Estrazioni casuali

[Erasmus]

aspesi

[...] Sapete come continua questa successione (1, 6, 27, ...) per 4, 5, 6 dadi (da 6 facce regolari)?:

[Ho corretto "sequenza" con "successione. In italiano un insieme ordinato di interi naturali si chiama "successione" (e con nessun altro sostantivo).
Abbasso la mania di usare parole inglesi o "all'inglese" al posto di parole italiane,
specie quando le parole italiane sono univoche e le parole inglesi o all'inglese" usale in loro sostituzione sono invece plurivoche! ]
–––––––
Quando ero nel secondo anno del corso di laurea in Scienze dell'informazione avrei saputo rispondere.
Ma sono passati 37 anni ... e già allora "giovane" non ero più (per cui già allora la memoria era piuttosto labile)!

Mi par di ricordare che l'intera distribuzione delle frequenze (per n dadi, ossia delle loro uscite da n a 6n, quindi con media aritmetica 7n/2), oltre ad avere un andamento simmetrico rispetto alla media, si ottenesse replicando il "prodotto di convoluzione" tra la dstribuzione precedente (cioè quella con n–1 dadi) e quella di un solo dado (che è ovviamente 1 costante da 1 a 6).
Quello di cui sono ancora sicuro (ossia: che ricordo con certezza) è che, date due funzioni f(x) e g(x) entrambe Laplace-trasformabili, la Laplace-trasformata del loro "prodotto di convoluzione" è il prodotto delle loro Laplace trasformate.

Un'altra cosa che mi par di ricordae è che, se al posto di n dadi – le cui possibili uscite sono un insieme "discreto" e quindi "discreta" è anche la distribzione delle loro frequenze – ci fossero n aggeggi uguali ciascuno dei quali con esito a densità di probabilità uniforme in un certo intervallo finito da h a k > h, il "prododotto di convoluzione" con due di essi (ossia l'andamento della densità di probabilità dell'esito con 2 di tali aggeggi ) viene una rampa in salita da h a k seguita da una rampa simmetrica in discesa da k a 2k – h.
Le successive distribuzioni di densità di probabilità (con 3, 4, ... n di tali aggeggi) sono gli integrali successivi di questa forma triangolare isoscele.
In particolare, la dsitribuzione di densità di probabilità con 3 di tali aggeggi (ad uguale distribuzione uniforme) è costituita da tre tratti parabolici, il terzo simmetrico del primo rispetto alla retta parallela all'asse delle coordinate per il punto di media aritmetica (entrambi con la concavità versio l'alto) ed il secondo con la concavità verso il basso. Ciascuno dei tre tratti ha l'equazione cartesiana di 2° grado.
E così via continuando ad integrare (con l'aumento del numero di tratti e del grado delle rispettive loro funioni polinomiali).

Ne caso di aggeggi a distribuzione di probabilità "discreta" (e quindi di distribuzione "discreta" delle proporzionali frequenze), gli andamenti sono analoghi, ossia quali sarebbero i campionamenti ad intervalli uguali degli andamenti continui di cui ho detto.

Consideriamo infatti gli andamenti delle frequenze con 1, 2 e 3 dadi.

1 dado. Uscite  1    2    3    4    5    6       
      Frequenze  1    1    1    1    1    1
          (Somma delle frequenze = 6)

2 dadi. Uscite   2    3    4    5    6    7   8    9  10  11  12       
      Frequenze  1    2    3    4    5    6   5    4   3   2    1 
           (Somma delle frequenze = 6^2 = 36)

3 dadi. Uscite   3    4    5    6    7   8    9   10  11  12  13  14  15  16  17  18       
      Frequenze 1    3    6    10  15  21  25  27 27  25   21  15  10   6   3.   1
           (Somma delle frequenze = 6^3 = 216)

Che l'andamendo di queste distribuzioni "discrete" sia analogo a quello detto per le distribuzioni di densità di probabilità si riconosce meglio in una figura (nella quale ho rappresentato le distribuzioni di frequenza delle possibili uscite nel lancio di 1,2 e 3 dadi).

–––––
Tornando alla domanda del quiz ... NON SO rispondere!
La distribuzione delle frequenze con 4 dadi è:

 4 dadi Uscite  4    5   6   7    8    9   10   11   12    13    14   15    16   17  18   19   20   21  22  23  24
   Frequenze    1   4  10  20   35  56  80  104  125  140  146  140  125 104  80   56   35  20   10  4   1
                     (Somma delle frequenze = 6^4 =  1296)

I primi 4 termini della richiesta successione sono dunque 1, 6, 27, 146. Ma non so dire come continua.
––––––––-

[aspesi]

Erasmus

I primi 4 termini della richiesta successione sono dunque 1, 6, 27, 146. Ma non so dire come continua.
––––––––-

Bravissimo, il ragionamento mi pare molto lucido e mi piace il tuo approfondimento.

Anch'io ero arrivato a contare solo fino a 4 dadi.
Poi... ho cercato sul WEB

La sequenza di queste ricorrenze centrali è:
1 dado ----> qualsiasi numero ----> 1 frequenza ----> p= 0,16667
2 dadi ----> numero 7 ----> 6 frequenze ----> p= 0,16667
3 dadi ----> numeri 10 e 11 ----> 27 frequenze ----> p= 0,125
4 dadi ----> numero 14 ----> 146 frequenze ----> p= 0,11265
5 dadi ----> numeri 17 e 18 ----> 780 frequenze ----> p= 0,10031
6 dadi ----> numero 21 ----> 4332 frequenze ----> p= 0,09285
(Ved. A018901 https://oeis.org/A018901)

[Erasmus]

Erasmus

[...] Mi par di ricordare che l'intera distribuzione delle frequenze (per n dadi, ossia delle loro uscite da n a 6n, quindi con media aritmetica 7n/2), oltre ad avere un andamento simmetrico rispetto alla media aritmetica, si ottenesse replicando il "prodotto di convoluzione" tra la dstribuzione precedente (cioè quella con n–1 dadi) e quella di un solo dado (che è ovviamente 1 costante da 1 a 6).

Sono andato a cercare (con Google)
"Convoluzione" Wikipedia
––> Convoluzione (Wikipedia.it)ˆ
Là è detto tout-court "Covoluzione" [di due funzioni f(t) e g(t) entranbe integrabili] cio che io e altri (anche nei siti-web di matematica) diciamo "Prodotto di Convoluzione"
Poco dopo della definizione (che mostro in immagine più sotto) leggo:
Se X e Y sono due variabili casuali indipendenti con densità di probabilità f e g rispettivamente,
allora la densità di probabilità della somma X + Y è data dalla convoluzione di f con g.
Ecco la prima parte della voce "Convoluzione" di Wikipedia.it

–––

[aspesi]

A turno due giocatori prendono una delle nove tessere disposte su un tavolo e numerate da 1 a 9. Vince chi per primo raggiunge il valore 15 sommando tre delle sue tessere, non necessariamente le prime.
Quale tessera dovrà prendere il secondo giocatore nella sua prima mossa per cercare di non perdere?

[Erasmus]

aspesi

A turno due giocatori prendono una delle nove tessere disposte su un tavolo e numerate da 1 a 9. Vince chi per primo raggiunge il valore 15 sommando tre delle sue tessere, non necessariamente le prime.
Quale tessera dovrà prendere il secondo giocatore nella sua prima mossa per cercare di non perdere?

Il primo giocatore ha scelto il 5 (perche restano 4 ossibili coppie che gli permetteranno di fare 15, ossia
(1, 9); (2, 8); (3, 7); (4, 6).
Qualsiasi carta scelga il secondo giocatore riduce comununque da 4 a 3 le chance del primo. Penso che anche il secondo scelga la carta che gli lascia il maggior numero di chance, ossia il 2, oppure il 4, oppure il 6 oppure 8. Infatti:
• 2 gli lascia le chance (4, 9) e (6, 8).
• 4 gli lascia le chance (2, 9) e (3, 8).
• 6 gli lascia le chance (1, 8) e (2, 7).
• 8 gli lascia le chance (1, 6) e (3, 4).
Ogni altra scelta gli lascerebbe un numero minore di chance. Infatti:
• 1 gli lascia la sola chance (6, 8);
• 3 gli lascia la sola chance (4, 8);
• 7 gli lascia la sola chance (2, 6);
• 9 gli lascia la sola chance (2, 4).
La domanda «Quale tessera dovrà prendere il secondo giocatore nella sua prima mossa?» secondo me non ha una risposta unica.
Io direi che, se il primo giocatore ha scelto il 5 il secondo giocatore deve prendere unnumero pari. Diversamente contrasterà la scelta del primo giocatore scegliendo un numero tra le coppie complemento a 15 del numero scelto dal proimo giocatore e, possibilmente, tra quelli che gli lasceranno un mumero maggiore di chance.
Di meglio non saprei dire.

A naso, però, direi che se il primo giocatore gioca bene vince senz'altro lui.
Cioè: mi pare che l'avere la prima scelta dia il vantaggio di lasciare un numero maggiore di chance (cioè di coppie a complemento a 15 delle scelte già fatte) del numero di chance dell'avversario.
––––

[aspesi]

Erasmus

Il primo giocatore ha scelto il 5
Io direi che, se il primo giocatore ha scelto il 5 il secondo giocatore deve prendere un numero pari.
––––

Metto la soluzione dell'autore del quiz

Il gioco si può schematizzare utilizzando la seguente tabella 3 x 3 che riporta tutte le terne x, y, z di numeri interi compresi tra 1 e 9 per cui x + y + z = 15. Si tratta di un quadrato magico con costante magica uguale a 15. Se il primo giocatore sceglie un numero pari, ossia uno posto ai vertici del quadrato, per il secondo giocatore è sufficiente scegliere il 5. Il primo giocatore dovrà successivamente muoversi in orizzontale o in verticale e il secondo potrà sempre neutralizzarlo, come nel gioco del tris. Analoga situazione se il primo giocatore sceglie un numero dispari diverso da 5. Se invece il primo giocatore sceglie il 5, per il secondo è sufficiente scegliere un numero pari. Il primo giocatore si dovrà poi muovere in orizzontale, in verticale o lungo una delle due diagonali e il secondo avrà sempre la possibilità di neutralizzarlo.

[Erasmus]

 ____________
|  4  |  3  |  8  |
|  9  |  5  |  1  |
|  2  |  7  |  6  |

Ma .. la frase "il secondo giocatore non perde" significa che vince lui o significa invece che non vince nessuno dei due?

aspesi

[...] se il primo giocatore sceglie un numero pari, ossia uno posto ai vertici del quadrato, per il secondo giocatore è sufficiente scegliere il 5. Il primo giocatore dovrà successivamente muoversi in orizzontale o in verticale [...]

E perché mai "dovrà" muoversi in orozzpntale o in verticale?
A parte la possibilità teorica di muoversi invece in diagonale, potrebbe questa essere una sua mossa strategica ... per mettersi lui a contrastare il progresso dell'avversario verso il "tris"; e intanto tentare di prepararsi l'alibi con cui poi vincere.

Ma può darsi anche che io mi sbagli!

Facciamo così: giochiamo tu ed io e inomincio io!
Prima mossa: io scelo il 4 e allora tu scegli il 5.
Seconda mossa: con tua grande sorpresa io scelgo il 6.
Tu ... ora non hai niente da contastare! Cosa scegli?
Quando lo saprò penserò a cosa scegliere io.
–––––

[aspesi]

Erasmus

 ____________
|  4  |  3  |  8  |
|  9  |  5  |  1  |
|  2  |  7  |  6  |

Ma .. la frase "il secondo giocatore non perde" significa che vince lui o significa invece che non vince nessuno dei due?

Il primo che gioca o vince (se il secondo sbaglia mossa) o pareggia

Erasmus

Facciamo così: giochiamo tu ed io e incomincio io!
Prima mossa: io scelgo il 4 e allora tu scegli il 5.
Seconda mossa: con tua grande sorpresa io scelgo il 6.
Tu ... ora non hai niente da contrastare! Cosa scegli?
Quando lo saprò penserò a cosa scegliere io.
–––––

Devo impedire di crearti il vantaggio sulla riga o sulla colonna del 2 e dell'8.
Quindi gioco ad es, sul 9; tu sei costretto a giocare 1.
Io ovviamente gioco 8 e tu rispondi con 2; Io 7 e tu 3. Pari e patta

[Erasmus]

@ aspesi
OK, hai ragione.
Ma ... proviamo un'altra volta e comincio ancora io.
Questa volta scelgo il 3.
Tu con che numero mi rispondi?
Poi sceglierò di nuovo io...
––––––

[aspesi]

Erasmus

Ma ... proviamo un'altra volta e comincio ancora io.
Questa volta scelgo il 3.
Tu con che numero mi rispondi?
Poi sceglierò di nuovo io...
––––––

Scelgo il 5 e la partita finisce ancora pari