Qualche quiz

[astromauh]

Erasmus

Ma poi ho pensato che per voi, moderni, la cosa sarebbe stata inconsueta.

Tanto moderno non debbo essere, visto che il pascal (turbo) è il primo linguaggio di programmazione che ho conosciuto.

Era un linguaggio piuttosto barboso, forse è per questo che ti piace tanto.


:hello

PS

Scherzo, solo che mi costava un po' di fatica mettere tutti quei punti e virgola.

Ma hai deciso di farmi concorrenza? Cos'è quel cerchio con 11 raggi?
Guarda che i raggi dovrebbero essere 12.

[Erasmus]

astromauh

... hai deciso di farmi concorrenza? Cos'è quel cerchio con 11 raggi?
Guarda che i raggi dovrebbero essere 12.

Sai leggere?
Cos'è quella stella (che non è un cerchio) si capisce leggendo il "papiro".
[Beh, veramente non basta saper leggere, occorre anche essere in grado di capire ...]
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[astromauh]

Purtroppo i simboli contenuti nel tuo papiro non li capisco proprio, per cui non ci provo nemmeno a cercare di capire di che cosa si tratta.

[nino280]

Vedo soltanto ora questo quiz sui segmenti che partono da un vertice di un poligono inscritto che moltiplicati fra di loro fanno, non so cosa fanno.
Bah, accendiamo il Cad e faccio un esagono da 100 è evidente che Erasmus l'ha già fatto tramite le lettere, ma io lo faccio con i numeri.
Non so nemmeno quanti giorni fa Erasmus lo ha già fatto, forse 10 giorni fa, ma io sono indietro, mi ricordo all' avviamento ed anche alle serali, allora vi erano i trimestri, al quarto trimestre, io dovevo ancora capire le cose del primo trimestre; dicevo:
disegno un esagono raggio 100 (ho sentore che sia la verifica più veloce) traccio cinque segmenti da un vertice a tutti gli altri vertici, e misuro: 100;173,205;200;173,205;100 moltiplico fra di loro e la calcolatrice mi da 5,999999erottix10^10 quindi 60 miliardi.
Poi scopiazzo la vostra formula e risolvo:
6 x 100^5 = 6 x 10^10 = 60 miliardi
Adesso Erasmus mi dirà: ci mancava tanto la tua verifica

[aspesi]

nino280

Adesso Erasmus mi dirà: ci mancava tanto la tua verifica

Beh... per l'esagono è molto facile, visto che, posto =r il raggio del cerchio circoscritto, le distanze di un vertice da tutti gli altri sono:
r
r*RADQ(3)
2r
r*RADQ(3)
r

Per cui il loro prodotto è: (1*RADQ(3)*2*RADQ(3)*1)r^5 = 6r^5

Difficile è verificare il teorema mano a mano che aumentano i lati del poligono (v. Erasmus per l'endecagono )
Ma con il tuo CAD la verifica dovrebbe essere più semplice.

[Erasmus]

aspesi

Beh... per l'esagono è molto facile, ...

E' facile per ogni n-agono regolare se si conoscono i valori delle funzioni seno e coseno di un n-esimo di angolo piatto, e quindi (per multiplazione) di kπ/n, (k = 1, 2, ..., n).

Fare la verifica col CAD di Nino280 o con la mia Calcolatrice Grafica o con qualsiasi mezzo di calcolo automatico (più o meno diabolico), equivale a conoscere sempre i valori delle funzioni trigonometriche.
[Tu NON li sai (sempre); ma il CAD, la Calcolatrice, ecc SI' ].
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Per l'esagono abbiamo: [NB: angoli scrtti in modo da non infastidire Nino280 ]
P(6) = (2^5)·sin(30°)·sin(60°)·sin(90°)·sin(120°)·sin(150 °).

Nino280 e anche noi sappiamo che:
sin(30°) = sin(150°) = 1/2;
sin(60°) = sin(120°) =√(3)/2;
sin(90°) = 1.

Con ciò il prodotto P(6) diventa:
P(6) = 32·[(1/2)^2]·1·[√(3)/2]^2 = 32·(1/4)·1·(3/4) = 8·3/4 = 24/4 = 6.

Oppure, geometricamente, (per far piacere ai Nini – e ... scusa, aspesi, se ridico qauel che hai sinteticamente già detto tu –), delle 5 distanze:
• le due minori (due lati) sono lunghe come il raggio, diciamo 1.
• la maggiore è lunga come il diametro, cioè 2.
• le altre due diagonali sono lati di un triangolo equilatero che ha il centro distante un raggio [cioè 1] dai vertici (*), e quindi la loro lunghezza è √(3).

(*) In generale, se L è il lato d'un triangolo equilatero ed R è la distanza del centro dai vertici, R è 2/3 dell'altezza H, la quale è √(3)/2 volte il lato L ; e quindi:
R = (2/3)·H = (2/3)· [√(3)/2] ·L = [√(3)/3]·L
da cui L = [3/√(3)]·R = √(3)·R.

Sicché il nostro P(6) viene da:
P(6)·R^5 = (2^5)·{R·[√(3)R]· (2R)·[√(3)R]·R} = 32·{(1^2)·[√(3)^2]·2}·R^5 = 6·R^5.
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Ho detto, però, che per n abbastanza piccolo (tale da non farti mollare nella faticaccia di proseguire i conticini algebrici noiosi e con un fottìo di termini), si trova che la formula è giusta senza conoscere i valori delle funzioni trigonometriche.
Questo è molto importante perché fa pensare che, qualunque sia n, la verifica si può fare "in linea di principio": basta avere sufficienti dosi di pazienza e di diligenza; e si può anche fare, programmando il computer (che di pazienza e diligenza ne ha sempre a sufficienza) a fare i calcoli simbolici (senza usare i valori delle funzioni trigonometriche), dato che c'è, in sostanza, solo da applicare ripetutamente una formula di prostaferesi (sempre quella) ... e fare poi la semplificazione dei termini simili.
Ho "postato" appunto la verifica per l'ettagono (n = 7) eper l'endecagono (n = 11).
Ma mica, in tali verifiche, ho usato i valori delle funzioni trigonometriche!
Continuando ad applicare la stessa formula di prostaferesi, nel caso di n dispari si arriva a
P(n) = n + <proiezione su una retta di una stella di vettori a simmetria centrale, quindi con somma nulla>
Nel caso di n pari si semplifica continuamente fino a ridursi a frazioni dispari di angolo piatto e quindi .... ancora come prima (anche se la stella ha meno raggi!).

Ma questo teorema ... mi sta ancora ossessionando, perché vorrei trovare una dimostrazione generale "deduttiva".
Invece siamo tuttora ... alla situazione sperimentale "induttiva" (come in Fisica e, in generale, per ogni "legge" in ambito scientifico).
Siccome ogni volta che verifico la formula su un esempio trovo che funziona, "induco" che la "legge" deve essere "generale" (valida per ogni intero n > 1). Ma questa induzione, anche se come ingegnere mi persuade (come mi convince, per esempio, la congettura di Goldbach), non è una "dimostrazione matematica" di quella tesi!
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[aspesi]

Erasmus

E' facile per ogni n-agono regolare se si conoscono i valori delle funzioni seno e coseno di un n-esimo di angolo piatto, e quindi (per multiplazione) di kπ/n, (k = 1, 2, ..., n).

Per l'esagono ho: [NB: scrivo gli angoli in modo da non infastidire Nino280 ]
P(6) = (2^5)·sin(30°)·sin(60°)·sin(90°)·sin(120°)·sin(150 °).

Ma per l'esagono (e il triangolo equilatero, e il quadrato, ...) il calcolo è semplicissimo anche senza conoscere i valori delle funzioni trigonometriche. Basta Pitagora e un po' di geometria elementare (è questo che volevo dire)

Erasmus

Oppure, geometricamente, (per far piacere ai Nini), delle 5 distanze:
• le due minori (due lati) sono lunghe come il raggio, diciamo 1.
• la maggiore è lunga come il diametro, cioè 2.
• le altre due diagonali sono lati di un triangolo equilatero che ha il centro distante un raggio – cioè 1 – dai vertici (*), ossia √(3).

(*) In generale, se L è il lato d'un triangolo equilatero ed R è la distanza del centro dai vertici, R è 2/3 dell'altezza H, la quale è √(3)/2 volte il lato L ; e quindi:
R = (2/3)·H = (2/3)· [√(3)/2] ·L = [√(3)/3]·L
da cui L = [3/√(3)]·R = √(3)·R.

Sicché il nostro P(6) viene da:
P(6)·R^5 = (2^5)·{R·[√(3)R]· (2R)·[√(3)R]·R} = 32·{(1^2)·[√(3)^2]·2}·R^5 = 6·R^5.

Esattamente quello che avevo scritto.

[Erasmus]

aspesi

Esattamente quello che avevo scritto.

Sì. Avevo già visto; e perciò sono andato a modificare (prima di leggerti in quel che ho citato) per scusarmi della ripetizione.
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[Erasmus]

aspesi

... per l'esagono [...] il calcolo è semplicissimo anche senza conoscere i valori delle funzioni trigonometriche. Basta Pitagora e un po' di geometria elementare (è questo che volevo dire)

Certamente!
Ma, [a parte il fatto che la trigonometria è comoda ma non indispensabile in quanto, in fondo, non è altro che applicazione di Pitagora e di similitudini tra triangoli], proprio dalla facilità della geometria del quadrato, del triangolo equilatero e dell'esagono t'hanno insegnato per primi i valori delle funzioni seno e coseno degli angoli di 45°, 30° e 60°; e di conseguenza quelli di 120° e 150°. In fondo, non c'è altro che il teorema di Pitagora per
• triangolo rettangolo isoscele (come quello che ha per cateti i lati L d'un quadrato e per ipotenusa la diagonale D dello stesso), cioè
L^2 + L^2 = D^2 ––> L/D = √(2)/2 ––> sin(45°) = cos(45°) = √(2)/2;
• triangolo rettangolo metà del triangolo equilatero, (per il quale è facile trovare l'altezza H), cioè
(L/2) / L = 1/2 ––> sin(30°) = cos(60°) = 1/2;
H^2 = L^2 – (L/2)^2 ––> H/L = √(3)/2 ––> sin(60°) = cos(30°) = √(3)/2.
Subito dopo ti insegnavano:
sin(150°) = sin(180°–30°) = sin(30°)= 1/2; sin(120°) = sin(180° –60°) = sin(60°) = √(3)/2;
cos(150°) = cos(180°–30°) = –cos(30°)= –√(3)/2; cos(120°) = cos(180° –60°) = –cos(60°) = –1/2.

Dunque, tra i primi particolari valori delle funzioni seno e coseno che si imparavano e la geometrietta cui ti riferisci tu non c'è poi tanta differenza!
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Più avanti ti insegnavano la sezione aurea e ti mostravano che il triangolo isoscele con angolo al vertice di 36 gradi aveva la base B che era la sezione aurea del lato obliquo L; ovvero:
B : L = (L–B) : B ––> B^2 = L·(L– B) ––> B/L = [√(5) – 1]/2 ––> sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4.

Ecc. ecc.

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[nino280]

B : L = (L–B) : B ––> B^2 = L·(L– B) ––> B/L = [√(5) – 1]/2 ––> sin(18°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4. ( Da Erasmus)

Faccio una osservazione + che banale anzi banalissima che non si pensi che la sezione aurea sia radicequadratadicinquemenounofrattoquattro come si potrebbe pensare osservando il finale di questa espressione di Erasmus,
bensì fratto 2, ed in effetti è scritta correttamente dopo il terzo =
Ciao