Qualche quiz

[aspesi]

Un problemino... ino...

Un vecchio capitano di marina (non ancora centenario), in occasione del suo
compleanno, ha invitato le sue tre figlie, i suoi cinque nipoti e i
suoi sette pronipoti: le tre figlie hanno età consecutive, i cinque
nipoti hanno età consecutive e i sette pronipoti hanno età
consecutive. La somma delle età delle figlie è uguale a quella delle
età dei nipoti più quella delle età dei pronipoti. L'età del
capitano è uguale ai 2/3 della somma delle età delle figlie.

Quanti anni hanno (con certezza) tre dei cinque nipoti?

[astromauh]

aspesi

Quanti anni hanno (con certezza) tre dei cinque nipoti?

21 - 22- 23 (forse)

[aspesi]

astromauh

21 - 22- 23 (forse)

Due vanno bene, il terzo no....

[Erasmus]

aspesi

[...] La somma delle età delle figlie è uguale a quella delle età dei nipoti più quella delle età dei pronipoti. L'età del capitano è uguale ai 2/3 della somma delle età delle figlie.

Dico V (come "vecchio") l'età del capitano.
Dico X, Y e Z rispettivamente l'età della figlia di mezzo, del nipote di mezzo e del pronipote di mezzo.
I numeri V, X, Y, e Z devono soddisfare le equazioni:
3X = 5Y + 7Z
V = 2X

Poche due equazioni per 4 incognite!

Ma occorre tener presente che V è minore di 100 e che V, X, Y e Z sono numeri interi.
Se il problema ha soluzione, i numeri soddisfano queste ulteriori condizioni:
V è un numero pari
3X = 5Y + 7Z implica che 5Y + 77 è un multiplo di 3
5Y = 3X – 7Z implica che 3X – 7Z è maggiore di 0 e multiplo di 5
7Z = 3X – 5Y implica che 3X – 7Y è maggiore di 0 e multiplo di 7
Z non è minore di 3

A questo punto ... astromauh (assurto a grande specialista nell'uso della "forza bruta") non ha che da provare!
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Per esempio:
1° tentativo.
V = 98? –––> X = 49
Z = 3? ––> 5Y = 3X – 7Z = 147 – 21 = 126 non va bene (non è multiplo di 5).
Z = 4? ––> 5Y – 7Z = 147 – 28 = 119 ––> NO (idem)
Z = 5? ––> 5Y – 7Z = 147 – 35 = 112 ––> NO (idem)
Z = 6? ––> 5Y – 7Z = 147 – 42 = 105 ––> Y = 21
Già trovata una soluzione:
Capitano di età V = 98 anni;
3 figlie di età 48, 49 e 50 anni (somma delle loro età 147);
5 nipoti di età 19, 20, 21, 22 e 23 anni (somma delle loro età 105);
7 pronipoti di età 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 anni (somma delle loro età 42).

Verifica
a) «La somma delle età delle figlie è uguale a quella delle età dei nipoti più quella delle età dei pronipoti»
Infatti 147 = 105 + 42
b) «L'età del capitano è uguale ai 2/3 della somma delle età delle figlie»
Infatti 98 = (2/3)·147.

Ma ... un(a) pronipote di già 9 anni figlio/(a) di genitore/(trice) di non più di 23 anni mi pare un po' improbabile
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2° tentativo.
V = 96? –––> X = 48
Z = 3? ––> 5Y = 3X – 7Z = 144 – 21 = 123 non va bene (non è multiplo di 5).
Z = 4? ––> 5Y = 3X – 7Z = 144 – 28 = 116 ––> NO (idem).
Z = 5? ––> 5Y = 3X – 7Z = 144 – 35 = 109 ––> NO (idem).
Z = 6? ––> 5Y = 3X – 7Z = 144 – 42 = 102 ––> NO (idem).
Z = 7? ––> 5Y = 3X – 7Z = 144 – 49 = 852 ––> Y = 19.

Ecco una seconda soluzione ... ancora meno probabile della precedente.
Capitano di età V = 96 anni;
3 figlie di età 47, 48 e 49 anni (somma delle loro età 144);
5 nipoti di età 17, 18, 19, 20 e 21 anni (somma delle loro età 95)
7 pronipoti di età 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 anni (somma delle loro età 49);
Pronipote del Vecchio di 10 anni figlio/a di nipote del Vecchio di non più di 21 anni!

Ad occhio, le soluzioni algebriche continuano con età
• Quella del vecchio e delle nipoti decrescenti di 2 anni alla volta;
• Quella delle figlie decrescenti di un anno alla volta.
• Quella del pronipoti in aumento di un anno alla volta.

Per dare senso all'ultima domanda («Quanti anni hanno (con certezza) tre dei cinque nipoti?») bisogna accettare due sole soluzioni con V = 2N e V = 2(N–1) (con N intero opportuno).
Per esempio, con le due soluzioni trovate avevamo per le 5 nipoti le età

1) 19, 20, 21, 22, 23
2) 17, 18, 19, 20, 21

In entrambe le soluzioni tre nipoti hanno età rispettiva 19, 20 e 21 anni
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Aspesi: questi quiz sono facili ma ... di una noia insopportabile!
E poi: di Diofanto mi pare che il forum sia prmai saturo!

Ciao, ciao
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[Erasmus]

Chiedo venia.
Ho aperto il forum Rudi Mathematici 'sta notte (di ritorno da teatro, Les pêcheurs de perles, di Bizet) che ancora astromauh non aveva risposto; ma non ho concluso (e non sono uscito dalla pagina).
Ho concluso stamattina ... e solo ora vedo il 'post' di astromauh e quello successivo di aspesi.

Ciao astromauh!
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P.S.
Nino II: continuo a non capire che ci sta raffigurato nel tuo nuovo avatar

[Erasmus]

Faccio un terzo tentativo per vedere se l'andamento è quello che ho detto.

2° tentativo.
V = 94? –––> X = 47
Z = 3? ––> 5Y = 3X – 7Z = 141 – 21 = 120 ––> Y = 24.

No: l'andamento non è esattamente quello che avevo detto

Con questa soluzione:
Capitano di età V = 94 anni;
3 figlie di età 46, 47 e 48 anni (somma delle loro età 141);
5 nipoti di età 22, 23, 24, 25 e 26 anni (somma delle loro età 120);
7 pronipoti di età 0 (neonato/a), 1, 2, 3, 4, 5 e 6 anni (somma delle loro età 21).

Metto a confronto le soluzioni della cinquina di nipoti:
1) 19, 20, 21, 22, 23
2) 17, 18, 19, 20, 21
3) 22, 23, 24, 25, 26

Aspesi: tra la seconda e la terza cinquina non c'è alcun numero comune!
Come la mettiamo con le età certe di tre nipoti?

Mi scarti la terza soluzione perché bisogna che anche il pronipote minore abbia almeno un anno?
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[astromauh]

Erasmus

Mi scarti la terza soluzione perché bisogna che anche il pronipote minore abbia almeno un anno?
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Nemmeno a me tornavano i conti!

Queste che seguono sono le età medie dei
pronipoti, nipoti, figlie e capitano:

a=4 b=19 c=41 d=82
a=4 b=22 c=46 d=92
a=5 b=20 c=45 d=90
a=6 b=21 c=49 d=98

Escludendo a=3, ossia non considerando la possibilità che un pronipote fosse di età 0, e stabilendo arbitrariamente che la differenza tra l'età media dei nipoti e quella dei pronipoti fosse almeno di 14 anni.

Siccome l'età media dei nipoti (b), può essere solo 19, 20, 21, 22, si ha la certezza solo per due di essi 20 e 21, mentre non si può essere certi di 19 e 22.

Considerando che tu (Aspesi) dicevi che si può stabilire con certezza l'età di tre nipoti, ho deciso (arbitrariamente) che la differenza di età tra nipote medio e pronipote medio fosse almeno di 15 anni, ottenendo in questo modo una unica soluzione:

a=4 b=22 c=46 d=92

20, 21, 22, 23, 24

e quindi:

21, 22, 23

Ciao a tutti.

PS
Non mi piace prendere decisioni arbitrarie.

[aspesi]

Erasmus

Aspesi: questi quiz sono facili ma ... di una noia insopportabile!

Ciao, ciao

Ok.
Ma non ti dico come mi paiono i tuoi quiz...

P.S.
Nino II: continuo a non capire che ci sta raffigurato nel tuo nuovo avatar

E' Alfonso.
Un gatto.
La sua storia è qui:
http://www.trekportal.it/coelestis/showpost.php?p=465674&postcount=22
http://www.trekportal.it/coelestis/showpost.php?p=465675&postcount=23

Mi scarti la terza soluzione perché bisogna che anche il pronipote minore abbia almeno un anno?

Sì... (mi sono dimenticato di dirlo...)

Io l'ho fatto così:
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Poni:
P=età del quarto pronipote
N=età del terzo nipote
F= età della seconda figlia
C= età del capitano
Hai: C<100 ........ P>=4
7P +5N = 3F ........ <150
C = 2/3*3F = 2F
il capitano ha il doppio dell'età della seconda figlia e quindi si
deduce che compie un numero di anni pari

Poniamo che C possa avere:
C = 98 allora Figlie = 48-49-50 ..... 3F=147
C = 96 .... " ..... = 47-48-49 ..... 3F=144
C = 94 .... " ..... = 46-47-48 ..... 3F=141
C = 92 .... " ..... = 45-46-47 ..... 3F=138
C = 90 .... " ..... = 44-45-46 ..... 3F=135

I pronipoti possono avere:
P = 4 allora 7P=28
P = 5 .... " .... 7P=35
P = 6 .... " .... 7P=42

La somma dell'età dei 5 nipoti ovviamente deve essere divisibile per 5
Vediamo di applicare N = (3F - 7P) / 5 accettando N intero
C = 98 3F = 147 deve essere 7 P = 42 e N = 21
C = 96 3F = 144 non ci sono soluzioni
C = 94 3F = 141 non ci sono soluzioni
C = 92 3F = 138 deve essere 7P = 28 e N = 22
C = 90 3F = 135 deve essere 7P = 35 e N = 20

In conclusione, ci sono 3 soluzioni:
1) C=98 Figlie:48-49-50 Nipoti:19-20-21-22-23 Pronipoti:3-4-5-6-7-8-9
2) C=92 Figlie:45-46-47 Nipoti:20-21-22-23-24 Pronipoti:1-2-3-4-5-6-7
3) C=90 Figlie:44-45-46 Nipoti:18-19-20-21-22 Pronipoti:2-3-4-5-6-7-8

(Tre dei cinque nipoti hanno con certezza 20-21-22 anni)

Nino

[aspesi]

Questo è ancora più ... noioso...

Tre ragazzi, A, B e C, si passano una palla.
A passa sempre la palla a B.
B passa sempre la palla a C.
La possibilità che C passi la palla ad A è uguale a quella che la passi a B.
A lungo andare quale percentuale dei lanci va ad A, B e C ?

[astromauh]

aspesi

In conclusione, ci sono 3 soluzioni:
1) C=98 Figlie:48-49-50 Nipoti:19-20-21-22-23 Pronipoti:3-4-5-6-7-8-9
2) C=92 Figlie:45-46-47 Nipoti:20-21-22-23-24 Pronipoti:1-2-3-4-5-6-7
3) C=90 Figlie:44-45-46 Nipoti:18-19-20-21-22 Pronipoti:2-3-4-5-6-7-8

(Tre dei cinque nipoti hanno con certezza 20-21-22 anni)

Nino

E perchè questa soluzione, non ti piace?

C= 82 Figlie: 40-41-42 Nipoti: 17-18-19-20-21 Pronipoti: 1-2-3-4-5-6-7