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Vecchio 23-05-21, 06:14   #1
Erasmus
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Predefinito Ritorno al passato

Torno al quiz della spezzata di tre corde che occupasvano una semicirconferenza della quale occorreva calcolare il diametro sapendo la lunghezza delle corde.
Rimetto una immagine con due figure di riferimento:
Le due figure mostrano che ci sono due casi distinti.
Detti 2α, 2β e 2γ gli angoli al centro sotto i quali sono visti rispettivamente i lati a, b e c della spezzata, in Figura 1 è rappresentato il caso in cui
2α + 2β + 2γ = <un angolo piatto> (cioè 180°, ossia π radianti):
in Figura 2 è invece rappresentato il caso in cui
2α – 2β + 2γ = <un angolo piatto>.

Prima riassumo quel che dirò poi dettagliatamente.
«Abbiamo visto, a suo tempo, che le soluzioni del quiz di cui qui sotto ci sono le figure di riferimento sono
<diametro> = x1 = 65> per la Figura 1;
<diametro =x2 = (circa) 58,5 per la Fig. 2.
[Precisamente x2 = [65 + √(65^2 – 4·380,16)]/2 ≈ 58,50173071162764].
Ma se si razionalizza l'equazione risolvente (che dapprima si presenta irrazionale, contenente cioè dei radicali), -le soluzioni risultano tre.
Infatti si arriva ad una equazione razionale di 6° grado che si spezza facilmente in due equazioni cubiche delle quali una ha le soluzioni opposte delle soluzioni dell'altra.
La razionalizzazione introduce cioè juna terza soluzione positiva che risulta la diffrenza delle altre due positive.
la domanda, allora – rivolta soprattutto all'Illustrissimo Mizarino – è la seguente:
«Cosa rappresenta la soluzione x3 = <differenza delle altre due soluzioni> – quindi circa 6,5 – ?
E' semplicemente da scartare o rappresenta invece un terzo caso non ancora da noi considerato? »


Nel caso di Figura 1 sappiamo che il diametro è x1 = 65 esatto.
Nel caso di Figura 2 il diametro risulta un po' minore, cioè circa 58,5.
Se si affronta analiticamente il problema, posto [come indicato nelle nelle figure dell'immagine ui sopra] x il diametro incognito del cerchio, si trova una equazione algebrica irrazionale dipendente dal procedimento adottato che però può risultare la stessa per entrambi i casi; e allora l'equazione irrazionale ha due soluzioni che sono la soluzione del caso di Fig. 1 e quella del caso di Fig. 2 per la quale risulta precisamente:
x2 = [65 + √(65^2 – 4·380,16)]/2 ≈ 58,50173071162764.
Se x è il diametro del cerchio si ha ovviamente
a/x = sin(α); b/x = sin(β); c/x = sin(γ); (0a)
e quindi anche
√[1–(a/x)^2] = cos(α); √[1–(b/x)^2]=cos(β); √[1–(c/x)^2] = scos(γ); √[1 – (a/x)^2] 0,b()
In Figura 1 è α+β+γ = <un angolo retto> e allora:
cos(α+β+γ) = 0 ⇔ cos(α)·cos(β)·cos(γ) = sin(α)·sin(β)·cos(γ)+ sin(α)·cos(β)·sin(γ)+cos(α)·sin(β)·sin(γ); (1)
In Figura 2 è invece α–β+γ = <un angolo retto>, per cui [tenendo conto del fatto che sin(–β)= –sin(β) mentre cos(–β) = cos(β)]:
cos(α–β+γ) = 0 ⇔ cos(α)·cos(β)·cos(γ) = –sin(α)·sin(β)·cos(γ)+ sin(α)·cos(β)·sin(γ)–cos(α)·sin(β)·sin(γ); (2)
Sostituendo seno e coseno col rispettivo valore dato in (0a) o in (0b) e moltoplicando per x^3 troviamo:
Per la Fig. 1: √(x^2–a^2)·√(x^2 – b^2)·√(x^2–c^2) = ab√(x^2 – c^2) + bc√(1 – a^2) + ca√(x^2 – b^2).
Per la Fig. 2: √(x^2–a^2)·√(x^2 – b^2)·√(x^2–c^2) = –ab√(x^2 – c^2) – bc√(1 – a^2) + ca√(x^2 – b^2).
[√(x^2–a^2)·√(x^2 – c^2) – ca]·√(x^2–b^2) = ab√(x^2 – c^2) + bc√(1 – a^2) ; (1 bis)
[√(x^2–a^2)·√(x^2 – c^2) – ca]·√(x^2–b^2) = –ab√(x^2 – c^2) – bc√(1 – a^2). (1 bis)
Da entrambe quest'ultime, quadrando, isolando poi i radicali e quadrando una seconda volta, si arriva alla medesima elegante espressione razionale seguente:
(x^2)·[x^2 – (a^2 + b^2 + c^2 ) ]^2 – 4(a^2)(b^2)(c^2).
che, nel caso del quiz nel quale
a = 33; b = 7,2; c = 52
diventa
(x^2)·[x^2 + (33^2 + 7,2^2 + 52^2)]^2 – 4(233/7,2·52)^2 ≡ (x^2)·(x^2 – 3844,84)^2 – 4·(12355,2)^2 = 0 (3)
E' questa una equazione "bi-cubica" che si spezza facilmnte in due distinte equazioni cubiche canoniche con le soluzioni di una opposte alle soluzioni dell'altra
[Si ricordi che una equazione cubica canonica" manche del termine di 2° grado e quindi la somma delle sue tre soluzioni è zero]
Pertanto l'equazione (3) ha 6 soluzioni, tre positive e tre negative che sono le opposte delle tre positive
Le tre soluzioni positive sono
x1 = 65;
x2 = [65 + √(65^2 – 4·380,16)]/2 ≈ 58,50173071162764;
x3 = [65 – √(65^2 – 4·380,16)]/2 = x1 – x2 ≈ 6,49826928837236.
__________________
Erasmus
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Vecchio 04-06-21, 21:41   #2
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Torno al quiz della spezzata di tre corde che occupasvano una semicirconferenza della quale occorreva calcolare il diametro sapendo la lunghezza delle corde.

Le tre soluzioni positive sono
x1 = 65;
x2 = [65 + √(65^2 – 4·380,16)]/2 ≈ 58,50173071162764;
x3 = [65 – √(65^2 – 4·380,16)]/2 = x1 – x2 ≈ 6,49826928837236.


Ecco le 4 soluzioni (zero compreso) dell'equazione
x^4-3844.84x^2-24710.4x=0
(x è il diametro)
Chissà perché solo 65 viene positivo...
Ho capito, l'equazione è cambiata di segno quadrandola (forse)


Ultima modifica di aspesi : 04-06-21 21:49.
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Vecchio 07-06-21, 10:09   #3
Erasmus
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Ecco le 4 soluzioni (zero compreso) dell'equazione
x^4-3844.84x^2-24710.4x=0
(x è il diametro)
Chissà perché solo 65 viene positivo...
Sono ormai diversi giorni che cerco di risponderti qui. Ma non ci sono riuscito!
Sul computer abituale non mi funzionava più il mouse (e la freccetta restava ferma immobile). Su quello nuovo, non so perché, dopo un po' perdo la pagina su cui sto scrivendo la risposta e non riesco più a ritrovarla. Sto ora provando col vecchio iMac G5 del 2007 che ho ri-ri-comperato usato l'anno scorso avendo rotto anche quello che avevo già ri-comperato usato nel 2017.
[Non riuscivo ad entrare da qui ... ed erano vani i tentativi di rifare la password col computer nuovo. Finalmente ci sono rouscito da qui].
––––––––
VENGO ALLA RISPOSTA AL TUO INTERVENTO (qui sopra citato)
a) Non capisco come sei arrivato a questa equazione. La soluzione x = 0 a me non viene mai pur cambiando modo di approccio alla discussione del quiz allo scopo di risolverlo.
Io ho risolto il quiz i tre modi diversi, o meglio affrontandolo con tre approcci distinti.
Inizialmente mi dànno equazioni [di partenza] diverse dipendenti dal modo di approccio, dal quale dipendono anche eventuali incognite provvisorie. In ogni caso (cioè in ciascuno dei tre approci) inizialmente le equazioni contengono dei radicali.
Ma razionalizzando poi (con opportune quadrature) le equazioni [ed eliminando le eventuali incognite provvisorie], in ciascuno dei tre approcci arrivo alla medesima equazione di 6° grado nell'incognita x che, nelle mie intenzioni, rappresenta il diamertro incognito della circonferenza [di cui sono date le lunghezze di tre corde lati di una spezzata inscritta appunto in una semicirconferenza].
b) L'equazione definitiva nell'incognita x = <dimetro>, dette (generalizzando) a, b e c le lunghezze delle tre corde [che nel quiz sono rispettivamente 33, 7,2 e 52] mi viene sempre la seguente:
(x^2)·[x^2 – (a^2 + b^2 + c^2)]^2 – 4(abc)^2 = 0.
Questa è una equazione "bi-cubica" nel senso che – analogamente alle cosiddette equazioni "bi–quadratiche" – con la sostituzione q = x^2 diventa una equazione di 3° grado "canonica"
[ossia: priva del termine di 2° grado, equazione data di solito nella forma x^3 –3p·x –2q=0].
c) Dici "chissà perché solo 65 viene positivo". E poi (ma non si vede nel mio "quota") che "hai capito, che è perché hai cambiato segno (forse)".
Giusto: ma allora, se ritorni al segno precedente, trovi due soluzioni positive la cui somma è 65 e, oltre a x = 0, la terza soluzione ti viene "x = –65".
Questo succede perché in una equazione della forma "polinomio in una incognita uguaqgliato a zero" se manca il temine di grado una unità meno del grado massimo, la somma di tutte le soluzioni deve essere nulla.
Infatti, se X1, X2, ..., Xn sono le n soluzioni di un'equazione della forma
<polinomio di grado n in x> = 0
l'equazione equivale a
(x – X1)(x – X2)·...·(x – Xn) = 0
nella quale il temine di grado n – 1 viene
–(X1 + X2+ ... +Xn)·x^(n–1).
Vedi che la tua equazione casca nel caso detto di coefficiente nullo del termine di grado n–1.
d) L'equazione generale (dopo aver razionalizzato, cioè questa
(x^2) · [x^2 – (a^2 + b^2 + c^2)]^2 – 4(a·b·c)^2=0 (*)
con la sostituzione x^2 = q diventa un'equazione di 3° grado in q* NON CANONICA (ossia col termine di 2° grado in q diverso da zero) con tre soluzioni tutte positive.
Siano queste q1, q2 e q3. Ovviamente le 6 soluzioni (tre positive e tre negative) della (*) sono allora del tipo:
X1,2 = ± √(q1); X3,4 = ± √(q2); X5,6 = ± √(q3).
Ma le 6 soluzioni della (*) si calcolano anche "spaccando" l'equazione "bi-cubica" in due equazioni cubiche (che risultano entrambe canoniche) ricordando il prodotto notevole di modello:
A^2 – B^2 = (A + B)(A – B),
Infatti la (*) equivale a
{x·[x^2 – (a^2 + b^2 + c^2] + 2(abc)}·{x·[x^2 – (a^2 + b^2 + c^2] – 2(abc)}=0 ⇔
⇔ x^3 – (a^2 + b^2 + c^2)·x + 2abc = 0 ∨ x^3 – (a^2 + b^2 + c^2)·x + 2abc = 0. (**)
Delle due equazioni di 3° grado, una ha una soluzione positiva e due soluzioni negative la cui somma dà l'opposto della soluzione positiva; l'altra ha le tre soluzioni [una negativa e due positive] rispettivamente opposte delle soluzioni della prima equazione.
Infatti, la seconda delle (**) si può scrivere [cambiando segno e osservando che –x^3 = (–x)^3] nella forma
(–x)^3 – (a^2 + b^2 + c^2)·(–x) – 2abc = 0. (***)
che, nell'incognita y = –x diventa del tipo della prima delle (**)
e) Per: a = 33; b = 7,2 e c = 52 si ha :
x^3 – 3844,84·x – 24710,4 = 0 ∨ x^3 – 3844,84x + 24710,4 = 0 (****)
La prima delle (****) ha le seguenti soluzioni
X1 = 65; X2.3 = [–65 ± √(2704,36)]/2;
e la seconda delle (****) ha le soluzioni ooposte
X4 = –65; X5.6 = [65 ± √(2704,36)]/2.
–––––––––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 01-07-21 03:17.
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Vecchio 07-06-21, 12:59   #4
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a) Non capisco come sei arrivato a questa equazione.
–––––––––
Semplicemente da:

BD * AC = AB * CD + BC * AD --------> teorema di Tolomeo

AB^2 + BD^2 = AD^2
AC^2 + CD^2 = AD^2


Da cui:
(AD^2 - 33^2)*(AD^2 - 52^2) = (33*52 + 7,2*AD)^2

e sviluppando l'equazione con AD = x = diametro, viene

x^4 - 3844,84x^2 - 24710,4x = 0


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Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it