Easy quiz(zes): but mathematical!

[nino280]

Hai ragione nel postare devo aver combinato qualche guaio.
Cerco di mettere ordine.
Ciao

[nino280]

Ecco ho messo a posto.
Ora funziona perfettamente.
Avevo preso punti sbagliati per il movimento
Praticamente la verifica va fatta R2 + R3 deve essere = a R1
Ed in questo caso è giusto.
Ciao
E dovrei aver messo a posto anche il cliccabile.

Il disegno in se, è sempre stato corretto, quello che avevo sbagliato era la quotatura.

https://www.geogebra.org/m/g7jbrfeb

[aspesi]

nino280

Ecco ho messo a posto.

Stesso discorso di prima.
I segmenti lunghi 4 e 2 devono andare dal cerchio che ha r4 fino ai centri dei cerchi che hanno r2 e r3

[nino280]

Sì. Hai di nuovo ragione tu.
La soluzione è unica.
Io ero partito da un raggio qualsiasi che era il 4
Poi dall'estremo suo sinistro staccavo un segmento da 4 e da destra uno da 2
E da lì andavo a metterci le altre 3 monete o circonferenza.
Ma è soltanto un caso in cui i punti che staccavo da 4 e da 2, sono gli stessi punti dei centri della 2 e della 3.
Bon, niente male, ho soltanto fatto del lavoro in più del richiesto, ma che poi in definitiva il sistema usato mi dava comunque la soluzione giusta cercata.
Ciao

[Erasmus]

aspesi

Questo è facile se si ricorda il teorema della potenza di un punto esterno ad un cerchio rispetto a quel cerchio
«Sia P un punto esterno al cerchio Gamma di centro C e raggio r.
Sia d la distanza di P dal centro C di Gamma, sia cioè d = PC.
Da P si tracci una semiretta s che intersechi Gamma e siano A e B i punti di intersezione.
Si dimostra facilmente che il prodotto
PA·PB
(detto "potenza di P rispetto al cerchio Gamma")
non dipende dall'inclinazione della secante s sulla retta per P e per il centro C di Gamma.
Quando la secante passa per il centro di Gamma si ha
PA·PB = (p – r)·(p + r) = p^2 – r^2.
Alla massima inclinazione della secamte su PC, la secante diventa tangente al cerchio Gamma in un punto T e allora
PT^2 = p^2 – r^2.

Venendo al quiz, se si indica con a ila lunghezza del tratto BC e con b la comune lunghezza deri tratti AB e TC, per il menzionato teorema della potenza troviamo:
a(a + b) = b^2 ==> a = {[√(5) – 1]/2 }·b <==> b = {[√(5) + 1]/2 }·a.
Tenendo conto di ciò si ha allora:
(S + S')/S = (a + b)/b = [(b^2)/a]/b = b/a ==> S/S' = (√(5) + 1)/2 ≈ 1,61803399.
––––––

[aspesi]

Una carovana attraversa un deserto utilizzando questa tabella di marcia:
Il primo giorno copre 1/10 dell’intero viaggio.
Il secondo giorno, copre un tratto equivalente ai 2/3 della strada già percorsa il giorno prima.
Continua poi in questo modo, alternando giorni nei quali percorre 1/10 della strada che ancora rimane da fare, a giorni dove percorre i 2/3 di tutto il tragitto già coperto nei giorni precedenti.

Alla fine del settimo giorno, si scopre che le restano da fare ancora Km. 22,5.

Quanto è lungo l’intero viaggio ?

[Erasmus]

aspesi

astromauh

I disegni se non sono pasticciati non ti piacciono!

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Salvo eventuali "errori di sbaglio" risulta:
r1 = 14;
r2 = 6;
r3 = 8:
r4 = 10.
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Oltre a scrivere due banali equazioni lineari, ho applicato 2 volte quel teorema di Euclide che, ridotto in forma metrica, dice che iin ogni triangolo rettangolo il quadrato dell'altezza relativa all'ipotenusa è uguale al prodotto delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Le equazioni lineari sono:

1)       2r1 = 2r2 + 2r3  ==>  r2 + r3 = r1;
2)       4 + r3 + r2 + 2 = 2r4 ==> 2r4 = r2 + r3 + 6.

Da queste, siccome r2 + r3 = r1, viene
2r4 = r1 + 6. (*)
Notare che il cerchio di raggio r4 taglia a metà le circonferenze dei cerchi di rsggio r2 ed r3. Ecco allora applicabile quel teorema di Euclide che ho menzionato.

3)       4·(2r4 – 4) = r3^2 ==> r3 = √[4·(2r4 – 4)];
4)       2·(2r4 – 2) = r2^2 ==> r2 = √[2·(2r4 – 2)].

Sostituendo in 3) e in 4) 2r4 con r1+6 le 3) e 4) diventano
r3 = √[4(r1 + 2)];
r2 = √[2(r1 + 4)].
Sommando membro a membro e mettendo poi in conto la 1) si ha la seguente equazione in r1:
r1 = √[2(r1 + 4)] + √[4(r1 + 2)]. (**)
Si può verificare subito che questa equazione è risolta da r1 = 14. Infatti
√[2(14+4)] + √[4(14 + 2)] = √(2·18)+ √(4·16) = √(36) + √(64) = 6 + 8 = 14.
Ma è interessante risolverla con una doppia quadratura trovando che le soluzioni algebriche sono 4 di cui due sono la soluzione doppia r1 = 0, una terza è r1 = 14 ed una quarta è r1 = –2; e quindi geometricamente accettabile è solo r1 = 14.
Con una prima quadratura (ponendo per comodità x al posto di r1) la (**) diventa:
x^2 = 6x + 16 + 4√[2(x+4)(x+2)] = 4√(2x^2 + 12x + 16).
Con una seconda quadratura dopo aver isolato il radicale si trova:
(x^2 – 6x – 16)^2 = 32x^2 +192x + 256 <==>
<==> x^4 –12x^3 +4x^2 + 192x + 256 = 32x^2 +192x + 256 <==>
<==> x^4 –12x^3 – 28x^2 = 0.
Ecco allora la soluzione doppia x=0.
Per x ≠ 0 si può dividere entrambi i membri per x^2 trovando l'equazione di 2° grado:
x^2 – 12x – 28 = 0 <==> x^2 –2·x·6 + 6^2 = 36 + 28 <==> (x –6)^2 = 64 <==>
<==> x = 6 ± 8 <==>x = 14 oppure x = –2.
Ovviamente è geometricamente accrttabile solo x = 14.
Tornando da x ad r1, per r1 = 14 risulta:
r2 = √[2(14 + 4)] = √(2·18) = √(36) = 6;
r3 = √[4(14 + 2)] = √(4·16) = √(64) = 8;
r4 = (14 + 6)/2 = 20/2 = 10.
–––––––-
Mi pare che "errori di sbaglioi" non ce ne siano.
–––

[nino280]

aspesi

Una carovana attraversa un deserto utilizzando questa tabella di marcia:
Il primo giorno copre 1/10 dell’intero viaggio.
Il secondo giorno, copre un tratto equivalente ai 2/3 della strada già percorsa il giorno prima.
Continua poi in questo modo, alternando giorni nei quali percorre 1/10 della strada che ancora rimane da fare, a giorni dove percorre i 2/3 di tutto il tragitto già coperto nei giorni precedenti.

Alla fine del settimo giorno, si scopre che le restano da fare ancora Km. 22,5.

Quanto è lungo l’intero viaggio ?

Questo quiz era molto dispendioso per le mie capacità.
Allora ho chiesto aiuto al contadino del 3° piano che lavora i campi.
Si chiama Peppino.
Si perchè nella mia scala ci abita gente in gamba.
Vi ricordate anche i premi Nobel del 7° Terzillo e Pautasso?

Ciao
Peppino mi ha detto che il percorso è 120 km.

[nino280]

Rimetto lo stesso disegno perchè leggermente più chiaro, per via del fatto che mi erano sfuggiti, rimasti, alcuni punti.
Ciao

[aspesi]

nino280

Peppino mi ha detto che il percorso è 120 km.

Peppino ha ragione.
Bravo Peppino