Easy quiz(zes): but mathematical!

[Erasmus]

In un poligono regolare di n lati, detto R il raggio del cerchio circoscritto, siccome mezzo angolo interno vale
[(n–2)/n]·90°
il raggio r del cerchio inscritto è
r = R·sin{[(n – 2)/n]·90°}.
Pertanto il limite richiesto è:

      +∞
       ∏1/sin[90°(n – 2)/n]
      n = 3

[Erasmus]

aspesi

Se vuoi, guarda qui
https://mathworld.wolfram.com/Polygo...zCxIf9rp8X2U_c

Visto! Ma mi pare che ci sia un grave errore sitematico.
Il mezzo-angolo di un poligono regolare di n lati è (in radianti):
{[(n –2)/n]·π}/2 = [n–2)/2]·(π/n).
Invece qui c'è l'angolo π/n.

Con angoli sempre più piccoli il seno tende a zero.
Però vedo che è usata la secante, che è il reciproco del coseno ... e allora non capisco più!
Comunquue, la mia formula mi pare ok perché il cerchio circoscritto ad un poligono di n lati è qui il cerchio inscritto nel successivo poligono di n + 1 lati
–––
OOPS!

P.S. (Editando, h 20:55)
La formula del link (ad una pagina di Wolfram MathWorld) E' GIUSTA!
Al posto del seno di mezzo angolo interno di ciascun poligono (per trovare l'apotema [= <raggio-cerchio-inscritto>] c'è il coseno del complementare (che fa lo stesso!).
Insomma: diviso il poligono regolare di n lati in n triangoli isosceli, il lato obliquo di uno di questi è il raggio del cerchio circoscritto e l'altezza (apotema del poligono) è il raggio del cerchio inscritto. In ognuno di questi n triangoli isosceli mezzo angolo al vertiice (che è un n-esimpo di angolo piatto) è complementare di un angolo alla base (che è metà di un angolo interno del poligono).
Riassumendo.
• Io ho preso il seno di mezzo angolo interno, cioè di [(n–2)/n]·π/2 rad = [(n–2)/2]·π/n rad = (n/2 – 1)·π/n.
• In WolframMathWorld viene preso il coseno di π/n radianti cioè il coseno del complementare.
Iinfatti: [(n–2)/n]·π/2 + π/n = π/2.

[aspesi]

Erasmus

Comunque, la mia formula mi pare ok perché il cerchio circoscritto di un poligono di n lati è qui il cerchio inscritto al successivo poligono di nè1 lati
–––

Il risultato è

1/0.11494204485329620070104015746959874 inverso della costante di Keplero-Bouwkamp

[nino280]

Avevo detto che facevo una prova a fare questo disegno, ma solo per mio diletto.
Lo so che 4 poligoni rispetto ad infinito è troppo poco, ma tant'è.
Ho marcato le radici quadrate dei raggi solo perchè Geo mi dà quello, cioè di un cerchio mi restituisce il raggio al quadrato.
Ma poi ho voluto tracciare ugualmente quei segmenti verdi nel disegno che rappresentano appunto i raggi. Non ho idea se ho fatto giusto e dichiaro di non aver fatto alcun calcolo per fare il disegno stesso.
Ciao
Vedo ora che m è sfuggito un punto lì in basso che non centra nulla col disegno.

[ANDREAtom]

@aspesi, non ho capito cosa chiede la soluzione del quiz e cosa rappresenta il numero che hai scritto; non ci sarà mai un raggio finale del cerchio rappresentabile coc un numero finito ma questo avrà sempre degli incrementi sempre più piccoli che continuano all'infinito, è come voler conoscere il valore esatto del pi greco o l'area esatta del cerchio......

[nino280]

Leggendo bene, lui non ti chiede il raggio finale.
Lui dice dato un numero di circonferenze abbastanza grande, derivate da quel giochino o procedimento e io l'ho fatto solo per 4 circonferenze se invece di 4 mettiamo che i cerchi siano 100, quanto vale quel raggio?
Vediamo se risponde Aspesi se ho capito bene.
Poi il numeraccio che ha scritto non credo sia il raggio finale ma credo che si deve leggere "tende" a quel numero o giù di lì.
Ora andrò a fare quel reciproco così si vede meglio che numero è
Ciao
Che se ho fatto bene i conti e prendendo come buone una manciata di cifre decimali (forse ne ho prese una trentina) il numero diventa:
8,700036625208194503222409864381
Salvo errori di sbaglio.

[nino280]

Qui barando un pochino, mostro un poligono regolare di 50 Lati.
Sembrerebbe un cerchio ma veramente lì ci sono 50 lati.
Poi parto dal risultato finale (cioè il valore che ci ha dato Aspesi ci metto cioè quel raggio derivato dalla costante di Keplero - Bouwkamp (Keplero lo avevo già sentito nominare ma l'altro?)
Lavoro ora con 10 cifre decimali in Geo e costruisco il suddetto poligono regolare da 50 lati.
Ma ripeto, barando perchè è evidente che il cinquantesimo poligono avrebbe dovuto essere ricavato dai valori del 49 esimo poligono.
Ma io ho saltato e sono andato subito al 50 esimo
Ciao

[Erasmus]

ANDREAtom

@aspesi, non ho capito cosa chiede la soluzione del quiz e cosa rappresenta il numero che hai scritto; non ci sarà mai un raggio finale del cerchio rappresentabile coc un numero finito ma questo avrà sempre degli incrementi sempre più piccoli che continuano all'infinito, è come voler conoscere il valore esatto del pi greco o l'area esatta del cerchio......

E' vero quel che dici, ma anche se non si conoscerà mai esattamente il raggio dell'ultimo "infinitesimo" cerchio, lo si potrà conoscere con buona approssimazione, proprio allo stesso modo di quello che citi per farti capire, cioè dell'esatto valore di pi-greco.
Secondo me non ha importanza nemmeno il trovare il valore del rafggio-limite con buona approssimazione!
L'interessante è ... il "meccanismo" con cui procede la successione CONVERGENTE dei raggi sempre più grandi. E questp "meccanismo" si capisce bene sia dalla spiegazione del testo che dalla parte centrale della figura: il cerchio circoscritto al poligomo regolare di n lati è anche il cerchio inscritto nel poligono di n+1 lati.
Se vuoi ... è come l'antico esempio di Achille e la Tartaruga, con la differenza che là abbiamo sì la crescita (del percorso di Achille per raggiungere la tartaruga) con infiniti aumenti semmpre più piccoli, ma si può sapere lo stesso il limite. Qui invece, proprio come con i numeri "trascendenti" –per esempio pi-greco oppurela base "e" dei logaritmi naturali– non si può non solo scrivere ma nemmeno conoscere esattamente il limite al quale converge la successione.
Il valore delle prime 11 cifre è 8,7000366252
Vedi dunque che dire 8,7 è molto più preciso rispetto al vero limite che dire 3,14 rispetto all'esatto pi-greco. Dopo 8,7 è infatti seguìto datre cifre "zero", invece le tre cifre che in pio-greco seguono 3,14 sono "159".
Partendo col raggio del cerchio inscrityto nel triangolo lungo 1, il raggio del decagono mio viene lungo 5,426745 ...; e ghià la successione sta convergendopittosto lentamente dato che 1/cos(18°) ≈ 0,951 .... La convergenza è tanto più lenta quanto più ci si avvicina al limite. Ma proprio per questo è certa! E' lenta proprio perché l'aumento è sempre più piccolo, ma deve essere così affinchè la convergenza sia possibiole.
–––

[nino280]

Sono contento che Erasmus ha riscontrato le stesse mie cifre (che sono circa una dozzina) questo vuol dire che non ho raccontato frottole
Certo non è una cosa difficile fare il reciproco di un numero, ma per me sì.
Per il semplice motivo che quel numero, parlo del numeraccio di Aspesi per poterlo adoperare lo devi trascrivere da qualche parte, e io sono anni che non adopero + nemmeno la penna. Quindi per me è fatica, se non altro per i possibili errori.
E per non smentirmi, il numero che ho scritto poi di una trentina di cifre, non lo scritto io, ho fatto cioè un copia incolla, copiando da una calcolatrice
Ciao
P.S.
Peccato che oggi non vedo ancora in giro Aspesi.
Lui ti dice subito se almeno i primi 4 numeri che ho trovato sono giusti.
Perchè come sappiamo lui va a controllare nelle sue OASI dei numeri e te lo dice.

Come non detto ora lo vedo in linea

[aspesi]

nino280

Qui barando un pochino, mostro un poligono regolare di 50 Lati.

Ciao

Bello, con 50 lati sembra proprio un cerchio