studiato?:

Non lo so!

Ma provo a pensarci ... a modo mio; (e tu sai bene che in probabilità sono scarsetto!)
Per avere probabilità 100% bisogna studiarne 23 (scartando i due che a naso sembrano i più difficil!).
Le terne possibili sono 25·24·23/6 = 2300 e si possono suddividere in 25 insiemi0 di 4·23 = 92 terne in ciscuno dei quali ogni terna contiene di sicuro uno dei 25 temi.

Se ne studio 25 – k, [dove è k > 2] , la probabilità che la terna che sarà sorteggiata caschi nei k non studiati è
{(k!)/[6·(k –3)!]}/2300.
Bisognerebbe cercare k tale che r = (k!)/[6·(k –3)!] sia il più prossimo possibile a 230
Per k = 12 viene r = 12*11*10(6 = 220.
Per k = 13 viene r = 13*12*11/6 = 286.
iI più prossimo a 230 è 220.
Dovrei dunque prepararmi su 13 temi dei 25 possibili e avrei il 90,4% di probabiità di azzeccare!
[cioè 1 – 220/2300]
Oppure prepararmi su 12 e avrei quasi l'87,6% di probabilità di azzeccare
[1 – 286/2300]
––––––

[aspesi]

Erasmus

Ma provo a pensarci ... a modo mio; (e tu sai bene che in probabilità sono scarsetto!)
Per avere probabilità 100% bisogna studiarne 23 (scartando i due che a naso sembrano i più difficili!.
Le terne possibili sono 25·24·23/6 = 2300 e si possono suddividere in 25 insiemi0 di 4·23 = 92 terne in ciascuno dei quali ogni terna contiene di sicuro uno dei 25 temi.

Se ne studio 25 – k, [dove è k > 2] , la probabilità che la terna che sarà sorteggiata caschi nei k non studiati è
{(k!)/[6·(k –3)!]}/2300.
Bisognerebbe cercare k tale che r = (k!)/[6·(k –3)!] sia il più prossimo possibile a 230
Per k = 12 viene r = 12*11*10(6 = 220.
Per k = 13 viene r = 13*12*11/6 = 286.
iI più prossimo a 230 è 220.
Dovrei dunque prepararmi su 13 temi dei 25 possibili e avrei il 90,4% di probabilità di azzeccare!
[cioè 1 – 220/2300]
Oppure prepararmi su 12 e avrei quasi l'87,6% di probabilità di azzeccare
[1 – 286/2300]
––––––

Talvolta (come in questo caso) sei bravissimo!

[aspesi]

Erasmus

Ho leggiucchiato un po!
Ho visto che il risultato eesatto è un po' minore di 1/4.

• Il risultato NON è 1/4! E' un po' di meno!
Il mio intuito ... opps! No: il mio intuito non esiste!.

Almeno questa volta il tuo formidabile intuito ha fatto cilecca!

––––

Ragione hai...
Ma mi piaceva 1/4

[Erasmus]

Non hai soddisfatto la mia curiosità!

Erasmus

• Sono appunto curioso di sapere come tu arrivi a supporre che sia esattamente 1/4.:

[aspesi]

Erasmus

Non hai soddisfatto la mia curiosità!

Questo il ragionamento

Sia A un punto a caso all'interno del cerchio.
Traccio il raggio che passa per A.
Anche per B, posizionato anch'esso a caso, faccio passare un raggio.

L'angolo che si forma tra il raggio che passa per A e il raggio che passa per B sarà compreso tra 0° e 180° con un valore medio di 90°. Da qui ho dedotto che l'area compresa tra i due raggi dovrebbe essere mediamente 1/4 dell'area del cerchio.

Affinché ABC sia un triangolo contenente il centro sarà necessario che C capiti dalla parte opposta all'area precedentemente considerata, sempre grande 1/4 dell'area del cerchio.