Estrazioni casuali

[Erasmus]

aspesi

In una piscina per bambini , ci sono N palline colorate di n diversi colori : 6 palline di colore bianco; 7 di colore azzurro ; 8 di colore verde ; 9 di colore giallo; 10 di colore viola e così di seguito fino all' ennesimo colore.

Se, per avere la certezza di averne almeno 5 di uno stesso colore, un bambino bendato deve prelevare al minimo, 2 palline di meno rispetto ad 1/5 delle N palline presenti nella piscina, quanto vale N ?

E' comunque N = 5n + n(n+1)/2 = n(11+n)/2.
Nel caso più sfigato il bimbo avrà 4 palline per ciascuno di n–1 colori e 5 palline di un solo colore, in tutto 4n +1 palline.
Tu mi dici che questo numero è 1/5 di N meno 2, cioè (1/5)·n(11+n)/2 – 2.
Mi suggerisci dunque l'equazione:
4n+1 = n(11+n)/10 –2 ⇔ 40n + 10 = n^2 + 11n –20 ⇔ n^2 – 29n – 30 = 0.
Risolvo questa equazione trovando n = [29 ± √(29^2 + 4·30)]/2 ⇔ n = (29 ± 31)/2.
Scarto la soluzione negativa e prendo n = 30. [Come numero di colori mi pare troppo, ma il quiz non l'ho fatto io!]
In definitiva N = 30·(11+30(/2 = 15·41 = 615
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P.S.
Se non conoscessi la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado potrei fare:
0 = n^2 – 29n – 30 = n^2 + n – 30n –30 = (n+1)(n–30) ⇒ n = –1 ∨ n = 30.

[aspesi]

Facile

[Erasmus]

aspesi

Facile

1) 16%.
2) Diametro della moneta [10 – 5√(2)] cm ≈ 2,93 cm, ossia meno di metà del diametro del caso precedente (quando il diametro della moneta era 6 cm).

NB: Se il bordo della moneta stricia sul perimetro di una casella (da 10 x 10 cm^2) ed r è il raggio della moneta, il centro della moneta descrive il perimetro di un quadrato – diciamolo Qm – concentrico con la casella e di lato pari alla differenza tra il lato della casella ed il diametro della moneta, cioè 10 cm – 2r. La probabilità che tutta la moneta resti interna ad una casella è quella che il centro della moneta resti dentro al detto quadrato Qm , ossia il rapporto tra l'area di Qm e l'area della casella.
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[aspesi]

Erasmus

1) 16%.
2) Diametro della moneta [10 – 5√(2)] cm ≈ 2,93 cm, ossia meno di metà del diametro del caso precedente (quando il diametro della moneta era 6 cm).

NB: Se il bordo della moneta stricia sul perimetro d una casella (da 10 x 10 cm^2) ed r è il raggio della moneta, il centro della moneta descrive il perimetro di un quadrato – dixiamolo Qm concentrico con la casella e di lato pari alla differenza tra il lato della casella ed il diametro della moneta, cioè 10 cm – 2r. La probabilità che tutta la moneta resti interna ad una casella è quella chhe il centro della moneta resti debntro al detto quadrato Qm , ossia il rapporto tra l'area Qm e l'area della casella.
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E' esattamente come la penso io

Chi ha proposto il quiz indica anche un'altra possibile soluzione;

La probabilità è data dal rapporto dell'area interna A1 alla scacchiera in cui il baricentro della moneta può cadere senza toccare il bordo delle caselle e l'area complessiva A2 in cui il baricentro della moneta può cadere. Si escludono i casi i casi in cui la moneta è completamente esterna perché non portano né a vittoria né a sconfitta (si assume anche che se la moneta cade fuori il giocatore ripeta il lancio finché non vince o perde altrimenti non si può valutare la probabilità).
A1 è pari (10-d)^2*6^2.
Per A2 possiamo fare due ipotesi:
1) La scacchiera è al livello del piano di gioco (in questo caso il baricentro della moneta può cadere anche esternamente alla scacchiera e portare alla sconfitta) --> A2=(60+d)^2
p1(d)=[(10-d)*6/(60+d)]^2 pari a 16/121 = 0,132 per d=6
2) La scacchiera è rialzata rispetto al piano di gioco (in questo caso il baricentro al più potrà essere al bordo della scacchiera altrimenti la moneta cadrebbe) --> A2=60^2
p2(d)= [(10-d)*6/(60)]^2=[(10-d)/10]^2 pari a 4/25 = 0,16 per d=6
Per sapere quanto deve essere il diametro d della moneta affinché la probabilità sia pari al 50% è sufficiente impostare p1(d)=1/2 o p2(d)=1/2 e ricavare d. Per i due casi si ha:
d1=(60*(√2-1))/(6√2+1)=2,62
d2=10(1-1/√2)=2,93

[Erasmus]

aspesi

E' esattamente come la penso io

Chi ha proposto il quiz indica anche un'altra possibile soluzione
« ... bla, bla, bla ...
... 4/25 = 0,16 per d=6
--- affinché la probabilità sia pari al 50% ...
... bla, bla bla ...
d2=10(1-1/√2)=2,93»

Mi sa che questo solutore è un impiegato dell'UCAS

[Erasmus]

aspesi

Facile

Ad ogni sorteggio l'attesa (cioè, se ricordo quakcosa, la "speranza") è 1/2.. Dovrebbe succedere che, mediamente, col sorteggio di due soli addendi il 50% delle volte la somma è minore di 1 e il 50% delle volte è maggiore di 1. Può essere anche esattamente 1 ma con probabilità infinitesima.

[astromauh]

Il primo risultato è quello calcolato da Erasmus.

(10 - D)^2 = 16;

P = 16/100;

Vogliamo che

(10 - D)^2 = 50; P = 50/100;

10^2 + D^2 -20*D = 50

100 + D^2 -20*D = 50

D^2 -20*D + 50 = 0

Questa equazione di secondo grado ha due soluzioni, una è quella indicata da Erasmus, ossia un po' meno di 3, mentre l'altra sarebbe circa 17. Ma quest'ultima soluzione non è valida, perché va posto che il Diametro della moneta sia minore del lato dei quadratini di 10 cm. D<10. Se il diametro della monetina fosse maggiore del lato dei quadratini non si potrebbe mai vincere perché la monetina cadrebbe sempre sui lati dei quadratini, o fuori della scacchiera.

Non ho letto la soluzione data dall'altra persona, ma non credo che valga la pena di farlo.

[astromauh]

Ho fatto le scuole medie a Bari, e per andare e tornare da scuola attraversavo la villa comunale, dove noi ragazzi utilizzavamo le panchine della villa per giocare d'azzardo.
Non ricordo più le regole del gioco, ma c'era una fase preliminare in cui bisognava lanciare una monetina sulla panchina facendo in modo che essa si avvicinasse il più possibile all'altro margine, senza però cadere. Le panchine erano ideali per questo gioco, perché erano di marmo levigato e non avevano schienale.
Chi si avvicinava maggiormente all'altro margine della panchina aveva un vantaggio nella parte successiva del gioco che non ricordo più bene.

Chiaramente questo era un gioco di abilità, per cui non avrebbe senso parlare di probabilità di avvicinare il più possibile la monetina al margine della panchina, senza però farla cadere, perché ogni giocatore ha una sua probabilità personale di ottenere una buona posizione o meno.

Ma nel quiz proposto da Aspesi non si parla affatto di abilità, ed è difficile immaginare che l'abilità di chi lancia la monetina possa influire sul gioco, perché le linee e gli spazi interni si alternano di centimetro in centimetro. E' come se ad un lanciatore di giavellotto invece di dover lanciare il giavellotto il più lontano possibile fosse richiesto di lanciarlo ad una distanza in decimetri pari o dispari.

Insomma, tutto questo lungo preambolo mi serviva per dire semplicemente che è un'assurdità pensare che la soluzione di questo quiz possa essere più di una.

Se si tratta di un gioco casuale, e se le condizioni di partenza sono sempre le stesse, la probabilità che la moneta si fermi o meno sulle linee della scacchiera, non può essere che una, per un dato diametro della monetina.

Sto prendendo i difetti di Erasmus, rispondo ai quiz solo dopo che hanno già risposto tutti gli altri, e sto diventando prolisso e barboso

PS
Questo quiz non l'ho metto nella mia collezione di quiz, mi sembra un po' stupidino.

[nino280]

Premesso che non ho letto per bene i dati di questo quiz, perchè sono in tutt'altre faccende affaccendato, a me pare che questo quiz sia una qualche rielaborazione dell'ago di Buffon.
Ciao
Poi per quanto riguarda il gioco da ragazzi noi a Laterza giocavamo "o nzich "
Si trattava di lanciare una pietra contro un muro cercando di farla stare il più vicino possibile al muro.
Adoperavamo le pietre perchè, poveracci, non avevamo le monete.
Ciao

[astromauh]

Mi sono documentato un po' meglio. Il posto non si chiama villa comunale, bensì giardini Garibaldi, e le panchine di marmo non ci sono più. In compenso però sono rimasti i giocatori di allora che adesso si sono dati alle carte,