Easy quiz(zes): but mathematical!

[nino280]

Se io avessi saputo a priori che anche l'altezza era intera, ci impiegavo 1/3 del tempo che ci ho impiegato effettivamente.
Perchè far variare i pallini per interi è molto più comodo e sbrigativo.
Mi spiego meglio io ho fatto variare la base e l'altezza che poi per me è il pallino "b"
e per b ci avevo messo uno step di 0,01
Ciao

[aspesi]

aspesi

Infine:
Qual è la terna (cioè la misura dei 3 lati) più piccola di tre triangoli rettangoli di uguale area e con lati espressi da numeri interi?

Aiutone:

Uno di questi 3 triangoli rettangoli è un triangolo eroniano quasi equilatero* il cui perimetro è = 240

Trovare i lati a b c; a1 b1 c1 e a2 b2 c2 dei tre triangoli rettangoli.



*Mi scuso ho sbagliato... non è quasi equilatero, ma quasi isoscele... e solo 2 lati hanno quasi la stessa lunghezza (differenza = 1), il terzo lato è molto più corto

[nino280]

Uno potrebbe essere questo in base a quello che suggerisci.
Ha i lati 112 113 15 perimetro 240 e Area 840
Se mi suggerisci gli altri due così non mi sforzo più di tanto li disegno.
Ciao
L'ho messo supino cioè di pancia a terra.

[aspesi]

nino280

Uno potrebbe essere questo in base a quello che suggerisci.
Ha i lati 112 113 15 perimetro 240 e Area 840
Se mi suggerisci gli altri due così non mi sforzo più di tanto li disegno.
Ciao

Gli altri due
Perimetro 168 e 140
Stessa area 840

[Erasmus]

aspesi

Si chiamano eroniani quasi equilateri i triangoli espressi da numeri interi consecutivi.

Quali di questi hanno area espressa da un numero intero?

Stasera ho trovato una legge di ricorrenza per questec terne.
Invece di incomincioare con (3, 4, 5) –che sarebbe la prima terna eroniana – si può incomincioare con la terna degenere (1, 2, 3) (che è un triangolo di area "zero" ... e zero è un numero naturale
a) Queste terne sono tutte del tipo (2n–1, 2n, 2n+1) cin n intero positivo.
c) Deve essere intera l'altezza rispetto al lato 2n. Questa altezza è data da
h^2 = (2n–1)^2 – (n – 2)^2 = (2n+1^2 – (n+2)^2 = 3n^2 –3.
Conoscevo solo le prime quattro di queste terne, cioè

numero d'ordne k ––>    0            1               2                3                4            5
Terna               ––>  (1, 2, 3)   (3, 4, 5)   (13, 14, 15)   (51, 52, 53)     ?            ??         
Altezza h          ––>       0             3              12               45              ?           ??        
Semi-centrale n ––>      1              2              7                 26              ?          ??]

Stasera m'è balzata agli occhi la probabile legge di ricorrenza:
n(0) = 1; h(0) = 0;
Per ogni k naturale:
n(k+1) = 2·n(k) + h(k);
h(k+1) = √{3·[n(k+1)]^2 – 3}
M'è balzata agli occhi notando che:
2·1+ 0 = 2;
2·3 +1 = 7;
2·7 + 12 = 26;
Controlliamo se è vera!
2·26 + 45 = 97; 3·97^2 – 3 = 3·9409 – 3 = 28224 ==> √(28224)= 168; OK
2·97 + 168 = 362; 3·362^2 – 3 = 393129 ==> √(39312)= 927; OK

Sì: la legge è questa!
Certamente si potrà porre nella forma di "sequenza linearmente dipendente"

aspesi

3 - 4 - 5 è l'unico triangolo rettangolo con lati interi consecutivi e area intera (6)
13- 14- 15 è l'unico con lati e altezza espressi da numeri consecutivi (h=12 e area = 84)
Il triangolo successivo ha lati 51, 52 e 53 (area 1170)
Poi lati 193, 194 e 195 (area 16296)
Riuscite a trovarne un altro?

Fatto!
(723,724, 725); altezza 927 quindi area 335574

aspesi

Un'altra domanda:
Se due triangoli isosceli hanno lo stesso perimetro e la stessa area, sono congruenti (uguali)?

Posspno anche non essere congruenti

aspesi

Trovate i due triangoli isosceli diversi che hanno entrambi perimetro = 98 e area = 420

Se x è la base ed y l'altezza l'area è S = xy/2 ed il perimetro è 2p = x + √(x^2 + 4y^2).
Non ho voglia di fare calcoli numerici, Il doidyrmino da risolvere è:
xy = 2S:
p^2 – px = y^2.
------------

[aspesi]

Erasmus

Stasera ho trovato una legge di ricorrenza per questec terne.
Invece di incomincioare con (3, 4, 5) –che sarebbe la prima terna eroniana – si può incomincioare con la terna degenere (1, 2, 3).
a) Queste terne sono tutte del tipo (2n–1, 2n, 2n+1) cin n intero positivo.
c) Deve essere intera l'altezza risprtto al lato 2n. Questa è data da
h^2 = (2n–1)^2 – (n – 2)^2 = (2n+1^2 – (n+2)^2 = 3n^2 –3.
Conoscevo solo le prime quattro di queste terne, cioè [code]
numero d'ordne k ––> 0 1 2 3 4 5
Terna ––> (1, 2, 3) (3, 4, 5) (3, 14, 15) (51, 52, 53) ? ??
Altezza h ––> 0 2 12 45 ? ??
Semi-centrale n ––> 1 2 7 26 ? ??]/code]
Stasera m'è balzata agli occhi la probabile legge di ricorrenza:
n(0) = 1; h(0) = 0;
Per ogni k naurale:
n(k+1) = 2·n(k) + h(k);
h(k+1) = √{3·[n(k+1)]^2 – 3}
M'è balzata agli occhi notando che:
2·1+ 0 = 3;
2·3 +3 = 7;
2·7 + 12 = 26;
Controlliamo se è vera!
2·26 + 45 = 97; 3·97^2 – 3 = 3·9409 – 3 = 28224 ==> √(28224)= 168; OK
2·97 + 168 = 362; 3·362^2 – 3 = 393129 ==> √(39312)= 927; OK

Quando l'area è intera?
Applichiamo Erone
In generale se i lati sono 2n, 2n-1 e 2n+1, il perimetro è 6n e l'area è:
A(n) = RADQ(3n*n*(n+1)*(n-1)) = n*RADQ(3*(n^2-1)
che è intero quando 3*(n^2-1) è un quadrato perfetto

n = 2 , 7 , 26 , 97 , … A001075

RADQ(3*(n^2-1)) = 3 , 12, 45 , 168 A005320

Area intera n*RADQ(3*(n^2-1)) = 6, 84, 1170, 16296 A0011945
a(n) = 14a(n-1) - a(n-2) con a(1)=0 e a(2)=6

[nino280]

Ecco il secondo triangolo.
Area 840 Perimetro 168
Vi narro come faccio:
Piazzo un segmento variabile in ascissa, è k.
Dal suo centro una circonferenza aventi R = k/2
Dall' estrema destra un Angolo anch' esso variabile è Alfa
Detto angolo incontra la circonferenza e congiungo.
Mi sono dimenticato di marcare l'angolo lassù.
Mi domando se ve n' era di bisogno.
A sinistra (non si vede nell' immagine) con Case mi faccio sommare p + k + h per il perimetro. Al raggiungimento di 168 mi fermo.
E siccome mi ero anche premunito di farmi dire contemporaneamente anche la sua Area,
capita come d'incanto che quando ho 168 anche l'area è 840.
Facile no?
Ecco perchè li metto a pancia in giù.
Ciao
Il terzo lo devo fare?
In pratica è come ottenere 4 fave con un piccione.
Vale a dire Area Perimetro Lati tutti interi e il 90°

Comunque non sono stato chiaro.
Il 168 o se vogliamo diciamo pure anche l' 840 non si ottengono al primo colpo o dell' ipotenusa o dell' angolo alfa che sono le mie due variabili, ma bisogna agire dando come si suol dire, un colpo al cerchio (qui un colpo al cerchio è particolarmente indicato dal momento che agisco sul "cerchio") ed un colpo alla botte.
A Riciao

[aspesi]

aspesi

Qual è la terna (cioè la misura dei 3 lati) più piccola di tre triangoli rettangoli di uguale area e con lati espressi da numeri interi?

Abbiamo visto che l'area di questi tre triangoli rettangoli è 840 e che quello isoscele con due lati diversi solo di 1, ha perimetro 240 e i tre lati lunghi 15,112,113.

Calcoliamo uno degli altri due triangoli rettangoli scaleni.

a b cateti; c ipotenusa; Perimetro a+b+c = 140; Area S = a*b/2 = 840

Si ha
c = 140-(a+b) ---------->(1)
c^2 = a^2 + b^2 ----->(2)

Dalla 1) (a+b) = 140 - c
(a+b)^2 = (140 - c)^2 ------>3)

Dalla 2, aggiungo a entrambi i membri 2ab
c^2 + 2ab = a^2 + b^2 + 2ab
cioè (a+b)^2 = c^2 + 2ab ------> 4)

Sottraggo la 4) dalla 3)
0 = 140^2 + c^2 - 280c - c^2 - 2ab ------>5)
Sostituisco alla 5) 2ab (quadruplo dell'area = 3360) e ricavo c

c = (140^2 - 3360)/280 = 58


A questo punto posso calcolare a e b con queste due equazioni
a + b = 140 - 58 = 82
ab = 1680

a = 82 - b
(82-b)*b = 1680
b^2 - 82b + 1680 = 0
b = 40

a = 82 - 40 = 42

Con lo stesso meccanismo si risolve l'altro triangolo rettangolo di area = 840 (Perimetro = 168).
a = 24 ; b = 70 ; c = 74

[astromauh]

aspesi

Si chiamano eroniani quasi equilateri i triangoli espressi da numeri interi consecutivi.

Quali di questi hanno area espressa da un numero intero?
---------------

3 - 4 - 5 è l'unico triangolo rettangolo con lati interi consecutivi e area intera (6)

13- 14- 15 è l'unico con lati e altezza espressi da numeri consecutivi (h=12 e area = 84)

Il triangolo successivo ha lati 51, 52 e 53 (area 1170)
Poi lati 193, 194 e 195 (area 16296)

Riuscite a trovarne un altro?

a= 994061
b= 994062
c= 994063
s= 427885511004

[aspesi]

astromauh

a= 994061
b= 994062
c= 994063
s= 427885511004

C'è qualcosa che non va...

Prendiamo solo il lato intermedio:

4, 14, 52, 194, 724, 2702, 10084, 37634, 140452, 524174, 1956244,...

non c'è il tuo 994062

e la sequenza delle aree è:
6, 84, 1170, 16296, 226974, 3161340, 44031786, 613283664, 8541939510, 0, 6, 84, 1170, 16296, 226974, 3161340, 44031786, 613283664, 8541939510, 118973869476, 1657092233154, 23080317394680, 321467351292366, ...
non c'è il tuo 427885511004