Estrazioni casuali

[Mizarino]

La mediana è 8 carte, la media 10.5.

Invece io ti chiedo: se tu dovessi puntare su "quando" esattamente esce il primo asso, su quale posizione (la prima carta, la seconda, la terza...) punteresti per avere la massima probabilità di vincere?

[aspesi]

Mizarino

La mediana è 8 carte, la media 10.5.

Invece io ti chiedo: se tu dovessi puntare su "quando" esattamente esce il primo asso, su quale posizione (la prima carta, la seconda, la terza...) punteresti per avere la massima probabilità di vincere?

La mediana è 8 carte e un pelino, la media non 10,5 ma 10,6 ...*

Per la posizione della carta su cui puntare, se intendi quella a maggior probabilità di uscita del primo asso, questa è chiaramente la prima carta; invece il prodotto p*n_carte estratte è il maggiore per la 13esima carta.



*Si può trovare la soluzione (valore atteso) facendo la somma dei possibili valori (uscita del primo asso, dalla prima alla quarantanovesima carta) ciascuno moltiplicato per la probabilità di verificarsi.
E' cioè la media ponderale dei risultati.

n. carta	p_1°asso	p*n.carta	Valore atteso (somma p*n da 1 carta a 49)
1	0,076923077	0,076923077	10,6
2	0,07239819	0,14479638	
3	0,068054299	0,204162896	
4	0,063887709	0,255550836	
5	0,059894727	0,299473636	
6	0,056071659	0,336429957	mediana = 8 carte e un po' 
7	0,052414812	0,366903685	P 1-8 carte = 0,498564964
8	0,048920491	0,39136393	
9	0,045585003	0,410265029	
10	0,042404654	0,424046542	
11	0,03937575	0,433133253	
12	0,036494598	0,437935174	
13	0,033757503	0,438847539	
14	0,031160772	0,436250808	
15	0,028700711	0,430510666	
16	0,026373626	0,421978022	
17	0,024175824	0,410989011	
18	0,022103611	0,397864992	
19	0,020153292	0,38291255	
20	0,018321175	0,366423492	
21	0,016603565	0,348674855	
22	0,014996768	0,329928895	
23	0,013497091	0,310433096	
24	0,01210084	0,290420168	
25	0,010804322	0,270108043	
26	0,009603842	0,24969988	
27	0,008495706	0,229384061	
28	0,007476221	0,209334195	
29	0,006541694	0,189709114	
30	0,005688429	0,170652877	
31	0,004912734	0,152294764	
32	0,004210915	0,134749284	
33	0,003579278	0,11811617	
34	0,003014129	0,102480377	
35	0,002511774	0,087912088	
36	0,00206852	0,07446671	
37	0,001680672	0,062184874	
38	0,001344538	0,051092437	
39	0,001056423	0,04120048	
40	0,000812633	0,03250531	
41	0,000609475	0,024988457	
42	0,000443254	0,018616677	
43	0,000310278	0,013341952	
44	0,000206852	0,009101487	
45	0,000129282	0,005817712	
46	7,38757E-05	0,003398282	
47	3,69379E-05	0,001736079	
48	1,47751E-05	0,000709207	
49	3,69379E-06	0,000180995

[aspesi]

Si può fare anche questo ragionamento:

In un mazzo da 52 carte, i 4 assi dividono il mazzo in 5 piccoli mazzetti che possono avere da 0 a 48 carte.

Per un principio di simmetria i 5 mazzetti dovrebbero avere una media di 48/5 carte= 9.6 carte

La carta successiva, in media, sarà un asso…quindi la carta in posizione 10.6

[aspesi]

Lanci una moneta equilibrata finché non ottieni cinque teste di fila.
Quanti lanci devi fare in media?



Di astromauh non si sa nulla, Mizarino si fa vivo molto raramente...
Allora, trovare il valore atteso di problemi come questo non pare facile, ma lo diventa facendo questo calcolo:

= 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 = 62

Ci vogliono mediamente 62 lanci per ottenere 5 testa di fila

(La probabilità di ottenere testa è 1/2.
Numeri di lanci in media per ottenere 5 “testa” di fila:
1/(1/2)^5+1/(1/2)^4+1/(1/2)^3+1/(1/2)^2+1/(1/2)=
32+16+8+4+2= 62 -----> valore confermato con le catene di Markov e facendo la sommatoria dei valori possibili da 5 a n moltiplicato per la probabilità di verificarsi)

[astromauh]

tot = 6200416626
media = 62,00416626
max = 1229

Sono vivo!

Ho provato a risolverlo senza simulazione ma non ci sono riuscito.

Ancora non ho guardato bene la tua soluzione.

.....................................

Avevo cominciato con il calcolare le probabilità con il numero minore di lanci.

P(5) = TTTTT = 1/32
P(6) = CTTTTT = 1/64
P(7) = *CTTTTT = 1/64
P(8) = **CTTTTT = 1/64
P(9) = ***CTTTTT = 1/64
P(10) = ****CTTTTT = 1/64
P(11) = *****CTTTTT = (31/32)*(1/64)

Fin qui credo che le probabilità siano giuste, ma il problema è che non so andare oltre.

Avevo pensato che potesse andar bene questa formula:

P(n) = (31/32)^(n-10) * (1/64)

Ma è sbagliata.

E quindi ho ripiegato sulle vecchie e care simulazioni.

[aspesi]

astromauh

tot = 6200416626
media = 62,00416626
max = 1229



E quindi ho ripiegato sulle vecchie e care simulazioni.

Ma allora ci sei...

[aspesi]

astromauh

Avevo cominciato con il calcolare le probabilità con il numero minore di lanci.

P(5) = TTTTT = 1/32
P(6) = CTTTTT = 1/64
P(7) = *CTTTTT = 1/64
P(8) = **CTTTTT = 1/64
P(9) = ***CTTTTT = 1/64
P(10) = ****CTTTTT = 1/64
P(11) = *****CTTTTT = (31/32)*(1/64)

Fin qui credo che le probabilità siano giuste, ma il problema è che non so andare oltre.

Fin lì è giusto.
La sequenza è quella di Pentanacci
0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, 26784 , 52656, 103519, ...

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + T(n-3) + T(n-4) + T(n-5)
con T(0) = T(1) = T(2) = T(3) = 0, T(4) = 1

https://oeis.org/A001591

diviso 2^n

ti dà le varie probabilità, che poi devono essere moltiplicate ciascuna per n (5, 6, 7, ...) e alla fine si fa la somma

[aspesi]

In una piscina per bambini , ci sono N palline colorate di n diversi colori : 6 palline di colore bianco; 7 di colore azzurro ; 8 di colore verde ; 9 di colore giallo; 10 di colore viola e così di seguito fino all' ennesimo colore.

Se, per avere la certezza di averne almeno 5 di uno stesso colore, un bambino bendato deve prelevare al minimo, 2 palline di meno rispetto ad 1/5 delle N palline presenti nella piscina, quanto vale N ?

[astromauh]

Nella piscina ci dovrebbero essere 615 palline di 30 colori diversi.

N è il numero delle palline.
Chiamo C il numero dei colori.

La certezza di pescare 5 palline dello stesso colore è:

Certezza = 4 * C + 1

Ma secondo quello che dice il quiz è anche:

Certezza = (1/5) * N - 2

Inoltre sappiamo che tra il numero dei colori C e il totale delle palline N c'è una relazione ben precisa.

N = C * 5 + S(1 + 2 + 3 + 4 + 5 ... + C)

Possiamo quindi stabilire la seguente equazione:

4 * C + 1 = (1/5) * N - 2

4 * C + 1 = (1/5) * (5*C + S(C)) - 2

La cui soluzione è C = 30; S(C) = 465; (30 colori diversi)

N = C * 5 + S(C) = 150 + 465 = 615 (Numero totale delle palline)

Nota:

Risolto interamente a mano.

[aspesi]

astromauh

Nella piscina ci dovrebbero essere 615 palline di 30 colori diversi.

Ottimo procedimento