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Vecchio 24-07-10, 19:12   #1
Rob77
 
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Predefinito Coordinate Polari - Integrazione

Avrei la seguente domanda.
Com'è dimostrabile, se lo fosse, che il perimetro di una circonferenza di raggio R è pari all'integrale tra 0 e 2pi di f(alpha, r)=R ovvero la circonferenza in coordinate polari.

Grazie
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Vecchio 24-07-10, 19:18   #2
Rob77
 
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Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Mi spiego solo meglio: nel caso della circonferenza è proprio così.
La mia domanda è: è un caso particolare che vale solo per la circonferenza o il perimetro posso ottenerlo (ad esempio per l'ellisse) come f(alpha, r) integrata tra 0 e 2pi?
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Vecchio 24-07-10, 22:59   #3
Luciano Monti
Utente Senior
 
Data di registrazione: Apr 2007
Ubicazione: Milano
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Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Nel caso della circonferenza, la lunghezza di un elemento infinitesimo dl della circonferenza stessa e':

dl = R * dtheta

Come vedi, non dipende da theta. La lunghezza totale della circonferenza si ottiene integrando nell'intervallo compreso tra 0 e 2pi:

l = integrale(0, 2pi, R * dtheta)

Poiche' R e' costante, puoi portarlo fuori dal segno di integrazione, e ti resta:

l = R*integrale(0, 2pi, dtheta)=R*2pi

che e' proprio la forma che conosci. Scusa l'orribile formattazione, sono sicuro che qualcuno sapra' spiegarsi meglio.

Il caso dell'ellisse, invece, e' concettualmente simile ma nella pratica ha un esito diverso. Se scrivi l'equazione parametrica e calcoli la lunghezza dl, scoprirai che poi non riesci a calcolare esplicitamente l'integrale, ma sei costretto a fare ricorso ai cosidetti "integrali ellittici". Cerca tra i vecchi post una discussione che avevo iniziato proprio io sulla "lunghezza di un arco di sinusoide", alla quale Erasmus aveva risposto alla grande...

Ciao,
Luciano
Luciano Monti non in linea   Rispondi citando
Vecchio 24-07-10, 23:23   #4
Rob77
 
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Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

No è chiarissimo, grazie.
Quindi è valido dire che la lunghezza di un arco di una curva è pari all'integrale tra alfa0 e alfa1 della funzione polare della curva stessa, giusto?
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Vecchio 26-07-10, 05:09   #5
Erasmus
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Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

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No è chiarissimo, grazie.
Quindi è valido dire che la lunghezza di un arco di una curva è pari all'integrale tra alfa0 e alfa1 della funzione polare della curva stessa, giusto?
Occhio:
a) Se esprimi il raggio-distanza (di un punto P della curva dal punto O di origine) in funzione dell'anomalia, diciamolo r(α), ed integri in dα, non ottieni la lunghezza s della curva.
Immagina due punti P e Q molto prossimi. L'archetto che li congiunge lo puoi assimilare ad un segmentino PQ (approssimando così la curva con una spezzata di segmenti infinitesimi). La lunghezza di PQ – diciamola ds = |PQ| – non è
r(α)·dα.
Devi immaginare un triangolino rettangolo di ipotenusa PQ e cateti uno in direzione del raggio-polare r(α) e l'altro perpendicolare.
Il primo è lungo rQ– rP = dr = (dr/dα)·dα (dove dr/dα è la derivata di r(α) rispetto ad α) l'altro è lungo r(α)·dα (come sarebbe se la curva fosse un cerchio con il centro nell'origine O e raggio pari ad |OP|).
Con Pitagora hai allora
ds = √[dr^2 + (r·dα)^2] = √[(dr/dα)^2 + r(α)^2]·dα.

Per semplicità di notazione, diciamo r la funzione dell'anomalia α che dà la posizione di un punto P della curva rispetto all'origine O ed r' la sua derivata rispetto ad α.
La lunghezza del tratto di curva tra i punti A e B (di anomalie rispettive αA e αB) è allora:
Codice:
  αB
 ∫ √(r'^2 + r^2) · dα
αA
Vedi che se r è costante (ossia: la curva è un cerchio con il centro nell'origine O) , allora r' = 0, la radice si riduce a quella di r^2, cioè ad r, e ti resta da integrare r*dα, con r costante, che quindi puoi portar fuori dall'integrale (come ti ha fatto notare Luciano), ottenendo alla fine
s(B) – s(A) = r · (αB – αA).

Ma se r(α) non è costante ... curva che vai integrale che trovi!
In particolare, per l'ellisse (come ti ha fatto notare sempre Luciano), ottieni un integrale ... difficile che non puoi esprimere con le abituali funzioni. Guarda caso, si chiama proprio "integrale ellittico"! Ossia: una funzione inventata apposta per indicare la lunghezza di un arco di circonferenza di ellisse [propria, ossia con eccentricità maggiore di zero].

Ciao, ciao
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 26-07-10 19:44.
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Vecchio 31-07-10, 06:04   #6
Rob77
 
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Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Esattamente quello che volevo sapere.
Grazie
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Vecchio 02-08-10, 23:32   #7
Erasmus
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Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

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Esattamente quello che volevo sapere.
Grazie
Ma la via migliore per trovare la lunghezza di un arco di ellisse resta quella di esprimere le coordinate cartesiane dell'ellisse come funziioni parametriche di un opportuno angolo ϕ. Precisamente:
x = a·sin(ϕ);
y = b·cos(ϕ).
[NB: a > b > 0].
Queste sono sicuramente equazioni parametriche di un'ellisse di diametro massimo 2a e diametro minimo 2b perché, dividendo la prima per a e la seconda per b, e poi quadrando e sommando, si ottiene:
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1,
(cioè la ben nota equazione cartesiana canonica dell'ellisse ).
Da esse si arriva rapidissimamente ad esprimere la lunghezza d'un arco di ellisse tramite l'integrale ellittico di 2ª specie E (ϑ, k).

L'equazione polare dell'ellisse (con l'origine del riferimento nel centro dell'ellisse e prendendo per anomalia α l'angolo tra l'asse minore e il raggio-distanza r) risulta:
r(α)=b/√[1–(e^2)·sin(α)^2].

Operando come detto, si trova un differenziale ds (funzione di α) ... piuttosto incasinato.
Questo diventa quello d'un integrale ellittico di 2ª specie, ossia proprio:
ds = a·√[1–(e^2)·sin(ϕ)^2]·
con la sostituzione:
α=arctan[(a/b)·tan(ϕ)].

Ho scritto su ciò una pagina apposta per te, Rob77.
Mizarino la troverà orripilante. In effetti lo è!
Ma, come esercizio, serve a verificare che, in coordinate polari r(α), il differenziale ds della lunghezza di un arco di curva è effettivamente:
ds = √[(dr/)^2 +r ^2] · .

La pagina ad hoc sta qua:
=> Lunghezza d'un arco di ellisse in coordinate polari.

Ciao, ciao.
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Ultima modifica di Erasmus : 05-08-10 17:37.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 03-08-10, 15:34   #8
Rob77
 
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Grazie mille ancora
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Vecchio 03-08-10, 15:44   #9
Rob77
 
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Predefinito Re: Coordinate Polari - Integrazione

Una precisazione solamente: ds = radq((dx/dfi)^2+(dy/dfi)^2)*dfi l'hai ricavata da pitagora ds = radq(dx^2+dy^2) dividendo e moltiplicando poi per dfi?

PS: Scusa la notazione ma son di frettissima
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Vecchio 03-08-10, 18:43   #10
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Una precisazione solamente: ds = radq((dx/dfi)^2+(dy/dfi)^2)*dfi l'hai ricavata da pitagora ds = radq(dx^2+dy^2) dividendo e moltiplicando poi per dfi?

PS: Scusa la notazione ma son di frettissima
Con dx/ si intende la derivata della funzione x(ϕ).
Idem per y(ϕ) e per qualsiasi altra funzione di una sola variabile.
E' questa la "notazione di Leibnitz" della derivata.
------------------
Ricapitolando:
Siano x ed y le coordinate cartesiane dei punti della curva la lunghezza della quale è data da una ascissa curvilinea s.
Allora dx e dy sono le lunghezze (infinitesime) delle proiezioni ortogonali sugli assi cartesiani d'un tratto di curva di lunghezza (infinitesima) ds. Proprio perché infinitesimo, il trattino di curva lungo ds lo puoi pensare rettilineo.
[Parentesi: Quando spiegavo ai ragazzini di 14 - 15 anni il lavoro di una forza che dipende dal punto al quale è applicata dicevo:
«Suddividiamo il percorso lungo il quale si muove il punto cui la forza è applicata in tratti così corti
a) da poter essere ritenuti rettilinei;
b) che la forza è praticamente la stessa in ognuno dei punti dello stesso trattino».]

Potendo ritenere rettilineo il trattino (infinitesimo) ds, con Pitagora abbiamo:

ds^2 = dx^2 + dy^2 .

Con le "equazioni parametriche" della curva, x ed y sono funzioni di un parametro, diciamolo ϕ.

Per semplicità, indichiamo con x' e y' le derivate di x e di y rispetto a ϕ.

Allora abbiamo (a meno di infinitesimi di ordine superiore):
dx = x'·dϕ;
dy = y'·dϕ.

Con ciò risulta:
ds^2 = (x'·dϕ)^2 + (y'·dϕ)^2 =(x'^2 + y'^2)·^2.

In definitiva:
ds= √(x'^2 + y'^2) · .

Ciao ciao.
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Ultima modifica di Erasmus : 03-08-10 20:49.
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