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Vecchio 13-10-10, 18:45   #111
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Ma [31, 49] non è l'unica coppia di interi ad avere per media efficace un intero!
Ad esempio, anche [34,62] hanno media efficace un intero (50).
Però non è una delle tue soluzioni...

Vado a mangiare, poi ci guardo...
ma non è detto risolva...

Ciao
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-10-10, 19:22   #112
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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1) Trovare un numero quadrato che, aumentato o diminuito di 6, dia sempre un numero quadrato.

Aspesi risponde che il numero quadrato è: 2,5^2 = 6,25
(5/2)^2 + 6 = (7/2)^2
(5/2)^2 - 6 = (1/2)^2

2) Trovare un numero quadrato che, aumentato o diminuito di 30, dia sempre un numero quadrato.

Questo lo lascio a qualcun altro...

aspesi non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 13-10-10, 19:35   #113
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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2) Trovare un numero quadrato che, aumentato o diminuito di 30, dia sempre un numero quadrato.


Beh, è molto simile al precedente... 42,25
6,5^2 + 30 = 8,5^2
6,5^2 - 30 = 3,5^2

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-10-10, 21:49   #114
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Di seguito riporto i valori che si ottengono con alcuni N:

....N.............Calcolo.............% vincita (appross.)
..-----.......--------------..........----------------------
....3..........1-(2/3)^12....................0,7707
...10.........1-(9/10)^40...................1,4781
...13.........1-(9/10)^31...................1,5573
...20.........1-(9/10)^20...................1,6515
...inf.............1/e^4........................1,83156

Ciao
I numeri della 3ª colonna sono i complementi a 1 di quelli della 2ª.
La seconda colonna dà la probabilità di "soccombere"!

Ma questi numerio sono appunto i nostri ... "sbagliati"!

-------------------------------------------------------------

Ci ho pensato.
Ci ho pensato ... a lungo.

Forse ho trovo la risposta giusta.

Col senno di poi – supposto che sia giusta davvero – l'approdo cui sono alla fine arrivato mi pare anche una banalità (in linea di principio: ma in pratica i calcoli si complicano parecchio). Oddio: una banalità non certo per me (che non vado più in là delle prime 4 acche della teoria assiomatica della probabilità), bensì per chi avesse una certa familiarità con il calcolo delle probabilità. [Sto pensando a miei vecchi colleghi che insegnavano "Calcolo |delle probabilità e Statistica| " nei corsi per periti informatici].

Mantengo la notazione precedente. Ovvero:
– P(k) = probabilità di soccombere entro le prime k mosse ["P" come "perdere"]
– C(k) = 1 – P(k) = probabilità di essere sopravvissuto alle prime k mosse.["C" come "continuare"].
– pk = probabilità, una volta arrivato alla k-esima carta, che questa abbia il valore k [ossia di perdere alla k-esima mossa, la quale avviene con probabilità C(k–1)]

Come prima, la probabilità di perdere entro la k-esima mossa sarà dunque:
P(k) = P(k-1) + C(k–1)·pk.

La differenza con la precedente (erronea) discussione sta nel fatto che ora considero pk dipendente da k mentre prima l'avevo ritenuto costante, ossia p = 4/40 = 1/10.

• Dico "uno" e conto la 1ª carta. Se è un asso ho perso. Ci sono 4 assi su 40 carte. Perciò:
P(1) = p1= 1/10; C(1) = 1 – p1 = 9/10.
• Se la prima carta non è un asso è una delle altre 36, nelle quali ci sono 4 due.
la probabilità che sia uscito un 2 è 4/36 = 1/9, Se è uscito un 2, nelle 39 carte rimaste ci sono tre 2, se no ce ne sono 4.
Perciò, la probabilità che esca un 2 come seconda carta è
p2 = (1/9)·(3/39) + (8/9)·(4/39) = (3 + 4·8)/(39*9) = 35/351 = (1/10)(1 – 1/351).
Si osservi che p2 è solo un pelo inferiore a p1 = 1/10.
Allora:
P(2) = P(1) + C(1)*p2 = p1+(1–p1)·p2 = p1 + p2 – p1·p2;
C(2) = 1–P(2) = 1– p1 – p2 + p1·p2 = (1–p1)(1–p2)=(9/10)·(316/351)= (0,9^2)·1,0003165...
• Se soppravvivo alle prime due carte, vuol dire che certamente la prima carta non era un asso e la seconda non era un 2.
Ci sono quattro 3 sia nelle 36 diverse possibili uscite della 1ª carta che nelle 36 della 2ª carta. Cosa siano di preciso le altre 32 non importa. Nelle 38 carte rimaste ci possono essere ancora quattro 3, oppure tre 3 oppure due 3.
Consideriamo allora le disposizioni distinte di 36 elementi a 2 a 2. Il loro numero è
D(36, 2) = 36·35 = 1260
Di queste, D(4,2) = 12 sono disposizioni di due 3.
Le disposizioni che hanno un solo 3 sono 2·4·35 = 280.
Tutte le altre 1260 – 280 – 12 =938 non hanno alcun 3
Percio:
– La probabilità che nelle 38 carte rimaste ci siano solo due 3 è 12/1260 = 1/105
– La probabilità che nelle 38 carte rimaste ci siano tre 3 è 280/1260 = 2/9;
– La probabilità che nelle 38 carte rimaste ci siano quattro 3 è 638/1260 = 67/90.
Pertanto, la probabilità che esca un 3 come terza carta è:
p3 = (1/105)·(2/38) + (2/9)·(3/38) + (67/90)·(4/38) = 1/(3·5·7·19) + 1/(3*19) + 67/(3·3·5·19) =
= (3 + 3·5·7 + 7·67)/(3·3·5·7·19) = 557/5985 = (1/10)(1 – 43/4573)
Di nuovo, p3 differisce di molto poco da p1 = 1/10.
La probabilità di soccombere entro le prime tre mosse è:
P(3) = P(2) + C(2)·p3 = 1 – C(2) + C(2)·p3 = 1 – C(2)·(1 – p3) = 1 – (1–p1)(1–p2)(1–p3).
La probabilità di sopravvivere alle prime tre mosse è:
C(3) = 1 – P(3) = (1–p1)(1–p2)(1–p3).
• Analogamente si farà alla 4ª mossa.
I 4 già usciti possono essere tre, due, uno o nessuno.
Delle totali D(36, 3) = 36*35*34 = 42840 disposizioni di 3 carte:
– D(4,3) = 4·3·2 = 24 sono di tre 4;
– 3·12·32 = 1152 hanno due 4;
– 4·3·(32·31) = 11904 hanno un solo 4;
– le restanti 42840 – 11904 – 1152 – 24 = 29760 non hanno alcun 4.
La probabilità che esca il 4 alla 4ª mossa è dunque:
p4 = (24/42840)·(1/37)+ (1152/42840)·(2/37) + (11904/42840)·(3/37) + (29760/42840)·(4/37) =
= (24·1 + 1152·2 + 11904·3 + 29760 4)/(42840·37) = 11/(3·37) = 11/111 = (1/10)(1 – 1/111).
Di nuovo, p4 differisce di molto poco da p1 = 1/10.

Fatti i soliti passaggi, troveremo:
C(4) = (1–p1)(1–p2)(1–p3)(1–p4).

In generale, occorre calcolare la probabilità pk+1 che esca una carta di valore k+1 dopo essere sopravvissuti alle precedenti k mosse.
A tale scopo, si considerano le D(36,k) disposizioni di k carte di 36 possibili uscite – 36 e non 40 perché, se ho superato la k-esima carta, certamente, per ogni h da 1 a k inclusi, non è uscita alcuna delle 4 carte di valore h alla h-esima mossa –.
Occorre contare quante di queste hanno 4 carte di valore k, quante ne hanno 3, quante ne hanno 2, quante ne hanno una e quante non ne hanno alcuna. Indichiamo questi numeri con N(k, 4), N(k, 3), N(k, 2), N(k, 1) ed N(k, 0). Pertanto:
N(k, 0) = D(36, k) – N(k, 4) – N(k, 3) – N(k, 2) – N(k, 1). Risulta allora
pk+1 =[0· N(k,4) + 1·N(k,3) + 2·N(k, 2) + 3·N(k, 1) + 4·N(k, 0)]/[(40 – k)·D(36, k)].
A questo punto è
C(k+1) = (1–p1)·(1 – p2)·(1 – p3)· ... · (1 – pk) (1 – pk+1).

E avanti così fino in fondo ...

Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Ovviamente, da un certo punto in poi, (con complessità eccessiva), non è possibile lavorare con le frazioni: occorrerà sostituirle con numeri decimali; e trovare un algoritmo ripetitivo per il calcolo di pk.

Ciao, ciao
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Vecchio 13-10-10, 23:33   #115
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
Mai sentita nominare prima la "media efficace", però ...
... se la definizione è estendibile a N numeri, ho imparato così che lo "scarto quadratico medio" è la "media efficace" degli scarti ...
No!
1) Certamente hai sentito nominare, almeno da me, la "media efficace" perché hai partecipato anche tu al quiz sulle medie (aritmetica, geometrica, armonica, efficace), che consisteva nel mettere in ordine crescente le 4 medie (di numeri x e y distinti, of course).
2) Lo scarto quadratico medio è la media aritmetica dei quadrati degli scarti.
La sua radice quadrata è la "media efficace degli scarti".

In ogni caso, ... bisognerebbe sapere "scarti da che cosa".
Per esempio, la componente armonica fondamentale (nello sviluppo in serie di funzioni circolari) di una funzione f(x) definita in un intervallo (o periodica) è la sinusoide che minimizza lo scarto quadratico di f(x) da sé.

Se non sbaglio, la "varianza" di una variabile aleatoria X è lo scarto quadratico medio dalla (costante) "valor atteso" X (detto anche tout court "media" ... la media ponderale con peso pari alla probabilità).

La deviazione standard "sigma", (che è la radice quadrata della "varianza") è appunto la media efficace degli "scarti dalla media".

D. A quale velocità dovrebbero muoversi le molecole di un gas "sostanza" (fissa restando la temperatura assoluta) se avessero tutte la stessa velocità (in modulo, non in direzione)?
R. Alla velocità media efficace dei tutte le effettive velocità.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Una "media" tra due numeri non negativi x ed y è una qualsiasi funzione F(x, y) tale che
• F(x,x) = x
• F(x, y) = F(y, x)
• x > y => x > F(x, y) > y e x < y => x < F(x, y) < y.
[Il valore di ogni media è intermedio ai valori delle variabili].

• Media aritmetica Ma(x, y) = (x +y)/2
• Media geomtetrica: Mg(x, y) = √(xy)
E' l'esponenziale della media aritmetica dei logaritmi: Mg(x, y) = Exp{Ma(ln(x), ln(y)]}.
• Media armonica: Mh(x, y) = 2/(1/x + 1/y) = (xy)/[(x+y)/2]
E' il reciproco della media aritmetica dei reciproci: Mh(x,y) = 1/Ma(1/x, 1/y)
E' il rapporto tra il quadrato della media geometrica e la media aritmetica: Mh(x,y) = {[Mg(x,y)]^2}/Ma(x,y)
• Media efficace: Mg(x, y) = √[(x^2 + y^2)/2]
E' la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati.

Puoi facilmente estendere tutte le medie da 2 ad n≥ 2 variabili [da "mediare"]
Tranne la media geometrica, non è necessario che i termini da mediare siano non negativi.
La media armonica non è definita dove una variabile è nulla: però tende a ZERO al tendere a zero di qualche variabile.
------------------------------
Passando dal discreto al continuo, sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso a ≤ x ≤ b.
Per la stessa definizione di integrale definito, il "valor medio" Vm di f(x) è il limite di una media aritmetica.
Per la stessa definizione di integrale definito, il "valor efficace" Ve di f(x), [ossia la radice quadrata del valor medio del quadrato di f(x)] è il limite di una media efficace.
Codice:
                          b                                            b
Vm = [1/(b–a)]·f(x)·dx;        Ve^2 = [1/(b–a)]·{[f(x)]^2}·dx
                      a                                              a
------------------

Ciao, ciao
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Ultima modifica di Erasmus : 13-10-10 23:42.
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Vecchio 14-10-10, 00:30   #116
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Ad esempio, anche [34,62] hanno media efficace un intero (50).
Però non è una delle tue soluzioni...
a) Beh: tanto vale dividere tutto per due, prendere [17, 31] con media efficace 25.
b) Soluzione di che cosa?
Guarda qua:
Trovare un numero quadrato che, aumentato o diminuito di 21, dia sempre un numero quadrato.
R. (25/4)^2 = 625/16;

625/16 – 21 = (625–21*16)/16 = 289/16 =(17/4)^2;
625/16 +21 = (625+21*16)/16 = 961/16 =(31/4)^2.
-------------
Oppure (ma è la stessa cosa!):
R. (50/8)^2 =2500/64;

2500/64 – 21 = (2500 – 21*64)/64 = 1156/64 = (34/8)^2;
2500/64 +21 = (2500 + 21*64)/64 = 3844/64 = (62/8)^2.

-------------
Bye, bye
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Vecchio 14-10-10, 04:39   #117
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Predefinito Re: Qualche quiz

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No!...
2) Lo scarto quadratico medio è la media aritmetica dei quadrati degli scarti.
Vabbè che trattandosi di una etichettatura la questione non ha grande rilevanza, ma devo correggerti.
Non è come dici tu.
Lo "scarto quadratico medio" è in realtà (per definizione) "radicequadratico", ed è la stessa cosa della deviazione standard.
http://it.wikipedia.org/wiki/Deviazione_standard
La cosa può urtare il tuo senso estetico e non piacerti, ma è così che il termine è stato definito e viene usato ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-10-10, 08:02   #118
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Ci ho pensato.
Ci ho pensato ... a lungo.

Forse ho trovo la risposta giusta.

[cut]

A questo punto è
C(k+1) = (1–p1)·(1 – p2)·(1 – p3)· ... · (1 – pk) (1 – pk+1).

E avanti così fino in fondo ...

Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Ovviamente, da un certo punto in poi, (con complessità eccessiva), non è possibile lavorare con le frazioni: occorrerà sostituirle con numeri decimali; e trovare un algoritmo ripetitivo per il calcolo di pk.

Ciao, ciao
Il modo di ragionare e procedere mi sembra corretto.
Però, è praticamente impossibile arrivare in fondo e dare la soluzione...

Di seguito riporto i risultati esatti (che ho trovato su Internet) per qualche N:
% vincita = 0,83 per N=3
% vincita = 1,562 per N=10
% vincita = 1,62327 per N=13
% vincita = 1,69543 per N=20
% vincita = 1,83156 pe N= inf

In particolare, secondo l'enunciato del problema (N=10 con un mazzo di 40 carte), la probabilità è di: 12745876601159747423747978302388220527929982976 casi favorevoli sui 40! possibili


La procedura indicata è:
I casi favorevoli sono dati da s(10,40) dove s e' la funzione ricorsiva s(N=numero di valori per seme, k=Numero di carte con valore diverso da quello pronunciato) per mazzi a 4 semi:

s(1,0) = 4!; s(N,k)=0 per ogni k<0 e ogni k>4N;
s(N,k) = s(N-1,k) * 4! +
s(N-1,k-1) * 4!4(k-1) +
s(N-1,k-2) * [4!4(4N-k-2) + 72(k-2)(k-3)] +
s(N-1,k-3) * [144(4N-k-1)(k-3) + 16(k-3)(k-4)(k-5)] +
s(N-1,k-4) * [72(4N-k)(4N-k-1) + 48(4N-k)(k-4)(k-5) +
(k-4)(k-5)(k-6)(k-7)] +
s(N-1,k-5) * [48(4N-k+1)(4N-k)(k-5) +
4(4N-k+1)(k-5)(k-6)(k-7)] +
s(N-1,k-6) * [16(4N-k+2)(4N-k+1)(4N-k) +
6(4N-k+2)(4N-k+1)(k-6)(k-7)] +
s(N-1,k-7) * 4(4N-k+3)(4N-k+2)(4N-k+1)(k-7) +
s(N-1,k-8) * (4N-k+4)(4N-k+3)(4N-k+2)(4N-k+1)


E' anche riportato:
casi possibili: 40!/(4!)^10
casi favorevoli:
somme (-1)^(i1+...+i10)*(4 su i1)* ...*(4 su i10)*...*(40-i1....-i10)!/((4-i1)!*...*(4-i10)!)
dove con (a su b) e' il coefficiente binomiale e le somme vanno fatte sui dieci indici i1, i2, ..., i10 che vanno da 1 a 4.

E' stato fatto il calcolo con un mazzo di 40 carte, con N=3 (si dice solo 1,2,3,1,2,3,1,....)
P = Sum_i Sum_j Sum_k (4 su i)*(4 su j)*(4 su k)*(-1)^(i+j+k)*
*(40-i-j-k)!/((13-i)!*(12-j)!*(12-j)!)/(40!/(13!*12!*12!))

dove le tre somme sono libere e i rispettivi indici vanno da 0 a 4.

e il risultato ottenuto è 2005028661108720/241365994493904000
circa 0.0083 di probabilità di vincita

http://groups.google.it/group/it.scienza.matematica/browse_thread/thread/7edc4eab231a6af0/529bfb51cc5ff9fb?hl=it&ie=UTF-8&q=solitario+e+probabilita%27+di+riuscita+%2B+it. scienza.matematica


Ultima modifica di aspesi : 14-10-10 08:04.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-10-10, 08:17   #119
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a) Beh: tanto vale dividere tutto per due, prendere [17, 31] con media efficace 25.
b) Soluzione di che cosa?
Guarda qua:
Trovare un numero quadrato che, aumentato o diminuito di 21, dia sempre un numero quadrato.
R. (25/4)^2 = 625/16;

625/16 – 21 = (625–21*16)/16 = 289/16 =(17/4)^2;
625/16 +21 = (625+21*16)/16 = 961/16 =(31/4)^2.
-------------
Oppure (ma è la stessa cosa!):
R. (50/8)^2 =2500/64;

2500/64 – 21 = (2500 – 21*64)/64 = 1156/64 = (34/8)^2;
2500/64 +21 = (2500 + 21*64)/64 = 3844/64 = (62/8)^2.

-------------
Bye, bye
OK (ci sarei arrivato anch'io...)
50^2 + 1344 = 62^2
50^2 - 1344 = 34^2

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 14-10-10, 10:32   #120
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Lo "scarto quadratico medio" è in realtà (per definizione) "radicequadratico", ed è la stessa cosa della deviazione standard.
http://it.wikipedia.org/wiki/Deviazione_standard
La cosa può urtare il tuo senso estetico e non piacerti, ma è così che il termine è stato definito e viene usato ...
Questo lo dici tu; e magari, assieme a te, ormai la maggioraza (in ambito statistico, e solo quando l'estimatore – deviazione dal quale è lo scarto – è il "valor atteso", ovvero la "media").

Certamente non in ambito di calcolo numerico quando lo scarto è la deviazione (ovvero, come si dice correttamente, l'errore) di una misurata funzione F(x) non da una costante ma da una presunta funzione teorica G(x).
[Tu mi insegni che i particolari parametri di G(x) sono spesso valutabili minimizzando appunto lo "scarto quadratico medio" tra li valori misurati F(xk) e quelli teorici G(xk), k = 1, 2, ..., N].
Dai, Miza: in quest'ambito, di radici quadrate non se ne vedono "punte" (come direbbe conte).

Una volta la nomenclatura tecnica era costituita da ... "voci dotte" e\o appositi "dotti neologismi", con etimo latino o greco.
Pensa, per esempio all'inglese "error". Ormai è sinonimo di "sbaglio" come l'italiano "errore". Ma nella barbara Albione la voce è arrivata dal continente quando in questo si usava già da un millennio nel signiificato di "deviazione", "scarto", "differenza" (in valore assoluto). Ed è con questo significato che è stata importata ... e che viene ancora usata da persone colte e di buon gusto.

[Per esempio la "media aritmetica dei quadrati degli scarti" (prescindendo da quale sia l'estimatore rispetto al quale si considerano gli scarti) è detta "errore quadratico medio", (in inglese "mean square error", sigla MSE); e la sua radice quadrata, detta da me "media efficace", in inglese è detta "root mean square error" (sigla RMSE).]

Ma adesso ... il buon gusto si è perso, vuoi in omaggio alla famigerata "cultura democratica", vuoi perché ... che vuoi che ne sappiano delle etimologie delle nostre parole giapponesi, cinesi e in generale tutti i moderni prodotti delle moderne università tecnico-scientifiche (comprese quelle celeberrime nordamericane)?
Quel giustapporre, poi, parole indeclinate in certo ordine (in sostituzione di complementi ed attributi) che avviene nell'inglese moderno ... sarà anche utile (specie per chi usa questa lingua, ma è di madrelingua ... esotica) e pratico per comunicare: ma non va certo nella direzione della precisione e della distinzione dei concetti.

Infine: non mi pare che in inglese ci sia il giusto corrispettivo dell'italiano "effcace" nel significato che ha nella tipica locuzione "valor efficace" – indichiamolo con Ve – (che è la radice quadrata della media dei quadrati quando si passa dal discreto al continuo), come già ho scritto qua:
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                          b                                            b
Vm = [1/(b–a)]·f(x)·dx;        Ve^2 = [1/(b–a)]·{[f(x)]^2}·dx
                      a                                              a
Ciao, ciao.
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Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 14-10-10 10:58.
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