Qualche quiz

[Erasmus]

aspesi

Eh..eh.., stando molto attenti...

Dimentichi che io sono un ingegnere, non un matematico... [beh: diciamo che almeno lo sono stato in passato ].

aspesi

Abbiamo un cerchio.
Qual è il massimo numero di regioni (R) che si ottengono congiungendo con segmenti dritti tutti gli n punti posti sulla sua circonferenza?

n = 1 ; R = 1
n = 2 ; R = 2
n = 3 ; R = 4
n = 4 ; R = 8
n = 5 ; R = 16

Uno sarebbe portato a dedurre che il numero delle regioni che si formano con n punti distinti sia come i termini della successione:
1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , ...
cioè:
a(n) = 2^(n-1)

Ma, come ben sai, non è così...

Veramente in questo particolare caso ... non lo so. Anzi: non lo sapevo e adesso lo so perché me lo dici tu e di te mi fido!

Giusto dire che ... non è detto che sia così in generale!
Proprio io ho scritto una volta, qui in Rudi Mathematici, che è intrinsecamente aberrante l'abituale quesito di certi test di IQ in cui bisogna proseguire una "serie" dati alcuni suoi termini in fila ...

Ma nel tuo quiz precedente (da me risolto – scusa se insisto – per via "euristica") le cose stavano in una particolarissima situazione.
• la legge di formazione della "serie" era ben definita dal punto di vista costruttivo: era quello che è detto proprio "funzione" nella teoria generale della programmazione (in soldoni la "serie" era programmabile). [Dimenticavo: sono stato anche studente di "scienze dell'informazione" ed ho sostenuto l'esame di "metodi" ]
• sapevo che c'era da trovare una "formula" (quella che, propriamente, si chiama "definizione intensiva" della "serie", in contrapposizione alla "definizione per ricorrenza" che consiste nel conoscere alcuni termini in fila e sapere come da essi ricavare il prossimo (successivo e/o precedente). La "formula" da trovare, in fondo non poteva essere che una funzione analitica. Se una funzione analitica dipende da k parametri indipendenti, la trovi conoscendone il valore in k punti distinti (o comunque da k condizioni indipendenti). Se funziona per k +1 termini distinti funziona per tutti!
• Avevo buone speranze che la "formula" da trovare, una volta che fosse astratta dall'ambito geometrico, fosse la definizione intensiva di una "sequenza linearmente dipendente".
• La formula tu la sapevi; anzi la sapevi tu che io ho imparato a conoscere.
Certo: sarebbe potuta dipendere da più di 5 parametri indipendenti. Ma non da moltissimi di più, in quanto "formula" da trovare su proposta di Nino II . Verificarla per altri 3 punti successivi ai 5 che mi permettevano di scriverla, ragionando sempre da ingegnere, mi è parso un sufficiente margine di sicurezza.

Ciao ciao

[astromauh]

aspesi

n = 1 ; R = 1
n = 2 ; R = 2
n = 3 ; R = 4
n = 4 ; R = 8
n = 5 ; R = 16

Con tre coppie di punti in opposizione sul cerchio

n = 6 ; R = 30

Si sa, le opposizioni portano male.

[aspesi]

astromauh

Con tre coppie di punti in opposizione sul cerchio

n = 6 ; R = 30

Si sa, le opposizioni portano male.

Mmmmm.... non mi intendo di "opposizioni"...
ma il risultato per n=6 non è di 30 regioni....



(Se ho capito quello che intendi... la tua soluzione si riferisce a punti equidistanti, che formano un esagono regolare... ma il quiz non richiede questo)

[astromauh]

Se dispongo 6 punti in questo modo, conto 30 Aree.

[aspesi]

astromauh

Se dispongo 6 punti in questo modo, conto 30 Aree.

Sì, ma non è "il massimo" come chiedeva il quiz (occhio all'intersezione centrale, può non essere un punto)

[astromauh]

"il massimo" mi era sfuggito. Io avevo fatto passare tre corde per il centro a bella posta.
Se ad esempio muovo il puntino in alto a destra, un po' più a destra il numero delle regioni cambia.
Mi sembra che diventino 31.

Chi decide dove vanno messi i puntini? Io?

[Erasmus]

astromauh

Se dispongo 6 punti in questo modo, conto 30 Aree.

Vedo che tra le corde hai messo 3 diametri. Sposta un estremo di una di queste tre corde diiametrali. In centro ti nasce una regioncella triangolare in più!

Hai tre corde che passano per lo stesso punto. Se fai sì che mai tre corde passimo per lo stesso punto mi pare che le regioni con 6 punti (15 corde) diventano 31.
[Ma io ... sono poco bravo a contare...]

Il quiz di aspesi chiede qual è il numero "massimo" R di regioni con N(N–1)/2 corde tra coppie di N punti distinti della circonferenza.
Ogni volta che più di 2 corde si intersecano nello stesso punto ... ti freghi qualche regione (e il numero di regioni viene di meno del massimo possibile).

Ciao, astromauh.
Ciao a tutti!!

Arrivederci l'anno prossimo!

[aspesi]

astromauh

"il massimo" mi era sfuggito. Io avevo fatto passare tre corde per il centro a bella posta.
Se ad esempio muovo il puntino in alto a destra, un po' più a destra il numero delle regioni cambia.
Mi sembra che diventino 31.

Chi decide dove vanno messi i puntini? Io?

Sì, certo!
Si è quindi visto che per n=6 le regioni sono 31.

E continuando (per n>6)?

[aspesi]

Erasmus

Vedo che tra le corde ha messo 3 diametri. Sposta un estremo di una di queste tre corde diiamtrali. In centro ti nasce una regioncella triangolare in più!

Hai tre corde che passanp per lo stesso punto. Se fai sì che mai tre corde passimo per lo stesso punto mi pare che le regioni con 6 corde diventano 31.

Il quiz di aspesi chiede qual è il numero "massimo" R di regioni con N(N–1)/2 corde tra coppie di N punti distinti della circonferenza.
Ogni volta che più di 2 corde si intersecano nello stesso punto ... ti freghi qualche regione (in numero di regioni viene di meno del massimo possibile).

Ciao, ciao a tutti!!

Arrivederci l'anno prossimo!

Ciao e auguri. Sono certo che "l'anno prossimo" ritornerai su questo quiz (e magari anche sull'altro,

#303

risolvendolo in altro modo di quanto ha fatto Astromauh)

[astromauh]

Ma dovrei cercare di creare quante più regioni è possibile?

E' questo lo scopo del quiz?

Dovrei pensarci...

Non so quale sia il criterio ottimale per scegliere i punti.

E' sufficiente evitare di prendere punti opposti?