Easy quiz(zes): but mathematical!

[nino280]

Vi siete accorti che disegno tutto quello che posso.
Volevo disegnare il triangolo rettangolo di lati 2.813.761 e 2.938.320 con ipotenusa 4.068.289
ma non ci sta nello schermo.
Ciao
Però non demordo, divido tutto per 100.000 e vado a disegnarlo.
Così a prima vista ad occhio lo vedo come molto prossimo ad un mezzo quadrato cioè con gli angoli adiacenti all'ipotenusa molto vicini ai 45°

[aspesi]

nino280

Vi siete accorti che disegno tutto quello che posso.
Volevo disegnare il triangolo rettangolo di lati 2.813.761 e 2.938.320 con ipotenusa 4.068.289
ma non ci sta nello schermo.
Ciao

Allora, puoi provare questi (sono gli altri anni di questo secolo che sono numeri primi 4n+1):

2029^4 = 16.948.379.819.281

= 4.052.041^2 + 727.560^2

= 4.100.609^2 + 365.220^2


2053^4 = 17.764.614.906.481

= 136.441^2 + 4.212.600^2

= 3.028.175^2 + 2.931.684^2


2069^4 = 18.324.914.739.121

= 2.939.239^2 + 3.112.200^2

= 1.694.511^2 + 3.931.100^2


2081^4 = 18.753.758.574.721

= 1.048.639^2 + 4.201.680^2

= 2.665.761^2 + 3.412.840^2



2089^4 = 19.043.806.494.241

= 3.327.121^2 + 2.823.840^2

= 4.096.529^2 + 1.504.080^2


Ho scoperto che è abbastanza facile trovare la soluzione (cioè i due quadrati la cui somma dà il numero primo elevato alla quarta)

[nino280]

aspesi

Allora, puoi provare questi (sono gli altri anni di questo secolo che sono numeri primi 4n+1):


Ho scoperto che è abbastanza facile trovare la soluzione (cioè i due quadrati la cui somma dà il numero primo elevato alla quarta)

Dicci come.
Io intanto vado a fare il disegnino.
Ciao

[aspesi]

nino280

Dicci come.
Io intanto vado a fare il disegnino.
Ciao

Eh, no..., ci ho studiato sopra un paio d'ore...
Aspetto Erasmus, lui senz'altro ci arriverà prima.

Un aiuto decisivo l'ho avuto leggendo qui:
https://giuseppemerlino.wordpress.co...adrati-esatti/

[nino280]

Vabbè come vuoi.
Intanto come avevo promesso ho fatto il disegno (be adesso che ci ripenso alquanto stupido) ma ormai l'ho fatto.
Ho preso i tuoi numeri tali e quali solo che ho spostato la virgola da destra verso sinistra come alle elementari.
https://s27.postimg.org/x1r8jk94j/Triangolo_100000.png


Però tanto tanto stupido non è. Tu avresti potuto bleffare con questi numeroni. Invece il disegnino mi conferma che sono giusti.
Cioè io ho messo i tuoi valori come lati, poi il disegno mi conferma che in C l'angolo è retto.
Anche se in definitiva poi bastava fare il conto con la calcolatrice.
Più che altro questo disegnino mi conferma la bontà dei suoi calcoli sui decimali. In questo caso gli avevo imposto 5 decimali.

[aspesi]

nino280

Anche se in definitiva poi bastava fare il conto con la calcolatrice.

Senza una calcolatrice che dà tutti quei decimali, come quella che hai a suo tempo proposto tu, non sarei stato in grado di verificare i conti e proporre le due soluzioni di A e B valide per:

P (4n+1)^4 = A^2 + B^2

All'inizio avevo utilizzato excel, ma non visualizza risultati sufficientemente precisi.

[Erasmus]

nino280

[...] triangolo rettangolo di lati 2.813.761 e 2.938.320 con ipotenusa 4.068.289
[...] a prima vista ad occhio lo vedo come molto prossimo ad un mezzo quadrato cioè con gli angoli adiacenti all'ipotenusa molto vicini ai 45°

Lo credo bene! Un cateto è più lungo dell'altro meno del 5%.
<un angolo acuto> = arctan(2813761/2938320) ≈ 43° 45' 34";
<l'altro angolo acuto> = arctan(2938320/2813761) ≈ 46° 14' 26".
Ma perché proprio questi numeri?
√(2813761^2 + 2938320^2)= 4068289, intero!
La terna [2813761, 2938320, 4068289] è una terna pitagrorica.

[aspesi]

Erasmus

Ma perché proprio questi numeri?
√(2813761^2 + 2938320^2)= 4068289, intero!
La terna [2813761, 2938320, 4068289] è una terna pitagrorica.

Come ci si può arrivare? (A trovare 2813761 e 2938320, noto 2017^2=4068289)

Si parte da 2017 = 9^2 + 44^2

Genericamente scrivo: P = X^2 + Y^2
dove P è un primo del tipo 4n+1 e X e Y sono una coppia di numeri (noti o facilmente calcolabili) tali che la somma dei loro quadrati sia uguale a P.

Elevo al quadrato i due membri:

P^2 = (X^2 + Y^2)^2 = (X^2 - Y^2)^2 + (2XY)^2

Quindi, X^2 - Y^2 e 2XY sono i due numeri che, elevati al quadrato e poi sommati, equivalgono a P^2.

Nel caso di 2017^2 saranno (44^2-9^2) = 1855 e (2*44*9) = 792

Infatti: 2017^2 = 4068289
1855^2 + 792^2 = 3441025 + 627264 = 4068289

Da P^2 si può passare agevolmente a P^4 e in questo caso si possono trovare le somme di due coppie di numeri quadrati. Lascio incompleto il semplice esercizio.

[Erasmus]

Un altro quiz di geometria ancora molto facile.

Siano A e B due punti distinti della retta r e sia H un altro punto di r compreso tra A e B.
Siano P e Q due punti distinti qualsiasi del piano α perpendicolare ad r per H.
Dimostrare che (AP)^2 – (BP)^2 = (AQ)^2 – (BQ)^2 .
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Il quiz si può mettere in quest'altra forma.

Sia r una perdicolare al piano α.
Siano A e B due punti di r uno da una parte e l'altro dall'altra rispetto al piano α.
Sia infine P un punto qualsiasi di α.
Dimostrare che la differenza (AP)^2 – (BP)^2 resta costrante al variare comunque di P in α.
[Consiglio: far uso del punto H piede di r su α].
–––––

[aspesi]

Erasmus

Dimostrare che (AP)^2 – (BP)^2 = (AQ)^2 – (BQ)^2 .

(AP)^2 - (BP)^2 = (AQ)^2 - (BQ)^2
Mi pare troppo semplice, forse non ho capito...

Pitagora

(AH)^2 + (PH)^2 - (PH)^2 - (HB)^2 = (AH)^2 + (HQ)^2 - (HQ)^2 - (HB)^2 =

= (AH)^2 - (HB)^2 ---------> costante -------> (AB) * [(AH) - (HB)]