Qualche quiz

[Erasmus]

Riprendo...
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a)
1. c = 3?
1/a +1/b = 1/2 – 1/3 = 1/6 = 1/12 + 1/12; OK (a=b = 12; c = 3) UNO
1/a +1/b = 1/6 = 3/18 = 1/18 + 1/9. OK (a = 18; b = 9; c = 3) DUE
1/a +1/b = 1/6 = 4/24 = 1/24 + 1/8. OK (a = 24; b = 8; c = 3) TRE
1/a +1/b = 1/6 = 5/30 =1/30 + 2/15 NO
Stop perché non ci sarebbero più due spigoli maggiori di 6

b)
3, 3 ––> 1/2 – (1/3 +1/3) = 1/2 – 2/3 = – 1/6 NO
3, 4 ––> 1/2 – (1/3 + 1/4) = (6–4–3)/12 = –1/12 NO
3, 5 ––> 1/2 –(1/3 +1/5) = (15–10–6)/30 = –1/30 NO
3, 6 ––> 1/2 – (1/3 + 1/6) = (3–2–1)/6 = 0 NO
4, 5 ––> 1/2 –(1/4 + 1/5) = (10 –5 – 4)/20 = 1/20 OK (a=20; b = 5; c = 4) QUATTRO
4, 6 ––> 1/2 –(1/4 + 1/6) = (6 –3 – 2)/12 = 1/12 OK (a=12; b = 6; c = 4) CINQUE
5, 6 ––> 1/2 –(1/5 + 1/6) = (15 –6 – 5)/30 = 2/15 NO
6, 6 ––> 1/2 –(1/6 + 1/6) = (3–1–1)/6 = 1/6 OK (a= b = c = 6) SEI

Allora: sono 6 in tutto.
12, 12, 3
18, 9, 3
24, 8, 3
20, 5, 4
12, 6, 4
6, 6, 6

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I fattori primi in gioco sono 2, 3 e 5.
Vedo anche che lo spigolo massimo è sempre il minimo comune multiplo.

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aspesi

[...]
Aspetto il risultato e la sua giustificazione algebrica

Cosa intendi per "giustificazione algebrica"?

Ciao, ciao
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[aspesi]

Erasmus

Allora: sono 6 in tutto.
12, 12, 3
18, 9, 3
24, 8, 3
20, 5, 4
12, 6, 4
6, 6, 6

No
Ne hai dimenticati quattro.

Erasmus

Cosa intendi per "giustificazione algebrica"?

Ciao, ciao
--------

Supponiamo che a sia la dimensione più piccola (che abbiamo visto non può superare 6).

Esplicitiamo b e consideriamo a costante:

2ab + 2bc + 2ac = abc
b(ac-2a-2c) = 2ac
b = 2ac/[c(a-2)-2a]

Esaminiamo i 6 casi possibili:

a = 1
b = 2c/(-c-2) valori negativi

a = 2
b = 4c/(-4) valori negativi

a = 3
b = 6c/(c-6) = 6 + 36/(c-6)
* c-6 = 1 ------> a = 3 ; b = 42 ; c = 7
* c-6 = 2 ------> a = 3 ; b = 24 ; c = 8
* c-6 = 3 ------> a = 3 ; b = 18 ; c = 9
* c-6 = 4 ------> a = 3 ; b = 15 ; c = 10
* c-6 = 6 ------> a = 3 ; b = 12 ; c = 12
ci si può fermare, perché c ha raggiunto b e continuando si trovano risultati simmetrici

a = 4
b = 8c/(2c-8) = 4 + 16/(c-4)
* c-4 = 1 ------> a = 4 ; b = 20 ; c = 5
* c-4 = 2 ------> a = 4 ; b = 12 ; c = 6
* c-4 = 4 ------> a = 4 ; b = 8 ; c = 8

a = 5
b = 10c/(3c-10)
* 3c-10 = 2 ------> a = 5 ; b = 20 ; c = 4 già visto
* 3c-10 = 5 ------> a = 5 ; b = 10 ; c = 5
* 3c-10 = 10 ------> a = 5 ; b = 5 , c = 10 come il precedente

a = 6
b = 12c/(4c-12) = 3 + 9/(c-3)
* c-3 = 1 ------> a = 6 ; b = 12 ; c = 4 già visto
* c-3 = 3 ------> a = 6 ; b = 6 ; c = 6

In conclusione, ci sono 10 casi:
.. a .......... b .......... c ..............V=S
----- ..... ----- ...... ----- ......... -------
.. 3 ......... 7 ......... 42 ............. 882
.. 3 ......... 8.......... 24 ............. 576
.. 3 ......... 9 ......... 18 ............. 486
.. 3 ........ 10 .........15 ............. 450
.. 3 .........12......... 12 ............. 432
.. 4 ......... 5 ......... 20 ............. 400
.. 4 ......... 6 ......... 12 ............. 288
.. 4 ......... 8 .......... 8 .............. 256
.. 5 ......... 5 ......... 10 ............. 250
.. 6 ......... 6 .......... 6 .............. 216


Nino

[Erasmus]

aspesi

No Ne hai dimenticati quattro.

In quale punto li ho persi per strada?
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Amen!
Ormai ... sono quasi al capolinea!
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Ciao ciao

[Erasmus]

Ho capito dove mi sono perso le terne.

a) Tra i casi con uno spigolo 3 e due spigoli maggiori di 6 ho saltato di vedere se andava bene b = 7 ... o anche di più ... sbaglando i conti (quando ho detto "stop perché con c=3 e b da 7 in su il terzo spigolo sarebbe non maggiore di 6 ").
1/a + 1/b = 1/2 – 1/3 = 1/6 = 7/42 = 1/42 + 1/7 OK (a= 42; b = 7; c = 3)
1/a + 1/b = 1/2 – 1/3 = 1/6 = 5/30 = 2/30 + 3/30 = 1/15 + 1/10 OK (a=15: b = 10; c = 3)
NB: bisogna provare frazione del tipo m/(6*m) con m da 1 in su.

Ne ho ricupertato due !

b) Ho anche dimenticato di controllare i casi, sempre con due spigoli maggiori di 6, ma con uno spigolo 4 o 5 invece di 3.
Così non ho beccato la terna 8, 8, 4 che veniva facile facile:
1/a + 1/b = 1/2 – 1/4 = 1/4 = 2/8 = 1/8+ 1/8. OK (a= 8; b = 8; c = 4).
E dire che questa l'avevo già considerata in precdenza!

[Recuperate 3 terne]

c) Nell'esame dei casi con un solo spigolo maggiore di 6 ho saltato le coppie:
4, 4
5, 5.
Senza questa omissione:
––> 1/a = 1/2 – (1/4 + 1/4) = 0; NO
1/a = 1/2 – (1/5 +1/5) = (5 – 4)/10 = 1/10 ; OK (a =10; b = 5; c = 5).
[Recuperate 4 terne]

I conti tornano: 10 terne in tutto.

Ciao ciao
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[Erasmus]

Erasmus

I fattori primi in gioco sono 2, 3 e 5.
Vedo anche che lo spigolo massimo è sempre il minimo comune multiplo.

Frasi sbagliate!
Proprio le due terne da me omesse nel gruppo con uno spigolo 3 non soddisfano entrambe le affermazioni: la [3, 7, 42] fa eccezione alla prima affermazione (col fattore primo 7) e la [3, 10, 15] fa eccezione alla seconda (con minimo comune multiplo 30).
Rimetto la lista col grassetto sulle eccezioni a quelle affermazioni.
3, 7, 42 (fattori primi: in questa 2, 3 e 7; in tutte le altre fattori primi minori di 7).
3, 8, 24
3, 9, 18
3, 10, 15 (Minimo comune multiplo 30; in tutte le altre m.c.m = numero maggiore)
3, 12, 12
4, 5, 20
4, 6, 12
4, 8, 8
5, 5, 10
6, 6, 6

Ciao ciao
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P.S.
La più notevole mi sembra la [4, 8, 8], con l'unico fattore primo 2.
Area totale = Volume = 256, ossia 16^2 = 4^4 , numero che si può rappresentare anche così:
[2^(2^2)]^2 = (2^2)^(2^2)
Ci scommetto che piacerà a Nino I

[Erasmus]

Nuovo quiz (facile facile):
Dato un rettangolo [non quadrato, cioè con i lati non uguali], in quanti modi lo si può suddividere in 36 rettangoli uguali?
E in 1155?
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[Erasmus]

Erasmus

Nuovo quiz (facile facile)
[...]
E in 1155?

Una volta ho 'postato' il quiz che chiedeva quante sono le terne pitagoriche primitive con un dato cateto dispari, diciamolo lungo Cd = 2n+1,
Naturalmente ... non l'ha ****** nessuno!

Guarda caso, la risposta (facile facile) a questo quiz assomiglia alla risposta a quello là!

Comunque, le terne pitagoriche primitive in cui il "cateto dispari" vale 1155 sono tutte e soltanto queste:

1) [1155, 667012, 667013]
2) [1155, 74108, 74117]
3) [1155, 26668, 26693]
4) [1155, 13588, 13637]
5) [1155, 5452, 5573]
6) [1155, 2852, 3077]
7) [1155, 1292, 1733]
8) [1155, 68, 1157]

Capita la somiglianza?

Quanti saranno, allora, i modi in cui un rettangolo (non quadrato) è suddivisibile in 1155 rettangoli uguali?

[Come diceva aspesi, se non frega a nessuno ... pazienza ]

[nino280]

Tiro a indovinare:
per 36 = 3
esattamente 9x4 ; 12x3 ; 18x2
Ciao

[aspesi]

Erasmus

Nuovo quiz (facile facile):
Dato un rettangolo [non quadrato, cioè con i lati non uguali], in quanti modi lo si può suddividere in 36 rettangoli uguali?
E in 1155?
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Sono in montagna solo.
Non ho l'adsl e la chiavetta prende malissimo.
Devo ancora pulire i porcini che ho trovato oggi (ottima raccolta! )
Ho appena finito di cenare e sto iniziando a lavare i piatti...

Allora, di corsa... scusa se sto prendendo una cappella...

Fattorizzazione?
Se a sono i fattori tutti diversi (escluso il numero 1), b i fattori co esponente maggiore di 1, c i fattori con esponente maggiore di 2, ...

Modi di suddivisione di un rettangolo = 2^a * 3/2^b * 4/3^c * ....

Es.: 36 = 2^2*3^2
= 2^2*3/2^2 = 9
1*36
2*18
3*12
4*9
6*6
9*4
12*3
18*2
36*1
(Mi accorgo però che tu hai detto di tener conto solo dei rettangoli e qui c'è anche il quadrato 6*6... Boh...)

1155 = 3*5*7*11
Qui dovrebbe essere 2^4 = 16

A domani sera
Ciao
Nino

[Erasmus]

Erasmus

1) [1155, 667012, 667013]
2) [1155, 74108, 74117]
3) [1155, 26668, 26693]
4) [1155, 13588, 13637]
5) [1155, 5452, 5573]
6) [1155, 2852, 3077]
7) [1155, 1292, 1733]
8) [1155, 68, 1157]

Non c'entra niente ... ma è notevole: quando il cateto dispari finisce con 5, il cateto pari finisce con 2 o con 8 e l'ipotenusa finisce con 3 o con 7.

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