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Vecchio 21-09-21, 14:32   #4691
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Il fatto è che l'angolo al centro NON lo conosci.
Lo devi calcolare, per poter fare poi il rapporto rispetto all'area del cerchio.
E per calcolarlo, non ci sono santi, devi applicare un teorema del coseno (e quindi la trigonometria)
Conoscendo raggio e corda di quell'angolo conosci (o puoi conoscere) una funzione circolare (seno o coseno, di cui è abituale l'uso in tyrigonometria che – ripeto – è lo studio dettagliato dei triangoli). Indispensabile è allora solo l'uso di una funione inversa di una funzione circolare.
Scusate se insisto. Mi piace che in matematica si rispetti la precisione del linguaggio.
Le funzioni seno e coseno non sono in sé "trigonometria " e, ad essere pignoli, nemmeno [sempre] funzioni di angoli. Per esempio in un moto armonico è solo per analogia che si prende un angolo che cresce proporzionalmente al tempo che passa. Il moto armonico potrebbe essere quello di un peso appeso ad una molla: un andirivieni periodico rettilineo dove di trigonometria non ce n'è e nemmeno ci sono angoli. Ma c'è lo stesso una funzione sinusoidale. Storicamente le funzioni seno e coseno sono nate per studiare angoli (per comodità riportati al centro di un cerchio di raggio unitario) e perciò son dette "circolari".
Ma modernamente sono definite addirittura dal loro sviluppo in serie di potenze! considerate funzioni astratte e basta, di dominio tutto l'asse dei numeri reali.. Un pochino allo stesso modo di
y = ax +b
che è detta funzione lineare perché tale è l'equazione cartesiana di una rtetta;
o di
y = x^2; y=x^3
che si leccono "ics quadrato" e "ics cubo" anche quando il quadrato come figura piana e il cubo come solido non c'entrano.
Ma le funzioni cosiddette "circolari" si potrebbero definire "assiomaticamente" in più modi mediante questa o quella proprietà caratteristica.
Una volta definite con certi assiomi, se si incontrano funzioni in questioo o quell'ambito che verificano una qualche proprietà caratteristica delle funzioni cosiddette circolari, ovviamente le nuove funzioni vengono di colpo uificate con quelle già note. Così è successo quando i matematici si sono messi a studiare la propagazione di onde e già conoscevano le funzioni seno e coseno usate in trigonometria.
[A proposito dell'essere le funzioni circolari usate dove la trigonometria non c'entra, ricordo che l'inventore dello sviluppo di funzioni qualsiasi in serie di funzioni circolari (cioè il famoso Jean Baptiste Joseph Fourier) ha esposto questo fondamentale sviluppo della matematica in un saggio intitolato "Propagazione del calore" dove riesce a spiegare il meccanismi della propagazione del calore tramite queste nuove serie da lui inventate apposta! ]
Modernamente molti autori di testi universitari di matematica introducono dapprima astratte funzioni seno e coseno con assegnate proprietà caratteristiche. E solo dopo ti portano a scoprire che certe relazioni trigonometriche si esprimono bene con quelle astratte funzioni assegnando loro per variabile la misura in radianti degli angoli.

Ripeto (scusandomi di averla fatta troppo lunga): Nel problema in questione indispensabile è una funzione inversa di una funzione circolare.
Le funzioni circolari sono abituali in trigonometria ma non sono esse propriamente a costituire la "trigonometria". La trigonometria potrebbe anche essere sviluppata tutta senza quelle funzioni (ma sarebbe molto meno stringata e terribilmente scomoda) e quelle funzioni si usano vantaggiosamente anche in ambiti dove non ci sono triangoli né angoli se non presi in prestito per comoda analogia.
–––––––
__________________
Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 21-09-21 14:41.
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Vecchio 21-09-21, 14:39   #4692
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Sì è 169,5
Aspettiamo se vuole la soluzione di Erasmus

Ma io qui non centro assolutamente nulla.
Ha fatto tutto GeoGebra.
Quindi nessun merito, ne tanto meno merito complimenti
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-09-21, 15:39   #4693
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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nino280 Visualizza il messaggio
Ma io qui non centro assolutamente nulla.
Ha fatto tutto GeoGebra.
Quindi nessun merito, ne tanto meno merito complimenti
Ciao
I complimenti io li do a chi trova il risultato giusto.
Non mi interessa il come ci arriva.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-09-21, 05:40   #4694
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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aspesi Visualizza il messaggio

Sì è 169,5
Aspettiamo se vuole la soluzione di Erasmus
Sì, la risposta giusta è 169,5.
Tu, aspesi, hai detto a nino280 che non importa come uno ci arriva, che tu fai i complimenti a chi trova il risultato giusto. Discorso ... ambiguo!
Se per "arrivarci" o "trovare" intendi raggiungere il risultato giusto autonomamente sono d'accordo. Ma se intendi dare il risultato giusto magari andando a prendere quello trovato da un altro allora non sono d'accordo!
Vedi che nino280 riconosce di non aver fatto altro che il disegno e che la risposta gliela dà Geogebra.
Ho sempre detto e ripeto che la risposta giusta ad un quiz va spiegata perché solo offrendo al lettore il percorso con cui si è raggiunto il risultato la risposta è "istruttiva".

Tu, aspesi, come hai risolto questo quiz?
Mi interessa saperlo!
Io l'ho trovato "difficile". Dapprima ho cercato l'angolo al vertice ... ma devo aver fatto qualche "errore di sbaglio" perché poi l'angolo trovato non andava bene!
Stanotte ho invece cercato l'altezza – diciamolla h – rispetto al lato obliquo..
Questa lunghezza h è FONDAMENTALE per la risposta perchè i due triangoli che compongono l'area richiesta sono rettangoli ed i cateti di uno sono 7 e h –7 e i cateti dell'altro sono 16 e h – 16.
L'equazione che mi dà h l'ho presa uguagliando il lato destro al lato sinistro del triangolone grosso. Si parte dunque con una equazione lunghissima ed incasinata. Se non si sbagliano i passaggi, l'equazione meravigliosamente si sbroglia restando alla fine così
h^3 – 30·h^2 + 32·49 = 0
Delle tre soluzioni, quella che va bene per il problema è 28
L'area richiesta è dunque
Codice:
   (28 – 7)·7      (28 – 16)·16       147 + 192      339
   ––––––––  +  ––––––––––  =   –––––––––  = ––– = 169,5
         2                    2                        2             2
    Triangolo        Triangolo
     in basso         a sinistra
––––––

Spiego meglio quel che ho fatto.
Sul lato di destra ci sono quattro segmenti che, andando dall'alto al basso, ho chiamato r, q, p ed s.
Occchio: q è il lato del quadrato più grande e p il lato di quello più piccolo.
Il lato di destra è dunque lungo r + q +p + s
il lato di sinistra è lungo √(r^2 + q^2) + √[q^2 + (h – q)^2]
Inizialmente ho dunque l'uguaglianza:
√(r^2 + q^2) + √[q^2 + (h – q)^2] = r + q + p + s. (*)
Elimino r ed s sfruttando proporzioni in triangoli simili, Cioè:
1) r : q = q : (h – q) –––> r = (q^2)/(h – q)
2) s : p = p : (h – p) –––> s = (p^2)/(h – p).
Metto le espressioni di r ed s nella (*) ed ho una equazione ... incasinata nell'incognita h con parametri p e q dei quali solo dopo tutte le possibili semplificazioni metterò i valori (che sono p=7 e q = 16).
Con le dette sostituzioni [di r ed s] l'equazione (*) diventa quest'altra:
√{[(q^2)/(h–q)]^2 + q^2} + √[q^2 + (h – q)^2] = (q^2)/(h–q) + q + p + (p^2)/(h–p). (**)
Beh: adesso se qualcuno ce n'ha voglia può farsi lui le semplificazioni. Meravigliosamente si semplifica moltissimo arrivando appunto all'equazione
h^3 – (p +2p)·h^2 + 2q·p^2 = 0. (**)
Per q = 16 e p = 7 si ha
h^3 – 30·h^2 + 32·49 = 0.
La soluzione h = 28 si trova facilmente anche per tentativi andando ... a sentimento.
Per comodità chiamo P(h) il trinomio. Si parte da h = 0 con P(0) = 32·49 positivo.
Per h = 16 viene P(16) = (16^2)·(16 –30) + 16·14·7 = 14·16·(–16 + 7) che è negativo.
Dunque tra 0 e 16 c'è una soluzione che non ci va bene perché è minore di 16.
Se si prova h = 27 si trova P(27) = –3·27^2 +32·49 che è ancora negativo.
Con h = 28 si annulla! Con h = 30 si ha P(0) = P(0), ... e poi crescendo h cresce pure P(h).
Dividendo il trinomio per per h – 28 resta l'equazione h^2 – 2h –56 = 0
[che è risolta da h = 1 + √(57) ≈ 8,55 e 1 – √(57) ≈ – 6,55].
Dunque va bene solo h = 28 perché delle tre solo 28 è maggiore di 16.
–––
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Ultima modifica di Erasmus : 23-09-21 10:20.
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Vecchio 23-09-21, 08:01   #4695
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Sì, la risposta giusta è 169,5.


Tu, aspesi, come hai risolto questo quiz?
Mi interessa saperlo!
Io l'ho trovato "difficile".
–––


AF = a
FB = b
FC = c

Sistema di 3 equazioni con 3 incognite

a/b = (a-7)/7
c/a = (c-16)/16
(b+c)^2 = a^2 + c^2

Si ottiene
a=28
b=28/3
c=112/3

AG = 28-7 = 21
AM = 28-16 = 12

Area = (21*7 + 12*16)/2 = 339/2

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Vecchio 24-09-21, 06:30   #4696
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Questa mattina, Aldo è uscito da casa con T (€) per effettuare ben 6 acquisti : dopo aver pagato 2 € per il parcheggio, ha effettuato il 1° acquisto, spendendo 1/2 del denaro che gli era rimasto più 1/2 € ; poi ha fatto il 2°acquisto, spendendo 1/2 del denaro che gli era rimasto più 1/2 € ; di seguito, ha fatto il 3° acquisto, spendendo 1/2 del denaro che gli era rimasto più 1/2 €, e così di seguito fino al sesto ed ultimo acquisto.
Se alla fine gli è rimasto un importo R= (1/77)*T, quanto ha speso ?

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Vecchio 24-09-21, 23:46   #4697
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[...] l'equazione meravigliosamente si sbroglia restando alla fine così:
h^3 – 30·h^2 + 32·49 = 0.
[...]
La soluzione h = 28 si trova facilmente anche per tentativi andando ... a sentimento ,,,
Ma anche (se si ha la fortuna di rilevare che nel termine noto si pyò evidenziare il fattore 4·7 = 28) dissociando il coefficiente –30 in –2 – 28. Ossia:
h^3 – 30·h^2 + 32·49 = h^3 – 28h^2 – 2(h^2 – 16·49) = (h^2)(h – 28) – 2(h^2 – 28^2) =
= (h – 28)[h^2 – 2(h + 28)] = (h – 28)[(h^2 – 2h + 1)–57] = (h – 28)[(h – 1)^2–57] =
= (h – 28)·[h – (1 +√(57)]·[h – (1 –√(57)].
Ssolo 28 va geometricamente bene dato che 1 –√(57) è negativo e 1 +√(57) ≈ 8,5 è minore di 16.
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Vecchio 28-09-21, 12:39   #4698
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A B e C
sono tre amici
A dice che che B è un bugiardo, B dice che C è bugiardo, C dice che A è B sono bugiardi.
Chi dice la verità?

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Vecchio 28-09-21, 14:20   #4699
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B
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nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 28-09-21, 15:10   #4700
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B
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