Estrazioni casuali

[aspesi]

Tu hai 1000 monete e io 999 monete.
Entrambi lanciamo le nostre monete.
Qual è l'esatta probabilità che tu finisca con più teste di me?

[astromauh]

Potrei provare a risolvere il quiz con una simulazione, ma non otterrei un risultato preciso.
Per come la vedo bisognerebbe considerare inizialmente che ognuno lanci 999 monetine, in questo caso ciascun giocatore avrebbe il 50% delle probabilità di realizzare un numero di testa maggiore o uguale a quello del suo avversario. Ma bisognerebbe calcolare quante sono le probabilità che entrambi i giocatori totalizzino lo stesso numero di testa, perché solo se si verifica questo caso allora la monetina in più che ha uno dei due giocatori diventa importante. Infatti se il giocatore con la monetina in più, ha totalizzato più testa dell'avversario con le prime 999 monetine, della millesima monetina non se ne fa niente. E anche se il giocatore con la monetina in più, ha totalizzato meno testa dell''avversario, della millesima monetina non se ne fa nulla, perché con questa monetina potrebbe al massimo pareggiare, mentre il quiz richiede le sue probabilità di vittoria sull'avversario. E quindi l'unico caso in cui la millesima monetina si potrebbe rivelare utile è se con le 999 monete iniziali i giocatori totalizzano lo stesso numero di testa. In questo unico caso il giocatore con la millesima monetina ha una probabilità del 50% di trasformare un pareggio in una vittoria.

Ma qual è la probabilità che i giocatori ottengano lo stesso numero di testa con i primi 999 lanci? Non è (1/999)^2 perché i risultati sono tutt'altro che equiprobabili. Totalizzare 500 testa è molto più probabile che totalizzare 400 o 600, ed è per questo che vorrei provare a verificare quante volte accade che il numero di testa sia lo stesso per entrambi i giocatori con una simulazione.

[aspesi]

astromauh

Potrei provare a risolvere il quiz con una simulazione, ma non otterrei un risultato preciso.
Per come la vedo bisognerebbe considerare inizialmente che ognuno lanci 999 monetine, in questo caso ciascun giocatore avrebbe il 50% delle probabilità di realizzare un numero di testa maggiore o uguale a quello del suo avversario. Ma bisognerebbe calcolare quante sono le probabilità che entrambi i giocatori totalizzino lo stesso numero di testa, perché solo se si verifica questo caso allora la monetina in più che ha uno dei due giocatori diventa importante. Infatti se il giocatore con la monetina in più, ha totalizzato più testa dell'avversario con le prime 999 monetine, della millesima monetina non se ne fa niente. E anche se il giocatore con la monetina in più, ha totalizzato meno testa dell''avversario, della millesima monetina non se ne fa nulla, perché con questa monetina potrebbe al massimo pareggiare, mentre il quiz richiede le sue probabilità di vittoria sull'avversario. E quindi l'unico caso in cui la millesima monetina si potrebbe rivelare utile è se con le 999 monete iniziali i giocatori totalizzano lo stesso numero di testa. In questo unico caso il giocatore con la millesima monetina ha una probabilità del 50% di trasformare un pareggio in una vittoria.

Ma qual è la probabilità che i giocatori ottengano lo stesso numero di testa con i primi 999 lanci? Non è (1/999)^2 perché i risultati sono tutt'altro che equiprobabili. Totalizzare 500 testa è molto più probabile che totalizzare 400 o 600, ed è per questo che vorrei provare a verificare quante volte accade che il numero di testa sia lo stesso per entrambi i giocatori con una simulazione.

Ottimo ragionamento.
Credo che riuscirai a trovare la soluzione anche senza simulazione.

[astromauh]

aspesi

Tu hai 1000 monete e io 999 monete.
Entrambi lanciamo le nostre monete.
Qual è l'esatta probabilità che tu finisca con più teste di me?

Credo di averla trovata (finalmente).

P = 0.500000000000000

[astromauh]

In realtà una simulazione l'avevo fatta perché sono un po' tonto, ma siccome già con un unico tentativo le operazioni da fare sono 999^2 ossia quasi un milione, mi sono accorto di non riuscire a calcolare i pareggi, e nemmeno le vittorie dell'uno e dell'altro che nei i primi 999 lanci dovrebbero essere uguali, mentre trovavo sempre dei numeri diversi.
Allora ho cercato di dare una mano a questa schifezza di generatore di numeri random che mi ritrovo di default, e ho pareggiato vittorie e sconfitte calcolando la loro media aritmetica a cui ho poi aggiunto la metà del numero dei pareggi, e ...
come per magia ho trovato la soluzione.

Questo quiz mi ricorda vagamente quello dei due cerchi parzialmente sovrapposti.

[aspesi]

astromauh

Credo di averla trovata (finalmente).

P = 0.500000000000000

E' sempre così, per qualsiasi lancio di (n+1) e di n monete.

[aspesi]

Ci sono sette sacchi di monete, ogni sacco contiene 1000 monete che possono essere o vere del peso di 10 grammi, o false leggere del peso di 9 grammi, o false pesanti del peso di 11 grammi.
Hai a disposizione una bilancia a un piatto sensibile e sufficientemente precisa da poter apprezzare la differenza di un grammo fino alla portata di fondo scala (20 kg).

Come puoi individuare, con una sola pesata e senza l'aiuto di altri fattori, quanti e quali sacchi contengono le monete da 9 g, quelli da 10 g e quelli da 11 g?

[astromauh]

aspesi

Ci sono sette sacchi di monete, ogni sacco contiene 1000 monete che possono essere o vere del peso di 10 grammi, o false leggere del peso di 9 grammi, o false pesanti del peso di 11 grammi.
Hai a disposizione una bilancia a un piatto sensibile e sufficientemente precisa da poter apprezzare la differenza di un grammo fino alla portata di fondo scala (20 kg).

Come puoi individuare, con una sola pesata e senza l'aiuto di altri fattori, quanti e quali sacchi contengono le monete da 9 g, quelli da 10 g e quelli da 11 g?

Devo prelevare da ciascun sacco da 3^0 a 3^6 monete ottenendo così 3^7 potenziali pesate, tutte diverse tra loro, che vanno da un minimo di 9837 grammi fino a 12023 grammi, che mi permettono di identificare quali sono i sacchi contenenti le varie monete.

Per decriptare nel modo giusto le pesate mi avvalgo di uno schema di cui pubblico una piccola parte:

n = 1 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9 T(1) = 9837+
n = 2 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10 T(2) = 10566+
n = 3 9, 9, 9, 9, 9, 9, 11 T(3) = 11295+
n = 4 9, 9, 9, 9, 9, 10, 9 T(4) = 10080+
n = 5 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10 T(5) = 10809+
n = 6 9, 9, 9, 9, 9, 10, 11 T(6) = 11538+
n = 7 9, 9, 9, 9, 9, 11, 9 T(7) = 10323+
n = 8 9, 9, 9, 9, 9, 11, 10 T(8) = 11052+
n = 9 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11 T(9) = 11781+
n = 10 9, 9, 9, 9, 10, 9, 9 T(10) = 9918+
n = 11 9, 9, 9, 9, 10, 9, 10 T(11) = 10647+
n = 12 9, 9, 9, 9, 10, 9, 11 T(12) = 11376+
n = 13 9, 9, 9, 9, 10, 10, 9 T(13) = 10161+
n = 14 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10 T(14) = 10890+
n = 15 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11 T(15) = 11619+
n = 16 9, 9, 9, 9, 10, 11, 9 T(16) = 10404+
n = 17 9, 9, 9, 9, 10, 11, 10 T(17) = 11133+
n = 18 9, 9, 9, 9, 10, 11, 11 T(18) = 11862+
n = 19 9, 9, 9, 9, 11, 9, 9 T(19) = 9999+
n = 20 9, 9, 9, 9, 11, 9, 10 T(20) = 10728+
n = 21 9, 9, 9, 9, 11, 9, 11 T(21) = 11457+
n = 22 9, 9, 9, 9, 11, 10, 9 T(22) = 10242+
n = 23 9, 9, 9, 9, 11, 10, 10 T(23) = 10971+
n = 24 9, 9, 9, 9, 11, 10, 11 T(24) = 11700+
n = 25 9, 9, 9, 9, 11, 11, 9 T(25) = 10485+
n = 26 9, 9, 9, 9, 11, 11, 10 T(26) = 11214+
n = 27 9, 9, 9, 9, 11, 11, 11 T(27) = 11943+
n = 28 9, 9, 9, 10, 9, 9, 9 T(28) = 9864+
n = 29 9, 9, 9, 10, 9, 9, 10 T(29) = 10593+
n = 30 9, 9, 9, 10, 9, 9, 11 T(30) = 11322+
n = 31 9, 9, 9, 10, 9, 10, 9 T(31) = 10107+
n = 32 9, 9, 9, 10, 9, 10, 10 T(32) = 10836+
n = 33 9, 9, 9, 10, 9, 10, 11 T(33) = 11565+
n = 34 9, 9, 9, 10, 9, 11, 9 T(34) = 10350+
n = 35 9, 9, 9, 10, 9, 11, 10 T(35) = 11079+
n = 36 9, 9, 9, 10, 9, 11, 11 T(36) = 11808+
n = 37 9, 9, 9, 10, 10, 9, 9 T(37) = 9945+
n = 38 9, 9, 9, 10, 10, 9, 10 T(38) = 10674+
n = 39 9, 9, 9, 10, 10, 9, 11 T(39) = 11403+
n = 40 9, 9, 9, 10, 10, 10, 9 T(40) = 10188+
n = 41 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10 T(41) = 10917+
n = 42 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11 T(42) = 11646+
n = 43 9, 9, 9, 10, 10, 11, 9 T(43) = 10431+
n = 44 9, 9, 9, 10, 10, 11, 10 T(44) = 11160+
n = 45 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11 T(45) = 11889+
n = 46 9, 9, 9, 10, 11, 9, 9 T(46) = 10026+
n = 47 9, 9, 9, 10, 11, 9, 10 T(47) = 10755+
n = 48 9, 9, 9, 10, 11, 9, 11 T(48) = 11484+
n = 49 9, 9, 9, 10, 11, 10, 9 T(49) = 10269+
n = 50 9, 9, 9, 10, 11, 10, 10 T(50) = 10998+
n = 51 9, 9, 9, 10, 11, 10, 11 T(51) = 11727+
n = 52 9, 9, 9, 10, 11, 11, 9 T(52) = 10512+
n = 53 9, 9, 9, 10, 11, 11, 10 T(53) = 11241+
n = 54 9, 9, 9, 10, 11, 11, 11 T(54) = 11970+
n = 55 9, 9, 9, 11, 9, 9, 9 T(55) = 9891+
n = 56 9, 9, 9, 11, 9, 9, 10 T(56) = 10620+
n = 57 9, 9, 9, 11, 9, 9, 11 T(57) = 11349+
n = 58 9, 9, 9, 11, 9, 10, 9 T(58) = 10134+
n = 59 9, 9, 9, 11, 9, 10, 10 T(59) = 10863+
n = 60 9, 9, 9, 11, 9, 10, 11 T(60) = 11592+
n = 61 9, 9, 9, 11, 9, 11, 9 T(61) = 10377+
n = 62 9, 9, 9, 11, 9, 11, 10 T(62) = 11106+
n = 63 9, 9, 9, 11, 9, 11, 11 T(63) = 11835+
n = 64 9, 9, 9, 11, 10, 9, 9 T(64) = 9972+
n = 65 9, 9, 9, 11, 10, 9, 10 T(65) = 10701+
n = 66 9, 9, 9, 11, 10, 9, 11 T(66) = 11430+
n = 67 9, 9, 9, 11, 10, 10, 9 T(67) = 10215+
n = 68 9, 9, 9, 11, 10, 10, 10 T(68) = 10944+
n = 69 9, 9, 9, 11, 10, 10, 11 T(69) = 11673+
n = 70 9, 9, 9, 11, 10, 11, 9 T(70) = 10458+
n = 71 9, 9, 9, 11, 10, 11, 10 T(71) = 11187+
n = 72 9, 9, 9, 11, 10, 11, 11 T(72) = 11916+
n = 73 9, 9, 9, 11, 11, 9, 9 T(73) = 10053+
n = 74 9, 9, 9, 11, 11, 9, 10 T(74) = 10782+
n = 75 9, 9, 9, 11, 11, 9, 11 T(75) = 11511+
n = 76 9, 9, 9, 11, 11, 10, 9 T(76) = 10296+
n = 77 9, 9, 9, 11, 11, 10, 10 T(77) = 11025+
n = 78 9, 9, 9, 11, 11, 10, 11 T(78) = 11754+
n = 79 9, 9, 9, 11, 11, 11, 9 T(79) = 10539+
n = 80 9, 9, 9, 11, 11, 11, 10 T(80) = 11268+
n = 81 9, 9, 9, 11, 11, 11, 11 T(81) = 11997+
n = 82 9, 9, 10, 9, 9, 9, 9 T(82) = 9846+
n = 83 9, 9, 10, 9, 9, 9, 10 T(83) = 10575+
n = 84 9, 9, 10, 9, 9, 9, 11 T(84) = 11304+
n = 85 9, 9, 10, 9, 9, 10, 9 T(85) = 10089+
n = 86 9, 9, 10, 9, 9, 10, 10 T(86) = 10818+
n = 87 9, 9, 10, 9, 9, 10, 11 T(87) = 11547+
n = 88 9, 9, 10, 9, 9, 11, 9 T(88) = 10332+
n = 89 9, 9, 10, 9, 9, 11, 10 T(89) = 11061+
n = 90 9, 9, 10, 9, 9, 11, 11 T(90) = 11790+
n = 91 9, 9, 10, 9, 10, 9, 9 T(91) = 9927+

omissis

n = 2171 11, 11, 11, 11, 10, 9, 10 T(2171) = 10727+
n = 2172 11, 11, 11, 11, 10, 9, 11 T(2172) = 11456+
n = 2173 11, 11, 11, 11, 10, 10, 9 T(2173) = 10241+
n = 2174 11, 11, 11, 11, 10, 10, 10 T(2174) = 10970+
n = 2175 11, 11, 11, 11, 10, 10, 11 T(2175) = 11699+
n = 2176 11, 11, 11, 11, 10, 11, 9 T(2176) = 10484+
n = 2177 11, 11, 11, 11, 10, 11, 10 T(2177) = 11213+
n = 2178 11, 11, 11, 11, 10, 11, 11 T(2178) = 11942+
n = 2179 11, 11, 11, 11, 11, 9, 9 T(2179) = 10079+
n = 2180 11, 11, 11, 11, 11, 9, 10 T(2180) = 10808+
n = 2181 11, 11, 11, 11, 11, 9, 11 T(2181) = 11537+
n = 2182 11, 11, 11, 11, 11, 10, 9 T(2182) = 10322+
n = 2183 11, 11, 11, 11, 11, 10, 10 T(2183) = 11051+
n = 2184 11, 11, 11, 11, 11, 10, 11 T(2184) = 11780+
n = 2185 11, 11, 11, 11, 11, 11, 9 T(2185) = 10565+
n = 2186 11, 11, 11, 11, 11, 11, 10 T(2186) = 11294+
n = 2187 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11 T(2187) = 12023+

[aspesi]

astromauh

Devo prelevare da ciascun sacco da 3^0 a 3^6 monete ottenendo così 3^7 potenziali pesate, tutte diverse tra loro, che vanno da un minimo di 9837 grammi fino a 12023 grammi, che mi permettono di identificare quali sono i sacchi contenenti le varie monete.

Per decriptare nel modo giusto le pesate mi avvalgo di uno schema di cui pubblico una piccola parte:

n = 1 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9 T(1) = 9837+

n = 2187 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11 T(2187) = 12023+

Giusto!
Ma troppo complicato
Quando torno in pianura metterò come semplificare i risultati, in modo da identificare subito i sacchi con le monete da 9 o 10 o 11 g

[nino280]

Faccio un misero tentativo, almeno come principio.
Prendo come si usa fare in quiz del genere 1 moneta dal primo sacco 2 dal secondo 3 dal terzo e via di seguito.
Se tutte le monete pesassero 10 grammi allora avremmo un peso totale di 280 grammi, con una media di 40 grammi.
E' chiaro che se siamo sotto i 280 grammi abbiamo più sacchi da 9 che da 11
Viceversa se siamo sopra.
Ora io non ho tanta pazienza da fare tutti i casi possibili.
Da non tralasciare i casi in cui un sacco da 9 con un sacco da 11 si elidono.
Penso anche che mi potrebbe venire in aiuto la nota storiella che i divisori del 7 sono soltanto 6 e con i resti periodici di 6 cifre anch'essi noti che si alternano sciftando sempre le stesse 6 cifre.
Ciao
Faccio un esempio:
leggo sulla bilancia 279 g
Sacco 1 monete da 11, sacco 2 monete da 9 e poi 5 sacchi da 10
278 grammi, le monete da 9 sono nel terzo sacco.