Qualche quiz

[aspesi]

Questo, Erasmus probabilmente non lo sa risolvere...

Preso un triangolo qualunque ABC, individuare il punto P in modo che la somma delle sue distanze dai vertici PA + PB + PC sia minima.

Es. per nino280, sia:
AB = 10 cm
BC = RADQ(250) cm
AC = RADQ(170) cm

La somma delle distanze dei vertici A B C dal punto I (incentro) dovrebbe essere = 22,13621913 cm

Ma questa NON è la distanza minima... (che è un pelino minore)

[nino280]

Interessante.
Ma non si può far nulla se di un problema o Quiz non ci dedichi anima e corpo come si usa dire. Cosa che per il momento non ho fatto.
Lo farò ! !
Ciao

[nino280]

Comunque, almeno 10 minuti li ho dedicati al tuo quiz e al tuo triangolo.
Ma non più di 10 minuti.
Perchè mi sono alzato tardissimo, poi ho visto un pò di televisione sull'Ucraina e poi aprendo il frigo : VUOTO
Devo uscire
Ciao

[aspesi]

nino280

Comunque, almeno 10 minuti li ho dedicati al tuo quiz e al tuo triangolo.
Ma non più di 10 minuti.
Perchè mi sono alzato tardissimo, poi ho visto un pò di televisione sull'Ucraina e poi aprendo il frigo : VUOTO
Devo uscire
Ciao

Ma il problema non è questo.
E' quello di trovare il vero punto dal quale la somma delle 3 distanze dai 3 vertici è minore (di quella dell'incentro e di qualunque altro, baricentro, ecc...).

Un aiutino: questa distanza (che ho calcolato facendo un disegnino a mano con un foglio millimetrato, non so fare meglio...) è circa 22,0267 (però non so quanto questa misura sia precisa).

Un aiutone : da questo punto (chiamiamolo P), si dipartono i 3 segmenti che uniscono i vertici del triangolo, in modo che gli angolo APC = BPC = APB siano di 120 gradi

[nino280]

Ma che il punto non sia questo io l'ho capito perfettamente.
E ho anche scritto che non l'ho affrontato.
Ho detto anche che ho solo verificato quel tuo triangolo che menzionavi, e nulla più.
Ciao

[aspesi]

nino280

Ma che il punto non sia questo io l'ho capito perfettamente.
E ho anche scritto che non l'ho affrontato.
Ho detto anche che ho solo verificato quel tuo triangolo che menzionavi, e nulla più.
Ciao

OK, non avevo capito.
I valori considerando l'incentro sono perfetti, io l'ho calcolato con le coordinate X_i e Y_i che risultano 3,613608255 e 3,346221166 se si considera 0,0 le coordinate del vertice A

[Erasmus]

aspesi

Questo, Erasmus probabilmente non lo sa risolvere... :

Qiesta è una vera ... "perfida" provocazione!

aspesi

Preso un triangolo qualunque ABC, individuare il punto P in modo che la somma delle sue distanze dai vertici PA + PB + PC sia minima. [...]

Ieri avevo scritto molto a proposito di questo quiz. Ma, dovendo sospendere più volte per incombenti altre priorità, per ben due volte ho perso tutto!
Dicevo che si può sempre ricorrere al metodo di annullare le derivate parziali rispetto alle varibili.
Se i vertici A, B e Cdelgtriangolo ABC stanno rispettivamente nei punti di coordinate (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) un piunto P di coordinate (x, y) dista dai vertici rispettivamente
d1 =√[(x–x1)^2 +(y – y1)^2];
d2 =√[(x–x2)^2 +(y – y2)^2];
d3 =√[(x–x3)^2 +(y – y3)^2].
Il punto P con somma delle sue disatanze dai vertici minima sta in (x, y) tali che sia:

 ∂                           x – x1        x – x2       x – x3
––(d1 + d2 + d3) = ––––––  + ––––––  + –––––––        (1)
∂x                             d1             d2            d3

 ∂                           y – y1        y – y2       y – y3
––(d1 + d2 + d3) = ––––––  + ––––––  + –––––––        (2)
∂y                             d1             d2            d3

aspesi mi dirà che non è molto facile risolere questo sistema.
E' vero: ma esaminandone il significto ...si impara parecchio!
Per esempio, si dimostra facilmente che – tranne i triangoli ottusangoli con l'angolo ottuso non minore di 120° – ciascuno dei tre lati deve essere visto da P sotto l'angolo di 120°
[Ma ora non mi dilungo certo a rispiegare la dimostrazione.
Dico solo, a mo' di aiuto, che i tre addendi della (1) possono essere intesi come coseni degli angoli di inclinazione dei segmenti PA, PB e PC sull'asse delle ascissa x; e gli addendi della (2) come seni degli stessi angoli (o come coseni degli angoli di inclinazione di quei segmenti sull'asse delle ordinate y).
Ma – cjhedo ad aspesi – dove starà il punto P – nel caso di un triangolo di lati (7, 8, 13)?
E dove se il triangolo ha i lati (7. 8, 14)?
Se poi, per comodità di scrittura, chiamo (provvisoriamente) x, y e z le distanze del punto dal quale i lati (lunghi a, b e c) sono visti sotto angoli di 120°, queste tre distanze sono le soluzioni del sistema seguente

x^2 + xy + y^2 = c^2;
y^2 è yz + z^2 = a^2
z^2 + zx + x^2 = b^2

Neanche questo sistema è tanto facile!
Ma è abbastanza facile ricavare da esso equzioni in una sola incognita chje andremo popi a risolvere con qualche moderno mezzo di calcolo
––––––––––––––-
Adfesso, per raccogliere la" perfida" provocazione di aspesi, gli mostro una figura che fa vedere come si trova graficmente il punto con somma minima delle distanze dai vertici,

––––––––

[aspesi]

Erasmus

Se i vertici A, B eCdelgtriangoloABC stannorispettivmenteneipuntidicoordibìnate (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) un piunto Pdi coordinate(x,y) dista dai verticirispettivamente
d1 =√[(x–x1)^2 +(y – y1)^2];
d2 =√[(x–x2)^2 +(y – y2)^2];
d3 =√[(x–x3)^2 +(y – y3)^2].
Il punto Pcon somma delle sue disatanze dai vertici minima dta in /x,y)taliche sia:

 ∂                           x – x1        x – x2       x – x3
––(d1 + d2 + d3) = ––––––  + ––––––  + –––––––        (1)
∂x                             d1             d2            d3

 ∂                           y – y1        y – y2       y – y3
––(d1 + d2 + d3) = ––––––  + ––––––  + –––––––        (2)
∂y                             d1             d2            d3

spesi mi dirà che non è molto facile risolvere questo sistema.
E' vero: ma esaminandone il significato ...si impara parecchio!
Per esempio, si dimostra facilmente che –tranne i triangoli ottusangoli con l'angolo ottuso non minore di 120° – ciascuno dei tre lati deve essere visto da P sotto l'angolo di 120°
[Ma ora non mi dilungo certo a rispiegare la dimostrazione.
Dico solo, a mo' di aiuto, che i tre addendi della (1) possono essere intesi come coseni degli angoli di inclinazione dei segmenti PA, PB e PC sull'asse delle ascissa x; e gli addendi della (2) come seni degli stessi angoli (o come coseni degli angoli di inclinazione di quei segmenti sull'asse delle ordinate y.
Ma – chiedo ad aspesi – dove starà il punto P – nel caso di un triangolo di lati (7, 8, 13)?
E dove se il triangolo ha i lati (7. 8, 14)?
Se poi, per comodità di scrittura, chiamo (provvisoriamente) x, y e z le distanze del punto dal quale i lati (lunghi a, b e c) sono visti sotto angoli di 120°, queste tre distanze sono le soluzioni del sistema seguente

x^2 + xy + y^2 = c^2;
y^2 è yz + z^2 = a^2
z^2 + zx + x^2 = b^2

Neanche questo sistema è tanto facile!
Ma è abbastanza facile ricavare da esso equazioni in una sola incognita che andremo popi a risolvere con qualche moderno mezzo di calcolo
––––––––––––––-
Adesso, per raccogliere la" perfida" provocazione di aspesi, gli mostro una figura che fa vedere come si trova graficamente il punto con somma minima delle distanze dai vertici,

––––––––
:

Bravo (anzi, forse, bravissimo! )

Ma mi vuoi prendere in castagna?
Con un triangolo di lati 7, 8 e 13, il punto di minima distanza dai vertici è semplicemente il vertice di congiunzione dei lati 7 e 8 (che forma un angolo di 120°)

Sono buono, non ti faccio perdere tempo con le derivate, questo punto, graficamente, si trova facilmente (più o meno come hai scritto tu): basta costruire un triangolo equilatero su ciascuno dei 3 lati del triangolo di partenza: il punto P, che si chiama di Fermat-Torricelli, esiste se nessuno degli angoli del triangolo supera i 120°, ed è l'intersezione dei segmenti che collegano i vertici del triangolo ABC con quelli dei triangoli equilateri (e anche l'intersezione delle circonferenze circoscritte ai 3 triangoli equilateri)


http://www.unife.it/scienze/matematica/insegnamenti/matematiche-elementari/materiale-didattico/28%20-%20punto%20di%20fermat.pdf

[aspesi]

[Erasmus]

Riprendo il quiz del punto P la somma delle cui distanze dai vertici del triangolo ABC è minima.

aspesi

[...] il punto P, che si chiama di Fermat-Torricelli, esiste se nessuno degli angoli del triangolo supera i 120°, ed è l'intersezione dei segmenti che collegano i vertici del triangolo ABC con quelli dei triangoli equilateri costruiti sui lati di ABC (e anche l'intersezione delle circonferenze circoscritte ai 3 triangoli equilateri).
http://www.unife.it/scienze/matematica/insegnamenti/matematiche-elementari/materiale-didattico/28%20-%20punto%20di%20fermat.pdf

a) Mai sentito nominare prima d'ora questo "punto di Fermat-Torricelli". Grazie per avermelo insegnato! Non si finisce mai di imparare (se non morendo!)
b) Però ... il punto così determinato (come ho fatto anch'io) esiste anche se un angolo del triangolo è maggiore di 120 gradi, nel qual caso è esterno al triangolo; e in tal caso non è più il punto la somma delle cui distanze dai vertici è minima. Ovviamente quest'ultimo punto esiste sempre! Ossia: dati tre punti A, B e C non allineati c'è ed è unico il punto la somma delle cui distnze da A, B e C è minima (ed è complanare con A, B e C). Se il triangolo ABC è ottusangolo con l'angolo ottuso maggiore di 120 gradi il punto i Fermat-Torricelli (trovato come hai detto) è esterno ad ABC mentre il punto la cui somma delle distanze da A, B e C è minima è interno al triangolo ABC.

Sia ABC un triangolo i cui angoli interni sono tutti minori di 120 gradi. I suoi lati abbiano lunghezze:
BC = a; CA = b; AB = c.
Sia P il punto la somma delle cui distanze da A, B e C è minima.
si ponga:
x = PA; y = PB; z = PC.
Sfruttando il fattio che da P ogni lato è visto sotto l'angolo di 120 gradi si ricava (col teorema di Carnot) il seguente sistema: [code]
x^2 + xy + y^2 = c^2; (1)
y^2 + yz + z^2 = a^2; (2)
z^2 + zx + x^2 = b^2. (3)
Da qui è facile ricavare tre equazioni di cui una nella sola incognita x, una nella sola incognita y ed una nella sola incognita z. Infatti:
a) Ricavando y dalla (1) e z dalla (3) e sostituendo nella (2) y e z con le relative espressioni si trova:
v = [√(4c^2 – 3x^2) – x]/2;
z = [√(4b^2 – 3x^2) – x]/2;
[√(4c^2 – 3x^2) – x]^2 + [√(4c^2 – 3x^2) – x]·[√(4b^2 – 3x^2) – x] + [√(4b^2 – 3x^2) – x]^2 = 4a^2. (4)
b) Ricavando z dalla (2) e x dalla (1) e sistutuendo nella (3) e z ed x con le relative espressioni si trova:
z = [√(4a^2 – 3y^2) – y]/2;
x = [√(4c^2 – 3y^2) – y]/2;
[√(4a^2 – 3y^2) – y]^2 + [√(4a^2 – 3y^2) – y]·[√(4c^2 – 3y^2) – y] + [√(4c^2 – 3y^2) – y]^2 = 4b^2. (5)
c) Ricavando x dalla (3) e y dalla (2) e sistutuendo nella (1) e x ed y con le relative espressioni si trova:
x = [√(4b^2 – 3z^2) – z]/2;
y = [√(4a^2 – 3z^2) – z]/2;
[√(4b^2 – 3z^2) – z]^2 + [√(4b^2 – 3z^2) – z]·[√(4a^2 – 3z^2) – z] + [√(4a^2 – 3z^2) – z]^2 = 4c^2. (6)
Risolvendo con Grapher le equazioni (4), (5) e (6) per
a^2 = 100; b^2 = 240; c^2 = 250
ho trovato:
x ≈ 11,945154105395;
y ≈ 5,98505524oo59:
z ≈ 5,559333892535.
E quindi la somma minima delle distanze di P dai vertic è:
x + y + z ≈ 23,489543237989.

@ nino280 e aspesi:
I vostri risultati (entrambi 22 e rotti decimali) sono sbagliati!
–––––