Qualche quiz

[aspesi]

nino280

Se accettiamo come soluzione 9,qualche cosa dovremmo accettare anche 14,qualchealtracosa.
Se il perimetro è 18 p il semiperimetro è 9.
Da Erode o era Erone, vado a memoria:
piperpimenoaperpimenobperpimenoctuttosottoradice = S
Ho dato dei valori ai lati affinchè il 2p sia 18
per 7 ; 6 ; 5 ottengo con Erone la radice di 216 e quindi un'area di 14,6969
Se assuno 2p = 8 ; 5 ; 5 ottengo sempre con Erode o era Erone la radice di 144 e quindi un'area di 12 cm^2

Perché dici che si dovrebbe accettare anche 14 cm^2?
Uno solo dei valori proposti tra 16, 14, 11 e 9 è accettabile e corretto.
Gli altri non possono essere soluzioni di un triangolo in cui la somma dei lati è 18 cm e la somma dei quadrati dei lati stessi è 128 cm^2.

Tu ti sei limitato a prendere in considerazione la prima condizione; infatti, ponendo come hai immaginato i lati 5, 6 e 7 cm o 5, 5 e 8 cm, la somma dei loro quadrati non è uguale a 128 cm^2.

[Erasmus]

aspesi

Il risultato (area = 9 cm^2) è giusto
Però, il valore 9,0854... che hai trovato rappresenta il valore massimo della superficie.

Se lo dici tu ... lo accetto (a scatola chiusa ... che però vorrei aprire )

aspesi

Ponendo S=esattamente 9 cm^2, di che triangolo si tratta e quanto sono lunghi i 3 lati?

Stanotte (vedi a che ora ho 'postato' ) avevo pensato di risolvere il problema provando ciascuna delle aree proposte. Ma ... la cosa non era troppo breve e la mia capacità di concentrarmi sul complicato calcolo era sempre di meno. Infatti ero sveglio a quell'ora perché ho una forma di raffreddore (probabilmente di natura allergica) che non mi fa dormire. Se mi sdraio non respiro più con il naso; e se mi addormento mi sveglio subito con la bocca secca da non riuscire quasi a muovere la lingua ed il naso che cola ...

Ma veniamo al quiz.
Chiamo x, y e z i lati.

Nella formula di Erone si è soliti indicare con p il semiperimetro.
Si ricordi allora che, detta S l'area del triangolo di lati x, y e z si ha:
16·S^2 = 16·p(p–x)(p–y)(p–z) = (x+y+z)(–x+y+z)(x-y+z)(x+y–z) = 2[(xy)^2 +(yz)^2 + (zx)^2] –(x^4 +y^4 +z^4).

In questo problema preferisco usare il perimetro intero che chiamo P.
Allora:
Chiamo x, y e z i tre lati.
Supponiamo di conoscere:
• il perimetro (che chiamo P): P = x + y + z;
• la somma dei quadrati dei lati (che chiamo Q); Q = x^2 + y^2 + z^2;
• l'area S del triangolo (e quindi 16·S^2 che chiamo R): R = 2[(xy)^2 +(yz)^2 + (zx)^2] –(x^4 +y^4 +z^4).

Da qui ricavo
xy + yz + zx = (P^2 – Q)/2;
(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 = (Q^2+ R)/4
[xy + yz + zx]^2 = [(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2] + 2·xyz·(x + y + z) => [(P^2 – Q)/2]^2 = (Q^2 + R)/4 + 2P·xyz =>
=> 2xyz = {[(P^2 – Q)/2]^2 – (Q^2 + R)/4}/P

NB. Se l'area è sbagliata e si riesce a scrivere una espressione esplicita per qualche incognita x, y o z, dovrebbe succedere che o si trovano soluzioni negative opuure non si trovano soluzioni reali (cioè: si incontrano radici quadrate di numeri negativi). Un problemino così andrebbe allora trattato al computer con opportuno programma. Ma io non posso programmare!
Col computer si può anche procedere per approssimazioni successive (partendo dal triangolo isoscele). Si aggiunge ad y un ∆y, si sottrae a z un ∆z e si aggiunge ad x un ∆x = ∆z–∆y (e così resta costante il perimetro). Poi si impone che anche la somma dei quadrati dei lati resti costante e ciò porta ad avere (per esempio) ∆y in funzione di ∆z. [fin qua ... tutto simbolico!]. Si parte con un piccolo ∆z, si calcola tramite quello il ∆y e il ∆x = ∆z – ∆y. Si ricalcola l'area con i lati x+∆x, y+∆y e z+∆z e si trova un ∆S. Dal segno e dal valore di questo si calcola (in proporzione) un altra terna di variazioni da dare ai lati per avvicinarsi all'area vera. Si ripete il giochino fino a che l'accuratezza sull'area è soddisfaciente.

Sospendo il calcolo in "real time" ...
Arrivederci (se e) quando avrò il risultato.

Ciao ciao.

[nino280]

aspesi

Perché dici che si dovrebbe accettare anche 14 cm^2?
Uno solo dei valori proposti tra 16, 14, 11 e 9 è accettabile e corretto.
Gli altri non possono essere soluzioni di un triangolo in cui la somma dei lati è 18 cm e la somma dei quadrati dei lati stessi è 128 cm^2.

Tu ti sei limitato a prendere in considerazione la prima condizione; infatti, ponendo come hai immaginato i lati 5, 6 e 7 cm o 5, 5 e 8 cm, la somma dei loro quadrati non è uguale a 128 cm^2.

Si hai ragione, mi era sfuggita la seconda condizione. Non importa io ci avevo comunque provato.
Ciao

[aspesi]

nino280

Si hai ragione, mi era sfuggita la seconda condizione. Non importa io ci avevo comunque provato.
Ciao

Se imponi una condizione sul tipo di triangolo di cui abbiamo a che fare, sono certo che trovi in breve la soluzione...

Ciao

[aspesi]

Erasmus

Se lo dici tu ... lo accetto (a scatola chiusa ... che però vorrei aprire )


Stanotte (vedi a che ora ho 'postato') avevo pensato di risolvere il problema provando ciascuna delle aree proposte. Ma ... la cosa non era troppo breve e la mia capacità di concentrarmi sul complicato calcolo era sempre di meno. Infatti ero sveglio a quell'ora perché ho una forma di raffreddore (probabilmente di natura allergica) che non mi fa dormire. Se mi sdraio non respiro più con il naso; e se mi addormento mi sveglio subito con la bocca secca da non riuscire quasi a muovere la lingua ed il naso che cola ...

Ma veniamo al quiz.
Chiamo x, y e z i lati.

Nella formula di Erone si è soliti indicare con p il semiperimetro.
Si ricordi allora che, detta S l'area del triangolo di lati x, y e z si ha:
16·S^2 = 16·p(p–x)(p–y)(p–z) = (x+y+z)(–x+y+z)(x-y+z)(x+y–z) = 2[(xy)^2 +(yz)^2 + (zx)^2] –(x^4 +y^4 +z^4).

.............

Sospendo il calcolo in "real time" ...
Arrivederci (se e) quando avrò il risultato.

Ciao ciao.

Quello che hai scritto è tutto molto interessante.
Ma stai andando troppo sul difficile!

Come sai, io sò pochissimo di matematica, e dò la massima importanza all'intuizione.
E, per questo problema, mi sono limitato ad una supposizione di partenza, che ... la fortuna è cieca ... si è rivelata vincente e ha condotto in breve proprio ad uno dei valori proposti (9 cm^2)
E a questo punto mi sono fermato, praticamente certo di poter escludere gli altri tre risultati diversi da 9.



NB: Curati bene. Io sto, forse, uscendo dal fastidioso raffreddore che ha colpito anche te. All'inizio mal di gola, poi naso che cola in continuazione, quindi enormi quantità di catarro denso e ancora adesso, dopo tre settimane, tosse grassa e debolezza diffusa...
A differenza di te, però, io di notte dormo, anzi, adesso senza la pastiglia che ero costretto a prendere fino a un mese fa.

Ciao

[Erasmus]

Ho risolto il tuo quiz per area = 9 u^2 (perimetro 18 u, somma dei quadrati dei lati 128 u^2).

Ma ho cambiato procedimento rispetto a quello cui ho accennato.
Con tale procedimento è abbastanza facile verificare se van bene o no altre aree.

Detta [a, b, c] la terna dei lati, con l'area S= 9 si trovano più terne di lati.
[Formalmente sembrano tre; ma forse due sono la stessa cosa.*Non ho ancora controllato].

Le soluzioni (terne di lati) dipendono dalle soluzioni di una certa equazione cubica (abbastanza facile, per fortuna).
la soluzione meno incasinata:
a = 8;
b = 5 + √(7);
c = 5 – √(7);

Controllo:
a + b + c = 8 + 5 + 5 = 18;
a^2 + b^2 + c^2 = 64 + 25 + 7 + 2√(7) + 25 + 7 – 2√(7) = 64 + 32 + 32 = 128;

p = 9;
P – a = 1;
p – b = 4 – √(7);
p – c = 4 + √(7).

S^2 = p·(p – a)·(p – b).(p – c) = 9 ·1·(16 – 7) = 9·9 = 81; S = √(81) = 9.
-----------------------------
Ecco come ho fatto.

Parto col porre: a = 6 + x; b = 6 + y; c = 6 – (x+y).
Così per qualsiasi x ed y ho perimetro 18.
Adesso impongo che a^2 + b^2 + c^2 faccia 128.
Fatta la somma dei tre quadrati (di cui ti risparmio i passaggi) si trova che deve essere
x^2 + y^2 + xy = 10.
Esplicito y come funzione di x (risolvendo in y l'equazione y^2 + yx – (10 – x^2) = 0) e ottengo:
y = – x/2 + [√(40 – 3·x^2)]/2; (L'altra soluzione non serve; ma è lungo spiegare perché).
– (x+y) = – x/2 – √(40 – 3·x^2)]/2.
Con ciò ottengo:
a = 6 + x
b = 6 +y = 6 – x/2 + [√(40 – 3·x^2)]/2;
c = 6 – (x+y) = 6 – x/2 – [√(40 – 3·x^2)]/2;
A questo punto, per qualsiasi x ho.
a + b + c = 18; a^2 + b^2 + c^ 2 = 128.

Adesso impongo che x sia tale da darmi giusta anche l'area S.
Metto p = (a + b + c)/2 e mi accingo ad usare la formula di Erone S^2 = p(p–a)(p–b)(p–c).
Ottengo successivamente
p = 9; p – a = 3 –x; p·(p–a) = –9·(x – 3);
p – b = 3 + x/2 – [√(40 – 3·x^2)]/2; p – c = 3 + x/2 + √(40 – 3·x^2)]/2.
(p – b)(p – c) = 9 + (x^2)/4 + 3·x – [10 – 3·(x^2)/4] = x^2 + 3·x – 1;
S^2 = p(p–a)(p–b)(p–c);
p·(p–a)·(p–b)·(p–c) = – 9(x – 3)(x^2 + 3·x – 1) = –9(x^3 + 3x^2 –x – 3x^2 – 9x + 3) = –9(x^3 – 10x +3);

Deve essere –9·(x^3 – 10·x + 3) = S^2 = 81 <=> x^3 – 10x + 12 = 0.

Il polinomio x^3 –10·x + 12 si annulla in x=2 e quindi è divisibile per x–2. Si ricava:
(x – 2)· (x^2 + 2·x – 6) = 0, perciò

x = 2, oppure x = –1 + √(7) oppure x = –1 – √(7).

Con x = 2 abbiamo (come visto) y = –1 + [√(40 –3·2^2)]/2 = –1 + √(7);
a = 6 + 2 = 8;
b = 6 – 1 + √(7) = 5 + √(7) = 7, 645751311064 ...
c = 6 – 1 – √(7) = 5 – √(7) = 2, 354248688935 ...

Se al posto di x = 2 prendo x = –1 + √7, il lato a mi viene a = 6 + x = 5 – √(7) [come il lato c del caso x = 2]. Analoga cosa se prendo x = –1 – √(7): il lato a mi viene 5 + √(7) [come il lato b del caso x = 2]. Ma non mi pare che gli altri lati vengano come nel caso x = 2 (ossia: stessa soluzione con rotazione dei lati.
Non ho controllato numericamente: ma vedo che compaiono radicali doppi.
Comunque la verifica non è difficile (ma adesso io devo uscire!): occorre semplicemente sostituire x nel calcolo di a, b e c.

Ciao, ciao.

[aspesi]

Erasmus

Le soluzioni (terne di lati) dipendono dalle soluzioni di una certa equazione cubica (abbastanza facile, per fortuna).
la soluzione meno incasinata:
a = 8;
b = 5 + √(7);
c = 5 – √(7);
..............

Il polinomio x^3 –10·x + 12 si annulla in x=2 e quindi è divisibile per x–2. Si ricava:
(x – 2)· (x^2 + 2·x – 6) = 0, perciò

x = 2, oppure x = –1 + √(7) oppure x = –1 – √(7).

Con x = 2 abbiamo (come visto) y = –1 + [√(40 –3·2^2)]/2 = –1 + √(7);
a = 6 + 2 = 8;
b = 6 – 1 + √(7) = 5 + √(7) = 7, 645751311064 ...
c = 6 – 1 – √(7) = 5 – √(7) = 2, 354248688935 ...

Ciao, ciao.

Eccezionale!

Però, non ti sei accorto di una cosa semplicissima: il triangolo in questione è rettangolo

Io sono partito supponendo questo...

Da:
a^2 + b^2 + c^2 = 128
se il triangolo fosse rettangolo:
a^2 + b^2 = c^2 = 128/2 = 64
Cioè l'ipotenusa:
c = 8

Allora:
a + b = 18 - 8 = 10 è la somma dei cateti

b = 10 - a
e:
a^2 + (10 - a)^2 = 64
a^2 + 100 - 20a + a^2 = 64
2a^2 - 20a + 36 = 0
a^2 - 10a + 18 = 0
a = 5 +- RADQ(25 - 18) = 5 +- RADQ(7)

a = 5 + RADQ(7)
b = 5 - RADQ(7)

oppure:

a = 5 - RADQ(7)
b = 5 + RADQ(7)

S = a * b /2 = (5 + RADQ(7)) * (5 - RADQ(7)) /2 = (25 - 7) / 2 = 9
che è proprio uno dei quattro risultati proposti.

[Erasmus]

Erasmus

Se al posto di x = 2 prendo x = –1 + √7, il lato a mi viene a = 6 + x = 5 – √(7) [come il lato c del caso x = 2]. Analoga cosa se prendo x = –1 – √(7): il lato a mi viene 5 + √(7) [come il lato b del caso x = 2]. Ma non mi pare che gli altri lati vengano come nel caso x = 2 (ossia: stessa soluzione con rotazione dei lati.
Non ho controllato numericamente: ma vedo che compaiono radicali doppi.

E invece si tratta proprio di permutazioni dei valori della terna dei lati, ma il triangolo è uno solo!
Ho controllato.
I radicali doppi vengono il quadrato di radicali semplici.
Il triangolo è uno solo, anche se le soluzioni, algebricamente parlando, sono tre.
Anzi:*proprio 6 come le permutazioni di tre elementi. Ho messo:
y = –x/2 + [√(40 – 3·x^3)]/2.
Ho tralasciato y = –x/2 – [√(40 – 3·x^3)]/2 commentando che il prendere l'altra determinazione della radice quadrata non cambiava le cose. In effetti, algebricamente ho tre x distinte e, per ciascuna, due y distinte; quindi 6 terne come soluzioni. Ma queste sono solo le permutazioni di una terna-soluzione!
Un po' come quando si risolve algebricamente un problema del tipo:
«L'area d'un rettangolo vale P e il perimetro 2S. Determinare i lati del rettangolo».
Detti x ed y i lati si ha:
xy = P;
x+y = S
Si trovano due soluzioni simmetriche, del tipo: [x, y] = [a, b] oppure [x, y] = [b, a]; ma il rettangolo è uno solo.

Anche qua!
Ricordiamo che risulta:
a = 6 + x; b = 6 + Y; c = 6 – (x+y)
con y = –x/2 + [√(40 – 3·x^2)]/2.

Per x = √(7) –1 abbiamo x^2 ^ 8 – 2√(7) e quindi:
y = [1 – √(7)]/2 + (1/2)·√{40 – 3·[8–2√(7)]} = [1 –√(7)]/2+ {√[16 + 6√(7)]}/2.

Il radicale doppio è ... fasullo perché √[16 + 6√(7)] = 3 + √(7).
Allora y = [1 – √(7) + 3 + √(7)]/2 = 2; e quindi:
– (x + y) = – [√(7) – 1 +2] = – [√(7) + 1];
a = 6 +x = 5 + √(7);
b = 6 + y = 8;
c = 6 – (x+y) = 6 – √(7) – 1 = 5 – √(7).

Similmente, per x = – [√(7) + 1] risulta √(40 – 3·x^2) = √[16 – 6√(7)] = 3 – √(7) e quindi:
y = [(√(7) + 1 + 3 –√(7)]/2 = 2;
– (x + y) = √(7) – 1
a = 6+x = 6 – [√(7)+1] = 5 – √(7);
b = 6 + y = 6 + 2= 8
c = 6 – (x + y) = 6 +√(7) – 1 = 5 + √(7).

Riassunto: Il triangolo è uno solo.
-------------------------------
Provo ora a cambiare area, per esempio S = 12.
Deve (come prima) risultare
–9·(x^3 – 10·x + 3) = S^2 –––> x^3 – 10·x + 3 + (S^2)/9 = 0.
Ma questa volta è S^2 = 144 e quindi 144/9 = 16 (invece di 81/9 = 9).
x^3 – 10·x + 3 + 16 = x^3 – 3x + 19 = 0.
La sola soluzione reale di questa equazione è negativa e vale x = –3,8625208478926...
Con tale x risulta:
y = –x/2 + [√(40 – 3·x^2)]/2 = 1,9312 ... + √(–1,18930047 ...).
Inutile procedere: y non è reale, due lati non risultano reali.

Anche con gli altri numeri proposti come area (11, 14, 16) si trovano lati non reali perché l'unica soluzione reale dell'equazione cubica viene negativa e di valore assoluto troppo grosso.
L'area S massima ammissibile dovrebbe essere tale che x^3 – 10 x + 3 + (S^2)/9 avesse uno zero doppio positivo. Allora il termine noto k varrebbe:
k = 2·[√(10/3)]^3 = (20/9)· √(30) = 12,171612389004... e quindi sarebbe:
k = 3 + (S^2)/9 => S^2 = 9·k – 27 = 20·√(30)–9 => S = √[20√(30) – 27] = 9.0854010093684 ...

Ti dice niente questo numero? Allora rileggi qua:

Erasmus

Se il triangolo fosse isoscele avremmo due lati lunghi x ed uno lungo y con
2x + y = 18 cm;
2·x^2 + y^2 = 128 cm^2.

Risolvendo il sistema si troverebbe
x = [18+√(30)]/3 cm ≈ (circa) 7,8257 ... cm
y = [18 –2√(30)]/3 cm ≈(circa) 2,3485 ... cm
L'area sarebbe allora [9–√(30)]·√[3+2√(10/3] cm^2 ≈ (circa) 9,085401009 ... cm^2

Ecco. Aumentando l'area il triangolo si deforma fino a divengtare isoscele ... poi non ce la fa più e diventa non reale!

Ma tu, come avevi fatto a capire che quella (9,0854 ...) era la massima area possibile per il tuo quiz?
-------------------
No: non mi ero accorto che il triangolo fosse rettangolo!
Ero fisso sulla posizione di "leggermente scaleno" che avevo pensato fin dall'inizio (ed infatti ... rettangolo sì ma con un cateto spiccatamente più corto dell'altro in modo che l'altro è quasi lungo come l'ipotenusa.

Ultima: La soluzione l'avevo già trovata numericamente correggendo per tentativi i lati del triangolo isoscele di area 9,0854 ... che già avevo trovato (col primo approccio) in modo da riportarlo all'area 9.
E' bastato un solo colpo per trovare (per estrapolazione numerica) 10 cifre significative buone nelle accuratezze del perimetro, della somma dei quadrati e dell'area.
Confrontando poi con la soluzione analitica ... ecco che 10 o 12 cifre significative buone ci stanno anche nelle lunghezze dei lati. Uno di questi veniva 7,999999999... ed era evidentemente 8. Gli altri due ... non potevo capire che ci stava sotto √(7).

Ciao, ciao.
Anzi: hai provato qua? => http://www.trekportal.it/coelestis/s...2&postcount=16

[aspesi]

Erasmus

Riassunto: Il triangolo è uno solo.
-------------------------------

L'area S massima ammissibile dovrebbe essere tale che x^3 – 10 x + 3 + (S^2)/9 avesse uno zero doppio positivo. Allora il termine noto k varrebbe:
k = 2·[√(10/3)]^3 = (20/9)· √(30) = 12,171612389004... e quindi sarebbe:
k = 3 + (S^2)/9 => S^2 = 9·k – 27 = 20·√(30)–9 => S = √[20√(30) – 27] = 9.0854010093684 ...

Ti dice niente questo numero? Allora rileggi qua:
Ecco. Aumentando l'area il triangolo si deforma fino a divengtare isoscele ... poi non ce la fa più e diventa non reale!

Ma tu, come avevi fatto a capire che quella (9,0854 ...) era la massima area possibile per il tuo quiz?

Triangolo con perimetro = 18:

-Area massima (equilatero) = 3*RADQ(27) = 15,588... (esclude già la soluzione 16)
-Somma dei quadrati dei lati:
Minima = 108
Massima =< 162

Dalla condizione:
a^2 + b^2 + (18-a-b)^2 = 128
si può esprimere b in funzione di a (equazione di secondo grado)

Con Erone si ha:
S = RADQ((9*(9-a)*(9-b)*(9-c))
Si può esprimere b e c come funzione di a e studiare la funzione S(a) per trovare il valore massimo di S
Ovviamente, io non so assolutamente calcolare le derivate ... e allora, con un foglio Excel ho fatto un po' di tentativi numerici, trovando che il valore max di S vale circa 9,0854... (come tu hai dimostrato matematicamente)

Erasmus

Anzi: hai provato qua? => http://www.trekportal.it/coelestis/s...2&postcount=16

Scusa, ma non ci provo neppure a seguire questi thread...
La trigonometria non la capivo e non mi piaceva neppure 50 anni fa a scuola...

Ciao
Nino

[Erasmus]

aspesi

Scusa, ma non ci provo neppure a seguire questi thread...
La trigonometria non la capivo e non mi piaceva neppure 50 anni fa a scuola...

E sbagli!
La trigonometria, in fondo, non è che un modo ... "più fertile" di fare geometria astratta, privilegiando i tratti caratteristici della forma di una figura geometrica (dati dalle inclinazioni reciproche di rette, segmenti e direzioni) piuttosto che l'estensione spaziale (lunghezze, aree, volumi). Per esempio: dire che due triangoli rettangoli sono simili equivale a dire che i rapporti tra i lati corrispondenti sono gli stessi: e, preso a riferimento uno degli angoli acuti, questi rapporti sono il seno, il coseno e la tangente di quell'angolo. Ma sono d'accordo con te se intendi che i libri di scuola ce la mettevano tutta per rendere antipatica la trigonometria. Il vizio sta all'origine: confusione tra "teoria delle funzioni seno, coseno e tangente" (che hanno senso anche prescindendo dai triangoli e dalla stessa geometria in toto) e "studio delle forme geometriche, specialmente dei triangoli" ("trigonometria" appunto) avvalendosi degli strumenti più idonei (che restano le funzioni seno, coseno e tangente). Il mio ricordo scolastico è pure piuttosto brutto: un mare di formule, spesso non solo senza capirne l'utilità ma addirittura senza mai applicarle se non in esercizi solo interni alla teoria delle funzioni e fine e se stessi, (tipo: «Provare la seguente identità ...", e giù una formula chilometrica uguagliata magari ad 1 o ad una espressione brevissima). A quegli autori di libri scolastici pare che la bellezza della matematica consista nel cercare sequele dall'aspetto complicato che alla fine valgano qualcosa di "tondo", come zero, o 1. Stessa impressione ho avuto nello studio dei radicali. L'attenzione al significato stesso delle nozioni passava quasi in secondo piano rispetto alle figata di lungaggini senza senso da semplificare.

Ma ... prova a vedere le cose "geometricamente"!
Per esempio: hai un piramide a base triangolare con gli spigoli delle tre facce laterali uguali (quindi con le tre facce laterali che sono "triangoli isosceli"). [Piramide che poi non è che un "tetraedro" i cui tre spigoli concorrenti in un certo vertice hanno la stessa lunghezza]. Supponi di conoscere la lunghezza dei tre spigoli uguali e gli angoli al vertice dei tre triangoli isosceli che sono le facce laterali. Se ci pensi ... di questa piramide "sai tutto" dal momento che con questi 4 dati la puoi costruire. Basta prendere tre angoli con quelle ampiezze (per esempio di carta ... un po' robusta) e abbastanza ... "lunghi", ricavarne tre triangoli isosceli con lati "al vertice" tutti 6 uguali ed assemblare i tre ritagli triangolari. Domanda 1: quant'è il volume di questa piramide?
Osserva poi che essa si può infilare in un cono (circolare retto) con opportuna "apertura" in modo che gli spigoli siano tangenti alla superfice interna del cono. Quel cono è quello di ingombro della "piramide", quello che vedresti per persistenza dell'immagine se facessi girare la piramide attorno alla perpendicolare per il vertice alla sua base con sufficiente velocità (facciamo di almeno una ventina di giri al secondo).
Domanda 2: quant'è l'apertura di questo cono? [L'apertura di un cono, ... cos'è? Pensa a generare il cono facendo girare un triangolo rettangolo attorno ad un cateto. "Apertura" del cono generato è l'angolo del triangolo rettangolo (generatore) tra l'ipotenusa e il "cateto-perno"].
Vedi allora che qui non interessano valori di lunghezze o di aree, ma solo la "forma" della nostra piramide, la quale è data da due cose: a) l'essere i tre spigoli di uguale lunghezza (non importa quale); b) l'essere i tre spigoli inclinati come sono uno sull'altro (o, equivalentemente, l'essere due facce inclinate come sono una sull'altra). E nota che un angolo in fondo non è che un "rapporto", ancora espressione di forma più che di "estensione".

Beh: chiedo scusa di questa divagazione. Volevo, però, far notare ancora una volta che nell'astrazione matematica c'è qualcosa di ... meraviglioso, [wunderschön in tedesco, con parola che fonde le radici di "meraviglia" e di "bellezza"], assolutamente "umanistico": sia in senso "razionale" (logico) che "estetico" (di "bellezza", di "purezza di pensiero" – almeno per me ... ma mi sento in ottima compagnia –).
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Ciao, ciao.
Ciao a tutti gli eventuali visitatori.
Aguri (tradivi) di "Buona Festa"! [Immacolata]
=> http://www.youtube.com/watch?v=A2mkjym6nGs ("Gaudens Gaudebo", coro voci bianche)
=> http://romaaeterna.jp/liber2/lu1316.gif (Testo su spartito in gregoriano)