Qualche quiz

[Mizarino]

aspesi

Trovare un numero quadrato che, aumentato o diminuito di 5, dia sempre un numero quadrato.

4
4 - 5 = -1 = i*i

[Erasmus]

aspesi

Volevi scrivere:
(h-k)(h-k+1)/2 = 5q^2

Ho sbagliato io, hai sbagliato anche tu!
Dovevo\dovevi scrivere (h–k)(h+k+1)/2
Ecquequa:
h(h+1)/2 – k(k+1)/2 = [h^2 + h – (k^2 + k)]/2 = [(h^2 – k^2) + (h–k)]/2 = (h–k)[(h+k) + 1]/2.
Per h =24 e k = 15:
24*25/2 – 15*16/2 = 12*25 – 15*8 = 300 – 120 = 180:
(24 – 15)(24 + 15 + 1)/2 = 9*40/2 = 9*20 =180.

Secondo me qua ... la gente spia, tace e ... làtita!

Ciao, ciao.

[aspesi]

Mizarino

4
4 - 5 = -1 = i*i

!!!!!!!
Però... Giovanni da Palermo e Leonardo da Pisa non conoscevano i numeri complessi e l'unità immaginaria...

[Erasmus]

E pensa che sforzo ha fatto Miza che ha scritto:

Mizarino

4
4 - 5 = -1 = i*i
http://www.trekportal.it/coelestis/i...ons/icon10.gif

Diceva, giorni fa, di temere che stesse arrivando l'alzheimer ...
Poveretto: che sia davvero in arrivo (dato che pensa i normali numeri con una cifra negativa ... ma le altre no)?
Beh: speriamo proprio di no. Forse voleva solo avere l'occasione di auto-sfottersi con lo smile conclusivo ...

[aspesi]

Erasmus

Ho sbagliato io, hai sbagliato anche tu!
Dovevo\dovevi scrivere (h–k)(h+k+1)/2
Ecquequa:
h(h+1)/2 – k(k+1)/2 = [h^2 + h – (k^2 + k)]/2 = [(h^2 – k^2) + (h–k)]/2 = (h–k)[(h+k) + 1]/2.
Per h =24 e k = 15:
24*25/2 – 15*16/2 = 12*25 – 15*8 = 300 – 120 = 180:
(24 – 15)(24 + 15 + 1)/2 = 9*40/2 = 9*20 =180.

Secondo me qua ... la gente spia, tace e ... làtita!

Ciao, ciao.

Chissà perché, correggendoti, ho messo un - invece di un +...

E pensare che avevo anche fatto i conti.

[Mizarino]

Erasmus

E pensa che sforzo ha fatto Miza che ha scritto:

Mizarino

4
4 - 5 = -1 = i*i

E allora ?
Io ho risposto alla domanda, nella quale non era specificato doversi trattare di un numero reale. Mica lo so cosa rispose Leonardo da Pisa ... quelli sono fatti suoi ...

E poi, non disprezzare le soluzioni "stupide" ... possono perfino far vincere un Nobel ...

[Erasmus]

Mizarino

E allora ?
Io ho risposto alla domanda, nella quale non era specificato doversi trattare di un numero reale. Mica lo so cosa rispose Leonardo da Pisa ... quelli sono fatti suoi ...

E poi, non disprezzare le soluzioni "stupide" ... possono perfino far vincere un Nobel ...

Ho sbagliato tutto io!
Non avevo letto la tua citazione del testo del quiz
E ho creduto che il tuo "–1" fosse in risposta al quiz di indovinare la cifra sostituita con la stelletta "*". Infatti il tuo
i*i
l'ho letto come fosse
|*|
dove ho interpretato le sbarre verticali come segni di demarcazione della stelletta, (analogamente a come ho fatto io con le virgolette attorno alla stelletta e nel citare il tuo "–1").

Non devo dimenticare che l'Illustrissimo è (quasi) infallibile anche quando scrive risposte ... "stolide"
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Avendo tu letto, benché con enorme sforzo di volontà, qualche mio paper, avrai notato che noi, elettrotecnici \elettronici, indichiamo l'unità immaginaria non con "i" bensì con "j"
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Comunque, se è vero che:

j^2 + 5 = 2^2

con j e 2 razionali, non è vero che

j^2 – 5 = –6 = [j√(6)]^2

sia il quadrato di un razionale (reale o complesso)

E se togli ai numeri la condizione di essere razionali, qualsiasi numero avesse detto Leonardo Fibonacci in risposta a Giovanni da Palermo quel numero era la risposta giusta.

Prendi, infatti un numero (reale o complesso)
v arbitrario
e poi i due numeri:

u = v – 5
w = v + 5.

Con le posizioni

x = √(u)
y = √(v)
z = √(w)

(sempre possibili nel campo complesso) u, v e w risultano i quadrati di x, y e z (rispettivamente) e quindi v arbitrario soddisfa le condizioni richieste da Giovanni da Palermo, cioè:
v = y^2
v + 5 = z^5
v – 5 = x^2.
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[Erasmus]

Erasmus

3)
[h(h+1)/2 + k(k+1)/2]/2 = p(p+1)/2;
h(h+1)/2 – k(k+1)/2 =5· q^2 .

Questa preliminare discussione non è necessaria : ma serve a ridurre il numero di tentativi e la grandezza dei numeri da cercare (cosa di peso irrilevante in un programmino per computer, ma non in una ricerca manuale).

i numeri interi del tipo P(m) = m(m+1)/2 per m = 1, 1, 2. 3, ... sono i cosiddetti "numeri perfetti":

P(m)–>0, 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, ... 
  m  –>0, 1, 2, 3,  4,  5,  6,   7,  8,   9,   10, 11, 12, 13, 14,   15,    16,   17,  18,   19,   20,   21,   22,  23,   24, ...

definibili ricorrentemente come segue:
P(0) = 0; per ogni m naturale P(m+1)= P(m) + (m+1).
[...]

Completo la discussione che facilita la ricerca manuale della soluzione.

I numeri perfetti P(m), come si vede nella tabella sotto "Codice", si susseguono a coppie di numeri pari e di numeri dispari.
Dalla prima delle 3) viene che occorre cercare un P(h) ed un P(k) che diano per somma il doppio d'un numero perfetto. Allora P(h) e P(k) devono essere o entrambi pari o entrambi dispari. Rifacciamo allora la tabella separando i numeri perfetti pari da quelli dispari:

Numeri perfetti pari
P(m) ––> 0, 6, 10, 28, 36, 66, 78, 120, 136, 190, 210, 276, 300, 378 ... 
  m   ––> 0, 3,  4,   7,   8,  11, 12,  15,  16,   19,  20,    23,   24,  27  ...

Numeri perfetti dispari
P(m) ––> 1, 3, 15, 21, 45, 55, 91, 105, 153, 171, 231, 253, 325, 351  ... 
  m   ––> 1, 2,   5,  6,   9, 10, 13,   14,   17,  18,   21,   22,   25,  26   ...

Le 3) chiedono due numeri perfetti entrambi pari o entrambi dispari la cui somma sia il doppio d'un perfetto e la cui differenza sia divisibile per 5 con quoziente quadrato perfetto. Controlliamo se ce ne sono tra i pari e se ne troviamo registriamone gli indici. Se non ne troviamo tra i pari, cercheremo analogamente tra i dispari.

Per m crescente dal primo fino al penultimo  fa: 
   {inizio_1 }
      metti k:= m;  prendi P(k); 
      per h dal'm successivo di k  fino all'ultimo fa:
        {inizio_2 } 
            prendi P(h);
             se P(h) – P(k) è divisibile per 5 allora
                se [P(h) – P(k)]/5 è un quadrato perfetto allora
                    se  P(h) + P(k) è il doppio d'un perfetto allora
                          registra h e k
        {fine_2}
    {fine_1}

Nell'esame dei perfetti pari le coppie con differenza divisibile per 5 risultano:
[P(4), P(0)]; [P(15), P(0)]; [P(19), P(0)]; [P(20), P(0)]; [P(24), P(0)]; ...
[P(8), P(3)]; P(11), P(3)]; P(23), P(3]; ...
[P(15), P(4)]; [P(19), P(4)]; [P(20), P(4)]; [P(24), P(14)]; ...
[P(12), P(7)]; [P(27), P(7)]; ...
[P(11), P(8)]; [P(16), P(8)]; [P(23), P(8)]; ...
[P(16), P(11)]; [P(23), P(11)]; ...
P(27), P(12)]; ...
[P(19), P(15)]; P(20), P(15)]; [[P(24), P(15)]; ...
[P(23), P(16)]; ...
[P(20), P(19)]; [P(24), P(19)]; ...
[P(24), P(20)]; ...
...
Ma solo [P(24) – P(15)]]/5 = (300 – 120)/5 = 180/5 = 36 è un quadrato perfetto.

Vediamo se questa coppia verifica anche l'ultima condizione:
P(24) + P(15) = 300 + 120 = 420 = 2·210 = 2P(20).
Si: la condizione è verificata!
Inutile allora processare anche i numeri perfetti dispari

Allora:
h = 24; k = 15; p = 20; q = √(300 – 120)/5] = √(180/5) = √(36) = 6;
u = (2p+1)/(2q) = (2·20 + 1)/(2·6) = 41/12 => u^2 = 1681/144 [numero quadrato con cui Leonardo ha risposto a Giovanni]
v = (2h+1)/(2q) = (2·24 + 1)/(2·6) = 49/12 => v^2 = 2401/144
w = (2k+1)/(2q) = (2·15 +1)/(2·6) = 31/12 => w^2 = 961/144 .

Verifica

u^2 + 5 = (1681 + 5*144)/144 = (1681 + 720)/144 = 2401/144 = v^2    (OK!)
u^2 – 5 = (1681 – 5*144)/144  = (1681 – 720)/144 =   961/144 = v^2    (OK!)

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[aspesi]

Per la soluzione "matematica" qui ci vuole Erasmus...
(Io sono in grado di trovare solo i risultati approssimativi...)

Uno dei solitari piu' semplici che si possono fare con un mazzo di carte e' chiamato "il suicidio" *. Si fanno scorrere le carte (mazzo da quaranta) una ad una contandole ad alta voce a gruppi di dieci, vale a dire ritornando all'uno dopo ciascun dieci. Il solitario viene se nessuna carta ha un valore pari al numero della sua posizione: nessun asso deve occupare il primo, undicesimo, ventunesimo o trentunesimo posto, nessun due puo' essere secondo, dodicesimo, ventiduesimo o trentaduesimo e cosi' via fino alle donne che non possono essere al posto 9, 19, 29 e 39 ed ai re che non possono essere decimi, ventesimi, trentesimi o quarantesimi.

Si vince se si riesce ad arrivare al termine del mazzo, vale a dire che appena s'incontra una carta corrispondente alla sua posizione il solitario non e' riuscito.

Qual è la probabilita' che una mano di "Suicidio" riesca?
E se fissiamo un N (con N>1, perché se N=1 si perde sempre, in quanto al massimo alla 37esima carta si avra' un asso e N<=10) e giriamo le carte del mazzo ad una ad una contando modulo N+1, qual è la probabilità di vittoria rispetto ad N?

* Il nome di tale solitario si deve alla leggenda riguardante un tizio che, dopo ore di vani tentativi, era li' li' per farcela... ma proprio l'ultima carta era un re! La disperazione lo avrebbe spinto all'insano gesto.

[Mizarino]

aspesi

Qual è la probabilita' che una mano di "Suicidio" riesca?

Non lo so, ma a naso dico che non mi ci metterei mai a farlo ...