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Vecchio 29-05-11, 20:23   #1
Erasmus
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Predefinito Isometrie (o congruenze)

Quello delle isometrie è un capitolo di geometria molto interessante.

Supponiamo di avere una figura spaziale F fatta di punti P con coordinate cartesiane (ortogonali e con la stessa unità di misura) x, y e z.

Posso trasformare la figura F in un'altra F' trasformando ogni suo punto P(x,y,z) in un nuovo punto P'(x', y', z') con una trasformazione lineare del tipo:

x' = A11·x + A12·y + A13·z;
y' = A21·x + A22·y + A23·z;
z' = A31·x + A32·y + A33·z.

I 9 numeri Ahk (con h da 1 a 3 e k da 1 a 3) costituiscono una "matrice quadrata di formato 3 x 3" e la trasformazione è, in generale, una "affinità centrale".

Se i 9 numeri sono ... opportuni, può succedere che la figura F' trasformata di F (qualunque sia questa) è "uguale" (di forma e di dimensioni) alla figura originale F. Allora quella affinità è una "isometria diretta".
Può succedere che F' non sia propriamente "uguale" ad F, ma uguale ad F sia una immagine speculare di F' ... come un paio di guanti, uno destro e uno sinistro.
Allora la trasformazione è ancora una "isometria", ma "inversa".

Supponiamo che F' sia ottenuta da F con una trasformazione di "isometria inversa".
Se il nostro spazio tridimensionale fosse immerso in uno spazio a 4 dimensioni, si potrebbe "ribaltare" (o "rovesciare") F' nella 4ª dimensione ottenendo una nuova figura F'' che si può ottenere da F con una trasformazione di "isometria diretta".

Le isometrie esprimibili con una matrice quadrata 3x3 sono tutte "centrali" nel senso che il punto O(0,0,0) – origine del riferimento – è trasformato in sé stesso da qualunque "affinità centrale" (cioè: quale che sia la matrice che realizza la trasformazione).

Allora una "isometria centrale diretta", se non è la banale "identità", è sempre una rotazione di un certo angolo φ attorno ad una retta per l'origine con una certa direzione (rappresentabile con un preciso "versore" – cioè un "vettore" di modulo 1 – di certe componenti α, β e γ [con (α^2) + (β^2) + (γ^2) =1, dato che si tratta di "versore"]).

Indichiamo con Rn (φ) la rotazione dell'angolo φ attorno alla retta per l'origine orientata come il versore n; ed indichiamo con I l'identità. Ovviamente
Rn (0) = I = Rn (k·2π) (dove k è un numero intero qualsiasi).
Ma anche Rn (φ) · Rn (ψ) = Rn (φ+ψ) (per φ e ψ qualsiasi).
Questa proprietà è quella tipica delle funzioni esponenziali del tipo f(x, a) = e^(ax) = Exp(ax).
Vuoi vedere che le rotazioni attorno ad un certo asse fisso, intese quindi come "funzioni dipendenti dall'angolo di rotazione", sono anche loro "esponenziali" !?

Beh: io trovo affascinante l'uso delle matrici per studiare le isometrie.

Ho scritto un "paper" di tre pagine sulle isometrie nello spazio. Il clou del "paper" è la parte che riguarda le rotazioni. Magari troverete che io l'ho scritta da cani: ma in sé questa parte è qualcosa di estremamente elegante; e per me anche «una pagina di vero umanesimo».

Adesso metto qui sotto i link alle tre pagine (che ho messo in rete come tre rispettive PNG)... e vediamo se c'è qualcuno al quale il mio "paper" interessa.

Ciao ciao.
--------------

=> Il fascino del calcolo matriciale, pag. 1
=> Il fascino del calcolo matriciale, pag. 2
=> Il fascino del calcolo matriciale, pag. 3
---------------------
P.S.
Editato oggi 2 giugno 2012.
Ho cambiato il sito di hosting e ricaricato le immagini originali.
Queste sono immagini di pagine [in formato A4] di testo e figure, richiedono perciò una buona risoluzione.
Il precedente "hosting" deve aver cambiato, nel tempo, la risoluzione delle immagini, tanto che queste pagine, nitidissime nei giorni successivi al loro caricamento, ieri risultavano quasi illeggibili.
Si confronti, ad esempio, l'attuale pag1 con la => precedente
Ciao di nuovo!

P.S._1
Editato oggi 6 giugno 2012.
Corretto errore di battitura ("muta" ––> "mutua" ).
Rifatta trafila: nuova immagine ––>hosting ––> nuovo URL ––> modifica link
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 06-06-12 06:58. Motivo: Cambio hosting/URL delle tre pagine-png
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Vecchio 01-06-11, 14:01   #2
nino280
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Predefinito Re: Isometrie (o congruenze)

Erasmus, le tue isometrie sono per me troppo complesse, specie poi in questo periodo per me negativo, perchè giocando a tennis ho dato una tremendissima capocciata sul terreno (con la nuca) e figurati se riesco a capire le tue matriciane.
L'unica isometria che mi piace è quella della "d".
Specchiata a destra diventa "b".
La "b" specchiata sotto diventa "p"
La "p" specchiata a sinistra diventa "q" che a sua volta rispecchiata su ridiventa "d".

Ultima modifica di nino280 : 01-06-11 14:13.
nino280 non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 02-06-11, 23:22   #3
Erasmus
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Predefinito Re: Isometrie (o congruenze)

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
... giocando a tennis ho dato una tremendissima capocciata sul terreno (con la nuca)
Non ti fanno risarcire il danno che hai fatto al campo da tennis?
Oppure è tutto compreso nella tariffa di iscrizione?
Penso che avrai lasciato una bella impronta "occipitale": una bucherella che toglie al campo la sua perfetta planarità.
Se la palla casca proprio sul fianco della tua impronta "occipitale" ... rimbalza storta!
[Quanto ti viene a costare l'iscrizione, mediamente, a partita? ]
Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
L'unica isometria che mi piace è quella della "d".
[La d] specchiata a destra diventa "b".
La "b" specchiata sotto diventa "p"
La "p" specchiata a sinistra diventa "q" che a sua volta rispecchiata su ridiventa d
Sì: i 4 caratteri sono figure "isometriche" (in uno spazio bidimensionale ... e scritti nel medesimo font e con le stesse dimensioni). (p, d) e (b, q) sono coppie di figure "direttamente isometriche".
Invece (p, b), (p, q), (d, b) e (d, q) sono coppie di figure "inversamente isometriche". A "simmetria speculare" (p, q) e (b, d); a "simmetria centrale" (p, b) e (d, q).
--------------------

Nino: hai rilanciato le "visite" a questo topic. Grazie, grazie!
Si erano fermate a 38. Poi, in due giorni erano diventate 42. Ora ne vedo 72 e saranno 73 con questa mia. Probabilmente, però, molte delle nuove visite sono di utenti che arrivano per la seconda volta, per leggere quello che hai scritto tu.
Chissà se l'Illustrissimo si è degnato di leggere il mio nuovo "papiro"
Certo che questi "Rudi Mathematici" sono davvero rudi!
Oppure un po' stratosferici, tanto altolocati da vedere troppo "umile" (= terra-terra) questo mio "paper".
E il magnifico Piotr Silverbrahms?
Diceva che, pur non intervenendo, però "leggeva"!
Mi sa che ha pure smesso di leggere.
Proviamo ... a fare casino, a litigare un po': magari qualcuno lo avverte che deve intervenire a "moderare".
E pensare che al "Bar dell'Osservatorio" ci sta un moderatore (uno dei quattro) tanto zelante che ti chiude un thread senza farti capire perché neanche se glielo chiedi. Mi ha infatti risposto che una delle regole alle quali devono attenersi gli utenti è che "le decisioni del moderatore sono insindacabili".
["Ciapa su e porta a casa", come si dice dalle mie parti]

----------------
Mi permetto di fare una aggiunta al "paper" di sopra.
Riprendo le matrici Pn e Gn (dipendenti dal versore n).
Per comodità di scrittura, d'ora in poi saranno indicate senza pedice, ossia con P e G rispettivamente. Ma non si dimentichi che i loro elementi dipendono esclusivamente dalle componenti del versore n.

Dato il versore n, ogni vettore v si può decomporre nella somma di due vettori dei quali uno – diciamolo vn – è nella stessa direzione di n e l'altro (ossia vvn) nella direzione ortogonale.
Indicando con nv il prodotto scalare tra n e v, il vettore vn vale (nv) n.
Orbene: la matrice P è quella che trasforma v in vn (la parte di v parallela ad n)
v = vn = (nv) n (*)
La matrice G è quella che opera il prodotto vettoriale tra n e v.
Indicando con n x v il prodotto vettoriale di n per v, si ha:
v = n x v (**)
Allora G·v è ortogonale ad n e (G^2)·v=n x (n x v), ortogonale sia ad n che ad n x v, risulta opposto di vvn, per cui (detta I la matrice identità, che è l' "1" delle matrici):
v = (nv) nn x (n x v) <=> I·v = P·v – (G^2)·v <=> P – I = G^2.
[NB. Entrambe G e P hanno nullo il determinante].

Quello che volevo aggiungere al "paper" ... eccolo qua:

Si può instaurare una analogia tra le due matrici G e I – P ed i due numeri complessi j e 1 (dove j è l'unità immaginaria, j^2 = –1).
In questa analogia, la matrice G è la analoga di j e la matrice I – P è la analoga di 1.
Ciò deriva dal fatto che il prodotto G·P dà la matrice N, quella i cui elementi sono tutti nulli.
Infatti il prodotto vettoriale tra vettori paralleli è nullo e perciò:
G·(P·v) = n x (nv)n = 0 <=> G·P = N
Questo, assieme al fatto che G^2 = P – I, permette di instaurare la detta analogia (qui sotto scritta dettagliatamente)
Codice:

  Potenze di j         |   Potenze di G
----------------------------------–––––––––––––
  j^1 =  j             |  G^1   = G
  j^2 = –1             |  G^2 = –(I–P)
  j^3 = –j             |  G^3  = –G
  j^4 =  1             |  G^4  =  I–P
     ...               |  ...
 Se k è pari allora    | Se k è pari allora
  j^(2k)  =  1         |  G^(2k)  =  I–P
  j^(2k+1) = j         |  G^(2k+1) = G        
 Se k è dispari allora | Se k è dispari allora
  j^(2k)  =  –1        |  G^(2k) =   –(I–P)
  j^(2k+1) = –j        |  G^(2k+1) =  –G
Dall'analogia è esclusa la potenza con esponente 0 (dato che G^0 = I).
In sostanza succede che la prima volta che si moltiplica v per G si ottiene un vettore ortogonale ad n. Continuando a moltiplicare per G si ottiene un vettore sempre dello stesso modulo e nella giacitura ortogonale ad n, ma girato in questa (ad ogni prodotto) di un angolo retto rispetto al precedente. La stessa cosa fa il fattore j nel piano di Gauß in cui un vettore di componenti x ed y è associato al numero complesso x+jy.
Infatti j(x+jy) = –y + jx. Quindi la coppia (x, y) è trasformata da j nella coppia (–y, x) ... ed il prodotto scalare dei corrispondenti vettori associati viene –xy + yx = 0]

Ciao, ciao a tutti
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 03-06-11 12:46. Motivo: Piccole correzioni.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-06-11, 09:00   #4
nino280
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Predefinito Re: Isometrie (o congruenze)

http://www.extramuseum.it/giosci/mod...php?storyid=36

Mi dicevi del moderatore che dovrebbe intervenire se facciamo casino? Ebbene in questo momento non mi vengono mente parolacce tanto brutte da far si che intervenga
E pensare che riguardo a questo argomento sulle simmetrie lui ha scritto un libro e vinto il premio Peano qualche annetto fà, e se non interviene lui.
Comunque se non possiamo sentirlo, possiamo almeno vederlo nel link di sopra, anche se, anche in quell'occasione non disse niente.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-06-11, 22:16   #5
nino280
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Predefinito Re: Isometrie (o congruenze)

Mi ricordo di un bel libro letto qualche anno addietro tutto interamente dedicato alle simmetrie, credo di averlo allora già segnalato mi pare nella sezione "libri e recensioni", che purtroppo non ho più con me (era della biblioteca) e che risegnalo qui nei Rudi:
http://www.liberolibro.it/marcus-du-...dine-perfetto/

Comunque mi pare di ricordare che qui si era riparlato di simmetrie qualche tempo fa e le simmetrie portavano poi al "Mostro" :

Ci vorrebbe il genio di Cecil DeMille o di George Lucas per realizzare un Kolossal, tipo I dieci comandamenti o Guerre Stellari, dedicato al mondo fantastico delle simmetrie e dei suoi romantici, avventurosi protagonisti. Il libro arriva infine alle scoperte più attuali, a un mondo magico e fantastico, protagonista del quale è uno dei matematici più simpatici e originali, John Conway. E’ il padre dei numeri surreali, un nuovo insieme di numeri che ha scoperto in un periodo della sua vita in cui passava le giornate giocando a GO, un antichissimo gioco di scacchiera cinese. Noi lo conosciamo innanzitutto per Il gioco della vita, il più bel gioco inventato nel ventesimo secolo. E’ uno dei padri del grande Atlante delle simmetrie ed è lui che rivela a Du Sautoy il “Mostro”, Monster Moonshine, lasciandolo stupefatto: un oggetto che vive in uno spazio di 196.883 dimensioni e che possiede 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961. il numero è attaccato
710.757.005.754.368.000.000.000 simmetrie. Pazzesco! Solo i matematici, con l’aiuto del computer, riescono ad avere qualche idea di questo spazio.

Ultima modifica di nino280 : 04-06-11 22:34.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-06-11, 10:58   #6
Epoch
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Predefinito Re: Isometrie (o congruenze)

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
E’ uno dei padri del grande Atlante delle simmetrie ed è lui che rivela a Du Sautoy il “Mostro”, Monster Moonshine, lasciandolo stupefatto: un oggetto che vive in uno spazio di 196.883 dimensioni e che possiede
808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.
710.757.005.754.368.000.000.000
simmetrie.
Pazzesco! Solo i matematici, con l’aiuto del computer, riescono ad avere qualche idea di questo spazio.
Azzo però, così spaventa davvero.
Non so nemmeno come leggerlo.
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...Bisogna andare in alto per capire il trucco, che la terra non è piatta non è al centro di tutto, salire, ancor più in alto per vedere che il mondo, sta in una goccia del mare più profondo...
Epoch non in linea   Rispondi citando
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Vecchio 06-06-11, 18:10   #7
Erasmus
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Predefinito Re: Isometrie (o congruenze)

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
http://www.extramuseum.it/giosci/mod...php?storyid=36

Mi dicevi del moderatore che dovrebbe intervenire se facciamo casino? Ebbene in questo momento non mi vengono in mente parolacce tanto brutte da far sì che intervenga
E pensare che a riguardo di questo argomento (sulle simmetrie) lui ha scritto un libro e vinto il premio Peano qualche annetto fa, e se non interviene lui ...
Comunque se non possiamo sentirlo, possiamo almeno vederlo nel link di sopra, anche se, pure in quell'occasione non disse niente.
O hai sbagliato link o ... qualcos'altro (magari nel mio vetusto encefalo) non funziona!
Dove manda il link, il nostro (Piotr Silverbrahms) non l'ho trovato.
--------------------
In compenso ce lo troviamo tra i piedi (*) ogni mese per il fatto che ci ha abbonati alla rivista (si fa per dire)(*) "Rudi Mathematici", giunta adesso (giugno 2011) al Nr. 149.
=> Rudi Mathematici, Numero 149 – Giugno 2011
E il logorroico sarebbe Erasmus ?
Ma come fa l'Illustrissimo (che non si degna di leggere più di mezza pagina dei papiri erasmiani)?
Ci scommetto ... che lo sfoglia leggendo qualche titolo soltanto!

Ma non ha mica tutti i torti. Leggere 'sto delirio è stressante (*), altro che Matematica Ricreativa !

Mi fa venire in mente quel turista che non riesce mai ad arrivare al museo della città di cui è in visita perché ad ogni traversa del percorso che conduce là ... «andiamo a vedere che ci sta da 'sta parte» – si dice –. E così non se la cava più!
Ogni volta fa il pieno di informazioni da poco (che poi regolarmente dimentica) ...
E rischia di perdere il clou della visita turistica!

Veniamo per esempio a questo "Numero 149".
L'e.mail che ce l'annuncia (chilometrica!) ... uno s'aspetta che consista in una specie di sommario (content) dei contenuti di questo numero.
Dopo una sbrodola noiosa (*) sul potere o meno di far intervenire gli dèi della pioggia, di ridurre drasticamente l'ordine di grandezza della velocità della luce nonché aumentare ancor più drasticamente il valore della costante di Planck, ... toh che c'è subito la traversa in cui deviare il percorso: 149 è un numero primo.
E giù per ognuno dei vicoli accessibili da questa prima traversa!
• 149 è un primo "gemello" (di 151);
• 149 è un "primo forte", un "primo di Chen" ed un "primo di Eisenstein" ( e che me sta a significa'? )
• 149 non è palindromo in alcuna base (da 2 a 147 compresi, of course).

Nino280: mi sa che quel trio di "paragnosti"(*) sta solfa barbosa(*) la scrive per gente ...anomala come te (*) che si bea delle varie etichette da dare a certe categorie di numeri interi.

Eeehh ... Ke du Bal! (*)

E il gusto narcisiaco di essere ... saputoni raffinati(*) ?
Vedi a pagina 4:
« Kαὶ ἄφες ἡμῖν τὰ ὀφειλήματα ἡμῶν,
ὡς καὶ ἡμεῖς ἀφήκαμεν τοῖς ὀφειλέταις ἡμῶν. »
???
T'è capì, Nino?

Quando uno non capisce perché non vuol capire, gli si urla dietro:
« Ohè, sveglia! Parlo greco, per caso?»

Beh: loro (i tre Rudi, furbastri(*)), se la cavano con le coordinate (Mat. 6-12).
Insomma: fanno sfoggio di erudizione citando un brano in originale greco di circa 2000 anni fa. Ma mica occorre sapere davvero il greco antico: basta fare un copia\incolla del versetto 6-12 del Vangelo secondo Matteo in greco (κατα Mατϑαιὀν, 6-12) e andar a vedere che ci sta scritto al versetto 6-12 della versione italiana.

Voglio anch'io fare lo snob, anche più dei "rozzi"(*) Rudi.
Codice:
 
 Et  dimìtte   nobis          dèbita        nostra  sicut     et      nos      dimìittimus             debitòribus   nostris
Kαὶ  ἄφες    ἡμῖν τὰ ὀφειλήματα  ἡμῶν    ὡς     καὶ   ἡμεῖς    ἀφήκαμεν    τοῖς  ὀφειλέταις  ἡμῶν 
 E   rimetti  a noi    i       debiti        di noi   come  anche   noi     [li] rimettiamo   ai       debitori      di noi
Ciao ciao
-------------------------
P.S.
Mi stavo dimenticando della stelletta tra parentesi (*) più volte intercalata sopra.
Vi chiedete che sta a significare?
Accidenti: non s'è capito?
Si proponeva di fare casino, magari litigando un po' (scadendo negli insulti e nelle parolacce), per indurre 'sto moderatore un po' troppo latitante ad intervenire a "moderare".
Dopo ... dialettico tergiversare, mi son permesso 'sto linguaggio: ricco di forzata detrazione ma decisamente "artificiale".

Son partito col ferreo proposito di insultare il moderatore e il mio interlocutore Nino280.
Non vi dico gli insulti e il turpiloquio che avevo scritto! Cose turche!

Ma poi ... ho pensato: «Mentre Piotr continua a "latitare", qua interviene un superrmoderatore zelante come quel mideratore là che so io [de "Il Bar dell'Osservatorio"] ... e te salüdi la me patecipasiùn al Celestis

Allora ... vai col "Fai da te!"
Mi son dovuto "moderare" (cancellando insulti e turpiloquio).
Non proprio del tutto, dai!
[La paura fa 90 ... % della auto-moderazione in questo messaggio)]

PIOOOOTR: SE CI SEI BATTI UN COLPO !
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Ultima modifica di Erasmus : 06-06-11 19:12.
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Vecchio 07-06-11, 08:50   #8
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Predefinito Re: Isometrie (o congruenze)

E io che credevo che il Moderatore dei Rudi fosse il nostro Professore Latino...
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...Bisogna andare in alto per capire il trucco, che la terra non è piatta non è al centro di tutto, salire, ancor più in alto per vedere che il mondo, sta in una goccia del mare più profondo...
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Vecchio 07-06-11, 11:26   #9
Erasmus
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Predefinito Re: Isometrie (o congruenze)

Quote:
Epoch Visualizza il messaggio
E io che credevo che il Moderatore dei Rudi fosse il nostro Professore Latino...

Latino???
Nostro ???
E chi sarebbe 'sto Professore Latino?
Qua ce n'è uno ... che non ti posso precisare meglio per assunti impegni di risrvatezza (detta volgarmente "pràivasi" in Italia e "prìvasi" in Inghilterra).

Non so quanto abbia di "latino". Senz'altro ha qualcosa di molto tipico della città di sua residenza.
Ma questa città ... – diceva il mio capo che era bolognese – manteneva lo spirito "levantino" dei suoi fondatori ... parenti stretti dei più acerrimi nemici dei latini, anche se il nome della città fa pensare ad altri fondatori ancor più alacri nel fondare colonie ...
[Chi siano stati i più acerrimi nemici dei latini lo sanno tutti].

Bye, bye
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Vecchio 07-06-11, 13:16   #10
Epoch
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Predefinito Re: Isometrie (o congruenze)

dal nome latineggiante va meglio?

P.S.
non scerzo più perchè tutte le volte si altera...
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...Bisogna andare in alto per capire il trucco, che la terra non è piatta non è al centro di tutto, salire, ancor più in alto per vedere che il mondo, sta in una goccia del mare più profondo...
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