Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[nino280]

8) Una proprietà molto rara.

Prendiamo un intero A, aggiungiamo la somma delle sue cifre per ottenere B, aggiungiamo a B la somma delle cifre dello stesso B per ottenere C.
Ora, se invertendo le cifre di C ottengo A, quale numero può essere A?
Io direi anche; invertendo e capovolgendo

[Erasmus]

aspesi

OK, questa spiegazione è chiara e semplice (come quella che ho scritto io)

Non proprio.
Tu ricorri al fatto che sai che a parità di perimetro l'area massima d'un rettangolo è quella del quadrato. Io ... non uso altre nozioni geometriche.
Credo, cioè, che osservare che se –a ≤ x ≤ a allora a^2 – x^2 è massimo assoluto in x=0 sia ben più chiaro e semplice di dire:
«Fra tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro, l'area è tanto maggiore quanto più il rettangolo è "compatto"»
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Vengo alla "rara proprietà".

aspesi

Prendiamo un intero A, aggiungiamo la somma delle sue cifre per ottenere B, aggiungiamo a B la somma delle cifre dello stesso B per ottenere C.
Ora, se invertendo le cifre di C ottengo A, quale numero può essere A?

OK: avete già detto che è posseduta da 12, da 69 e probabilmente da nessun altro intero.

Si può sempre cercare verificando i numeri uno alla volta.

variabili A, B, C, D: interi;
...
per A da 11 a 99 fa
   {inizio}
      B:= A+ (A div 10) + (A mod 10);
      C:= B + (B div 10) + (B mod 10),
      D:= 10*(C mod 10) + (C div 10);
      se viene D = A allora registra A
    {fine}

Ma vediamo la proprietà analiticamente sui numeri da 2 cifre.

Sia A = 10x + y, cioè con prima cifra x e seconda cifra Y.
Risulta B = (10x+y) + (x + y) = 10x + (x+2y).
Qui occorre aprire una casistica.
a) Le cifre x e y sono tali che x + 2y è minore di 10.
Allora nella somma per avere B non c'è riporto: la prima cifra di B è ancora x; la seconda cifra è x + 2y.
Adesso ho C = [10x + (x+2y)] + (x + x+2y) = 10x + 3x +4y
E' impossibile che non ci sia riporto nel fare 3x + 4y perché la prima cifra resterebbe x e capovolgendo il numero dovrebbe essere ad un tempo x=y ed x = 3x + 4y ... cosa possibile solo per
x = y = 0.
Siccome x+2y è per ipotesi minore di 10, il riporto sarà di un'unità.
Il numero C sarà 10(x+1) + (3x+4y – 10) con prima cifra x+1 e seconda cifra 3x +4y –10.
Se il capovolto di C è ancora A, allora deve essere
x+1 = y;
3x +4y – 10 = x => 2x + 4·(x+1) – 10 = 0 => 6x = 6 => x = 1;
y = x+1 = 1 + 1 = 2
Il numero A era 12
b) Le cifre x e y sono tali che x + 2y è maggiore di 9 ma minore di 20.
Allora nel fare B = A + x + y c'è il riporto di una unità.
La prima cifra di B è x+1 e la seconda è x + 2y –10.
Allora
C = B + x+1 + x + 2y – 10 = 10(x+1) +2(x + 2y – 10) + x + 1 = 10(x+1)+3x+4y –19.
b1) Supponiamo che 3x + 4y – 19 sia minore di 10.
Allora dovrebbe essere
y = x+1; x = 3x+4y –19 => 6x =15 –––––> NO: x deve risultare intero.
b2) Supponiamo che 3x + 4y – 19 sia maggiore di 10.
Allora la prima cifra di C è x+2 e la seconda è 3x+4y – 29.
Allora dovrebbe essere
y = x+2; x = 3x + 4y –29 => 2x + 4x + 8 – 29 = 0; 6X = 21 NO: x deve risultare intero.
c) Le cifre x ed y sono tali che x + 2y è maggiore di 19
Allora nel fare B = A + x + y c'è il riporto di 2
La prima cifra di B sarà x+2 e la seconda x + 2y – 20; quindi:
C = 10(x+2) + 2(x+2y – 20) + x + 2 = 10(x+2) + 3x + 4y – 38.
c1) Se 3x + 4y – 38 è minore di 10 allora sarebbe
y = x + 2; x = 3x+4y–38 => 2x + 4(x+2) – 38 = 0 => 6x = 30; x =5, y = 7.
NO perché x + 2y = 19 e nel calcolo di B non c'è il riporto di 2.
c2) Se 3x + 4y – 38 è maggiore di 9:
Allora nel calcolo di C c'è il riporto di 1.
La prima cifra di C viene x +3 e la seconda 3x + 4y – 48 ;
C = 10(x+3) + 3x + 4y – 48;
Dovrebbe essere:
y = x+3; x = 3x + 4y – 48 => 2x + 4(x+3) – 48 = 0 => 6x = 36; x = 6; y = x+3 = 9.
Il numero è A = 69

Non ci possono essere altri numeri minori di 100 con questa proprietà

Ciao ciao
-------------

[aspesi]

Erasmus

Non proprio.
Tu ricorri al fatto che sai che a parità di perimetro l'area massima d'un rettangolo è quella del quadrato. Io ... non uso altre nozioni geometriche.
Credo, cioè, che osservare che se –a ≤ x ≤ a allora a^2 – x^2 è massimo assoluto in x=0 sia ben più chiaro e semplice di dire:
«Fra tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro, l'area è tanto maggiore quanto più il rettangolo è "compatto"»

Dovrebbe essere:
y = x+3; x = 3x + 4y – 48 => 2x + 4(x+3) – 48 = 0 => 6x = 36; x = 36; y = x+3 = 9.
Il numero è A = 69

Non ci possono essere altri numeri minori di 100 con questa proprietà

Ciao ciao
-------------

E (ovviamente) non ci possono essere altri numeri superiori a 100 con questa proprietà

[aspesi]

Questo attende ancora la soluzione....

9) Una torta rettangolare ricoperta di cioccolato deve essere divisa in 3 parti con 2 tagli verticali (non necessariamente rettilinei, se si vuole anche segmentati), in modo che ogni parte contenga la stessa quantità di cioccolato (Superficie) e la stessa quantità di contenuto (Volume).

(Aiutino: supponiamo di mettere delle lettere su punti precisi della torta, nel modo seguente:

a .......... b .......... c .......... d
e .......... f .......... g .......... h
i .......... l .......... m .......... n
o .......... p .......... q .......... r

A questo punto, basta unire le lettere in modo da dividere ipoteticamente la torta in tre pezzi uguali come area e come volume)


Nino

[aspesi]

aspesi

a .......... b .......... c .......... d
e .......... f .......... g .......... h
i .......... l .......... m .......... n
o .......... p .......... q .......... r


A questo punto, basta unire le lettere in modo da dividere ipoteticamente la torta in tre pezzi uguali come area e come volume)


Nino

Uno sforzo!!!!! A me il quiz sembra bello....

Supponiamo che la distanza fra due delle lettere che ho indicato (orizzontalmente e verticalmente) sia 1 ed anche l'altezza (spessore) della torta sia 1.
Allora, il volume è 9 e la superficie totale è 30.
Ciascuna delle tre fette dovrà avere:
V = 3
e
S(esterna, escludendo l'area del taglio) = 10

[aspesi]

Ecco qui:

a-------b .....c ..... d
|........\
|.........\
e-------f. \...g ..... h
.........\..\
..........\..\
i ..... l .\..\m-------n
............\..........|
.............\.........|
o ..... p ....\q-------r

[aspesi]

Il cammello e le banane

Il nostro amico Bingo Bongo ha fatto una bella raccolta di 3000 banane che desidera portare al mercato piu' vicino, che dista 1000 km. Purtroppo ha un solo cammello che puo' caricare al massimo 1000 banane.

Sapendo che il cammello si mangia una banana ogni chilometro, qual e' il massimo numero di banane che Bingo Bongo riuscira' a vendere al mercato ?

[Mizarino]

Azz ... quel cammello ha la portata di un trattore e consuma altrettanto!...

[aspesi]

Mizarino

Azz ... quel cammello ha la portata di un trattore e consuma altrettanto!...

Però, tutta energia rinnovabile...

La soluzione?

[Epoch]

Se ho fatto i calcoli giusti 400 Banane...