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Vecchio 20-09-08, 03:09   #11
Erasmus
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Predefinito Re: Quattro cerchi tangenti a tre a tre.

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E mi pare di aver letto da qualche parte che al crescere del numero di dimensioni spaziali la sferetta al centro è sempre più grande, e se non sbaglio intorno a dimensione 9 è addirittura più grande delle sfere che la circondano... Ricordo bene?
Ciao. aleph.

Allora, non siamo solo io e Nino!
C'è qualcun altro ... che sta zitto o parla molto poco.

=====================

Quel che dici è vero. Ma si tratta di una faccenda un po' diversa da quella che stiamo trattando.

E' il cosiddetto "paradosso delle n-sfere".

Consideriamo, in uno spazio n-dimensionale, 2^n ipersfere di raggio r impilate in un ipercubo di iperspigolo lungo 4r.

Nel seguito dirò (per brevità) Sn, n-sfera e n-cubo per intendere (rispettivamente) "iperspazio ad n dimensioni", "ipersfera n–dimensionale" e "ipercubo n-dimensionale".

Saltiamo S1 [retta], dove le 1-sfere sono segmenti e 2^1 = 2 1-sfere che si toccano esternamente ... consumano tutto il volume [lunghezza!] dell'1-cubo in cui sono inscatolate.

Partiamo da S2 [piano euclideo].
Consideriamo un quadrato di lato 4r, dividiamolo in 4 quadratini di lato 2r e in ciascuno di questi inscriviamo un cerchio (=2-sfera) di raggio r. Il centro di ogni cerchio dista sqrt(2)*r dal centro del quadrato, perciò tra i quattro cerchi si può "incastrare" un altro cerchio di raggio [sqrt(2) – 1]*r = (circa) 0,414*r.

Passiamo ad S3
In un cubo di spigolo 4r possiamo mettere 8 sfere di raggio r.
Il centro di ognuna delle 2^3 sfere dista dal centro del cubo sqrt(3)*r e perciò nel centro del cubo ci sta una sfera (tangente a tutte le altre) di raggio [sqrt(3) – 1]*r = (circa) 0,732*r

Generalizziamo.
In un n-cubo di spigolo 4r possiamo mettere 2^n n-sfere di raggio r.
Il centro di ognuna delle 2^n sfere dista dal centro dell'n-cubo sqrt(n)*r e perciò nel centro dell'n-cubo ci sta una sfera di raggio [sqrt(n) – 1]*r tangente a tutte le altre .

Evidentemente, al crescere del numero n delle dimensioni cresce il raggio della n-sfera centrale (tangente a tutte le 2^n altre).
Per n=4 il suo raggio diventa [sqrt(4)–1]*r = r, ossia essa è uguale alle sedici 4-sfere che la circondano.

Per n > 4 la n-sfera centrale ha raggio maggiore delle 2^n sfere che la circondano.

Per n = 9 il raggio della sferetta centrale viene [sqrt(9)–1]*r = 2r: e la sfera centrale ha diametro pari allo spigolo dell'n–cubo. Quindi, non solo è tangente alle 2^n sfere che la circondano, ma anche alle 2*n facce dell'n-cubo.

Per n>9 la n-sfera centrale ha diametro maggiore dello spigolo dell'n-cubo: sporge quindi da ciascuna faccia ... infiltrandosi nel canale che sta in ogni strato e nel quale ci passa una sfera di raggio non maggiore di [sqrt(n-1) –1]*r.

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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 23-09-08 13:11.
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Vecchio 20-09-08, 06:43   #12
Mizarino
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In un cubo di spigolo 4r possiamo mettere 8 sfere di raggio r.
Eh Eh, io dico che si può far meglio: 8 sfere di raggio r le possiamo mettere in due cubi di spigolo 2*sqr(2)*r ...

P. S. Però col trucco!...

Ultima modifica di Mizarino : 20-09-08 14:49.
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Vecchio 20-09-08, 14:35   #13
aleph
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Eh Eh, io dico che si può far meglio: 8 sfere di raggio r le possiamo mettere in due cubi di spigolo sqr(2)*r ...

P. S. Però col trucco!...
E come si fa? Le 8 sfere di raggio r (con r=1) hanno un volume di circa 33,5, mentre i due cubi di spigolo sqr(2)*r (sempre con r=1) arrivano ad un volume complessivo di 5,6..

Non mi dire che sgonfi le sfere perché non vale..
aleph non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-09-08, 14:48   #14
Mizarino
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E come si fa? Le 8 sfere di raggio r (con r=1) hanno un volume di circa 33,5, mentre i due cubi di spigolo sqr(2)*r (sempre con r=1) arrivano ad un volume complessivo di 5,6..
Non mi dire che sgonfi le sfere perché non vale..
No! le sfere sono gonfie ...
Solo che io ci ho mancato un 2, rimasto nella tastiera ...
Grazie. Correggo subito il post.
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 20-09-08, 19:28   #15
Erasmus
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Eh Eh, io dico che si può far meglio: 8 sfere di raggio r le possiamo mettere in due cubi di spigolo 2*sqr(2)*r ...

P. S. Però col trucco!... [
Sì, se le fondi e ne fai due cubi uguali

Oppure – forse – se le triti riducendole in polvere.
[Quanto è il coefficiente di stipamento (*) teorico supponendo, ad esempio, che la polvere sia costituita da minuscoli granelli sferici uguali ?
Mi toccherà calcolarlmelo ...]

(*) Nota.
Il coefficiente di stipamento è (per definizione) il rapporto tra il peso specifico ed il "peso di volume" (il quale è il rapporto tra il peso ed il volume lordo ingombrato). In ultima analisi è il rapporto tra il volume occupato da un materiale ed il suo volume intrinseco.
E' fondamentale conoscere quello delle polveri per "pianificarne" il trasporto, l'imballaggio e il volume delle confezioni di determinato peso.
Ed esempio, riempendo una cassa (rigida e perfetta) di sferette uguali liscie e perfette, (in pratica: dando dette scosse alla cassa in modo che le sferette vi si stipino alla massima densità possibile), resta comunque una parte del volune della cassa non occupato dalle sferette. Per sferette uguali il massimo stipamento si ha disponendole in modo che i centri di 4 di esse che si toccano a tre a tre – anvedi che la formula dei Kissing Circles estesa da Soddy dal piano S2 allo spazio S3 colpisce ancora !? – siano i vertici di un tetraedro (regolare).
Vi ricordate la bufala della regolamentazione della curvatura e dimensioni dei cetrioli?
[Bufala che ha fatto il giro dell'UE, spacciata inizialmente dai media di Murdock e ripresa da Leghisti & Co.! Bufala perché non esiste affatto una tale regolamentazione a livello UE].
La verità era questa: su pressione del sindacato dei commercianti e di quello dei trasportatori di non ricordo quale stato-membro dell'UE, un ministro di quello stato ha davvero richiesto una regolamentazione che spingesse a produrre e commerciare cetrioli, banane (ed affini per forma) non troppo curvi e non troppo lontani dalla forma cilindrica. Nella proposta, i cetrioli che non fossero rientrati in un certo standard non sarebbero stati "vietati" (tanto meno "fuori legge", come riferiva "la Padania"): solamente, i loro produttori non avrebbero potuto usufruire né dei fondi della BEI (la banca europea per gli investimenti) né delle eventuali agevolazioni dei "montanti compensativi". Comunque, la proposta è stata non accolta dal Consiglio (che l'ha bocciata a maggioranza semplice!)
Ma non era una cosa così stupida come veniva presentata (con la precisa malafede di sputtanare l'UE)! Il trasporto di materiale a basso valore specifico (per kg o per m^3) ha costi che a volte incidono sul prezzo finale (al consumatore) molto più del costo dei prodotti alla fonte. Perciò, il cercare di diminuire il coefficiente di stipamento è la normale strategia dei trasportatori!
Ma ... la demagogia (come la stupidità dei creduloni) non ha limiti (e non solo in Italia!)

Il volume di 8 sfere di raggio r è:
Vs = 8*(4/3)*PI*r^3 = (32*PI/3)*r^3 = (circa) 33,51*r^3.
Il volume dei tuoi due cubi di spigolo 2*sqrt(2)*r è
Vc = 2*[2*sqrt(2)^3]*r^3 = 32*sqrt(2)* r=3 = (circa) 45,25*r^3 .

Vc/Vs = 3*sqrt(2)/PI = (circa) 1,35
Occorre un coefficiente di stipamento non maggiore di Vc/Vs = 1,35 ...
Non so quanto sia quello minimo teorico ... ma il computer di Mizarino ce lo dirà in un battibaleno!

Impilate, invece, le sferette in modo che una sia circondata non da 4 ma da 6, ossia una sfera per ogni cubetto di spigolo pari al diametro, il loro coefficiente di stipamento è ovviamente (2^3)/[(4/3)PI] = 6/PI = (circa) 1,91.

Sei sicuro, Miza, che gli interstizi tra le sferette stipate al meglio siano solo il 35% del volume intrinseco delle sfere stesse?

Per questo controllo occorre fare "due calcoli due":
1) Ogni strato è fatto di file parallele, e due file adiacenti con terne di sfere contigue tangenti a due a due: quindi la larghezza d'una striscia di n file invece che n*(2r) viene {[sqrt(3)/2]*(n –2) + 2}*(2r). Per n grande accettiamo pure che l'altezza (dello strato) si riduca nel rapporto sqrt(3)/2 = 0,866..
2) Lo strato di sopra a questo è sfalsato in modo che una sfera sta sopra l'interstizio tra le tre sfere sottostanti che tocca. L'abbassamento è tale che n strati anziché avere altezza n*(2r) sono alti [sqrt(2/3)*(n-2) + 2]*(2r). Anche qui, per n grande accettiamo che si guadagni in stipamento nel rapporto sqrt(2/3) = (circa) 0,816.
Il coefficiente di stipamento minimo teorico (per sfere a diametro infinitesimo rispetto alle dimensioni della "scatola" in cui si collocano) è dunque il prodotto di quello di un cubetto per sferetta per il fattore:
[sqrt(3)/2]* sqrt(2/3) = sqrt(2)/2
ossia;

Coeff. min. teor = (6/PI)*sqrt(2)/2 = 3*sqrt(2)/PI

Porco mondo, è proprio quello che serve a Miza!

Ma ... lo sapevi, Miza, o t'è venuto esatto solo perché – eufemizzo, dai! – "sei nato con la camicia"? (Meglio di Gastone, il cugino di Paperino).

Bye, bye
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Ultima modifica di Erasmus : 23-09-08 13:27.
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Vecchio 21-09-08, 09:21   #16
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Porco mondo, è proprio quello che serve a Miza!
Ma ... lo sapevi, Miza, o t'è venuto esatto solo perché – eufemizzo, dai! – "sei nato con la camicia"? (Meglio di Gastone, il cugino di Paperino).
In effetti, lo sapevo al quadrato ... perché in fondo si tratta del riciclo di una vecchia discussione proposta da me ...
http://www.trekportal.it/coelestis/s...ead.php?t=9819
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Vecchio 21-09-08, 09:51   #17
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Io ho un libro che dice che la densità massima nella sistemazione delle sfere è = 0,740480489 che sarebbe poi PI/sqrt18


E' giusto?

Ultima modifica di nino280 : 21-09-08 10:13.
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Vecchio 21-09-08, 12:53   #18
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nino280 Visualizza il messaggio
Io ho un libro che dice che la densità massima nella sistemazione delle sfere è = 0,740480489 che sarebbe poi PI/sqrt18
E' giusto?
E' giusto.
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Vecchio 21-09-08, 15:35   #19
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Io ho un libro che dice che la densità massima nella sistemazione delle sfere è = 0,740480489 che sarebbe poi PI/sqrt(18)


E' giusto?
Nino: tu sei come Qui, Quo e Qua che trovano sempre tutto sul "Manuale delle giovani marmotte"

In effetti, quella tua "densità" (di stipamento, non di "massa") è il reciproco del mio coefficiente di stipamento. Ho scritto 3*sqrt(2)/PI.
Vedi che sqrt(18) = sqrt(9*2) = 3*sqrt(2).
La tua densità di stipamento è appunto PI/[3*sqrt(2)]

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Vecchio 21-09-08, 16:11   #20
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Predefinito E adesso andiamo avanti ...

Questa in realtà è una sottile vendetta nei confronti di Erasmus, che si diverte a proporre problemi, i più dei quali io non oso nemmeno affrontare, per non correre il rischio di restare a pensarci su per giorni interi ...

Vediamo un po'... Siamo riusciti ad inscatolare le sfere con una "densità di stipamento" di 0.74048...
Ci rimangono gli interstizi vuoti, e potremmo sfruttarli occupandoli con sfere più piccole, grandi tanto quanto occorre e basta ad occupare ciascuna sfera un interstizio ...
Limitandoci agli interstizi presenti ora (e non andando giù a quelli che si creeranno dopo aver messo le sfere piccole), la domanda è:

Se nel nostro scatolone abbiamo N sfere grandi di raggio R, quante sfere piccole e di che raggio potremo aggiungerci ?

Beh, fatto questo sarà poi facile calcolare la nuova "densità di stipamento"...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
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