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Vecchio 16-12-10, 11:45   #221
aspesi
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Ogni volta che lancio una moneta perfettamente equilibrata, se viene testa faccio 1 punto, se viene croce faccio 2 punti.
Sommando i punti di tutti i lanci successivi, con quale probabilità arrivo a realizzare 100 punti senza sballare?

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Vecchio 16-12-10, 23:37   #222
Erasmus
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Ogni volta che lancio una moneta perfettamente equilibrata, se viene testa faccio 1 punto, se viene croce faccio 2 punti.
Sommando i punti di tutti i lanci successivi, con quale probabilità arrivo a realizzare 100 punti senza sballare?

a) Che vuol dire «senza sballare»?
b) Quanti lanci fai?
---------
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Erasmus
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Vecchio 18-12-10, 10:29   #223
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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a) Che vuol dire «senza sballare»?
Di arrivare a 100 (e non di "saltare" a 101)


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b) Quanti lanci fai?
---------
Tutti quelli necessari... (che ovviamente vanno da 50 a 100)

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Vecchio 18-12-10, 16:08   #224
Erasmus
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b) Quanti lanci fai?
Tutti quelli necessari... (che ovviamente vanno da 50 a 100)
«Lo supponevo», diceva l'arcipoliziotto Cip [di Jacovitti].
La risposta ... non la so. In "Calcolo delle probabilità" sono decisamente scarso.
Mi pare che qui abbiamo un punteggio con una distribuzione di probabilità p(k) (per k tra 0 e N inclusi) binomiale con equiprobabilità elementare ... e so che questa p(k), cioè
p(k) = [1/(2^N)]·{N!/[k!·(N–k)!]}
combacia quasi con quella gaussiana
pg(k) = *[1/σ√(2π)]·Exp{–[(50–μ)^2]/(2·σ^2)}
di valor medio μ = N/2 e deviazione standard σ =[√(N)]/2 per N abbastanza grande (e N = 50 è "abbastanza grande"!).

Provo ad impostare un ragionamento.
0) Lancio la moneta 50 volte: sono sicuro di non sballare e ho una possibilità (tutte croci) su 2^50 = 1,1259·10^15 di fare 100, probabilità p(50) = C(50,0)/2^50 ≈ 8,881/10^16.

1) Provo N =51. Su 2^51 casi possibili, se escono tutte croci (un caso su 2^51) faccio 102 (sballo). Se mi escono 50 croci ed una testa (51 casi su 2^51) faccio 101 (sballo).
Se mi escono 49 croci e 2 teste (51*50/2 = 1275 casi su 2^51, probabilità 5,56/10^13) faccio 100.
p(51) = C(51, 2)/2^51 = (51·50/2)/2^51
Se mi escono meno di 49 croci faccio meno di 100.

2) Provo N = 52. Sballo se escono più di 48 croci.
Faccio 100 se escono 48 croci e 4 teste (52*51*50*49/24 = 270725 casi su 2^52, probabilità 6.011/10^11
p(52) = C(52, 4)/2^52 = (52·51·50·49/4!)/2^52.

Provo a generalizzare.

k) Lancio la moneta 50+k volte, con k compreso tra 1 e 50 inclusi (1 ≤ k ≤ 50).
La probabilità di fare 100 dovrebbe essere:

p(50 + k) = C(50+k, 2k)/2^(50+k) = [1/2^(50+k)]·[(50+k)!]/[(2k)!·(50–k)!]


Aumentando k, avvicinandomi con k a 50, cresce la probabilità di sballare. Forse per certo k c'è un massimo della probabilità di fare 100.
Ad occhio, siccome il massimo di C(2N,k) si ha per k = N, dovrebbe essere per
(50 + k)/2 = 2k = 50–k ––> k = 50/3 ––> k = 17 (circa).

Vado a guardarmi 100* [1/2^(50+n)]·(50+n)!/[(2n)!·(50–n)!] – che è l'andamento di p(50+k) per k=n della probabilità di fare 100 – con la mia "calcolatrice grafica" (che non funziona se al posto di n scrivo k) per vedere se il massimo c'è e, se c'è, dove sta e quando vale.
...........
Fatto.
Trovo:
...
p(65) = 8,156...%
p(66) = 9,496...%
p(67) = 9,640...% <–– Massimo
p(68) = 8,584...%
...

Quasi una volta su 10, lanciando 67 monete, 33 dànno "croce" e 34 dànno "testa". Allora totalizzo il punteggio:
2*33 + 34 = 66 + 34 = 100

-----------------
Mi viene in mente quella volta che io ho detto (mi pare ad astromauh): «Se lanci un gran numero di monete metà escono "testa" e metà escono "croce"»; e tu mi hai corretto dicendo pressapoco: «Quasi metà! Che escano esattamente metà croci e metà teste ha una certa probabilità ben minore di 1 che cala al crescere del numero N di monete»
Effettivamente, questa è circa 1/√[N/2]·π], [approssimando i fattoriali con la formula di Stirling].

Ciao. ciao
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Ultima modifica di Erasmus : 18-12-10 18:36.
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Vecchio 18-12-10, 16:44   #225
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Vecchio 18-12-10, 17:40   #226
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Credo sulla fiducia nell'esattezza dei decimali...
Però, era facile accorgersi che il risultato converge rapidamente a....

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Vecchio 18-12-10, 17:48   #227
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Trovo:
...
p(65) = 8,156...%
p(66) = 9,496...%
p(67) = 9,640...% <–– Massimo
p(68) = 8,584...%
...

-----------------
Scusa, ho cercato di seguire il tuo ragionamento... ma mi pare tu abbia risolto un problema diverso (e ben più complicato); anche se, in realtà, la soluzione, esaminando il valore dell tuo k, cioè fra 66 e 67, è corretta...)

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Vecchio 18-12-10, 19:28   #228
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"Ogni volta che lancio una moneta perfettamente equilibrata, se viene testa faccio 1 punto, se viene croce faccio 2 punti.
Sommando i punti di tutti i lanci successivi, con quale probabilità arrivo a realizzare 100 punti senza sballare?"

La probabilità di arrivare a 1 (ovviamente con il primo lancio) è P(1)=1/2

Successivamente, si arriva a (n+1) punti se:
-ci si trova nel parziale inferiore n e nel lancio seguente esce Testa (+1 punto), con probabilità P(n)*1/2
-non si passa dal parziale n (ma si salta da n-1, ed esce Croce), con probabilità 1-P(n)

Cioè:
P(n+1) = P(n)/2 + 1 - P(n)
P(n+1) = 1 - P(n)/2

Ad esempio, si arriva a 2 con probabilità:
P(2) = 1 - P(1)/2 = 1 - 0,5/2 = 0,75
A 3 con probabilità:
P(3) = 1 - P(2)/2 = 1 - 0,75/2 = 0,625
A 4 con probabilità:
P(4) = 1 - P(3)/2 = 1 - 0,625/2 = 0,6875
............

Ci si accorge subito che le probabilità convergono rapidamente a 2/3
(D'altronde, se L è il limite cercato, dalla ricorsione
L = 1 - L/2
si ottiene:
L = 2/3

Nota: Il risultato ottenuto da Astromauh, molto probabilmente con un programmino, (66,740% , anziché 66,666...%) mi stupisce un po'.
Guardando l'enciclopedia delle sequenze, ho visto che il numeratore della frazione che ha per denominatore 2^100 (per trovare P(100)) dovrebbe essere:
a(100) = (2^100 - (-1)^100) / 3 = 4,2255E29
e quindi:
P(100) = 1 - 4,2255E29/2^100 = 1 - 0,3333.. = 0,6666...

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Vecchio 18-12-10, 23:32   #229
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Quote:
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Nota: Il risultato ottenuto da Astromauh, molto probabilmente con un programmino, (66,740% , anziché 66,666...%) mi stupisce un po'.
Stupisce anche me, io questo numero l'ho ottenuto con un programmino, e naturalmente ho notato che il risultato "assomigliava" molto a 66,66666%, per cui ho lanciato il programma più volte, ma mi viene proprio cosi':

66,740

Forse c'è un problema con il mio generatore di numeri random?



Quote:
randomize()
Dim x, tot, volte, n as integer
Dim cento, centouno as double
volte= 10000000
for n= 1 to volte
tot= 0
do
x= int (rnd*2) + 1
tot= tot + x
loop until tot>= 100
if tot= 100 then cento= cento + 1
if tot= 101 then centouno= centouno + 1
next
response.write ("cento= " & cento/volte & "<br>")
response.write ("centouno= " & centouno/volte & "<br>")
__________________
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Astromauh <a href=http://www.trekportal.it/coelestis/images/icons/icon10.gif target=_blank>http://www.trekportal.it/coelestis/i...ons/icon10.gif</a>
astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-12-10, 10:40   #230
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
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Stupisce anche me, io questo numero l'ho ottenuto con un programmino, e naturalmente ho notato che il risultato "assomigliava" molto a 66,66666%, per cui ho lanciato il programma più volte, ma mi viene proprio cosi':

66,740

Forse c'è un problema con il mio generatore di numeri random?

Sarebbe piuttosto strano.
Puoi vedere se torna lo stesso risultato cambiando il numero di "volte" (es. 1 o 5 o 20 milioni di tentativi) o anche facendo girare il programma con:
x=2
if rnd< 0,5 then x= 1

al posto di
x= int (rnd*2) + 1

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