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Vecchio 05-04-12, 12:46   #1111
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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occhiodilince Visualizza il messaggio
L'esagono.
E quanto viene il rapporto area/perimetro?
(Comunque, si può far meglio)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-04-12, 12:49   #1112
astromauh
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Predefinito Re: Qualche quiz

Anche per il cerchio iscritto nel quadrato. il rapporto è 1/4.

A/P = pi * r^2 / 2* pi* r = r / 2

Se r=0,5

A/P= 1/4

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astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-04-12, 12:54   #1113
occhiodilince
 
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Predefinito Re: Qualche quiz

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aspesi Visualizza il messaggio
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E quanto viene il rapporto area/perimetro?
(Comunque, si può far meglio)
Se non ricordo male circa 0,866, se vuoi andare oltre arrivi al dodecagono circa 1,86 (credo di ricordare), ma a me piace l'esagono:
http://naturamatematica.blogspot.it/...natura-la.html
  Rispondi citando
Vecchio 05-04-12, 13:00   #1114
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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occhiodilince Visualizza il messaggio
Se non ricordo male circa 0,866, se vuoi andare oltre arrivi al dodecagono circa 1,86 (credo di ricordare), ma a me piace l'esagono:
http://naturamatematica.blogspot.it/...natura-la.html
Non è così.
0,866 equivale a RADQ(3)/2 ed è la lunghezza dell'apotema rispetto a quella del lato.

Un esagono regolare non può "toccare" tutti i 4 lati del quadrato.
Facendo il calcolo, il perimetro dovrebbe essere=3 e l'area= 2,59808*(0,5)^2 e quindi il loro rapporto è solo 0,216507 (quindi, inferiore al quadrato di partenza)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-04-12, 13:03   #1115
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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astromauh Visualizza il messaggio
Anche per il cerchio iscritto nel quadrato. il rapporto è 1/4.

A/P = pi * r^2 / 2* pi* r = r / 2

Se r=0,5

A/P= 1/4

Vero!
Ma non è il massimo.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-04-12, 06:58   #1116
aspesi
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Quale regione all'interno di un quadrato di lato 1 possiede il maggior rapporto area / perimetro ?


Nessuno che ci prova?
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-04-12, 11:22   #1117
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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[...]
(In pratica si tratta di costruire una figura all'interno del quadrato che abbia il rapporto maggiore area/perimetro, che, ad esempio, è 1/4 per il quadrato)
Per i perimetri regolari il massimo del rapporto si ha per apotema pari ad 1/2.
Allora i lati sono in numero multiplo di 4.
In tal caso, (apotema = 1/2) l'area è
<mezzo perimetro per apotema> = (perimetro)/4
Pertanto il rapporto area/perimetro = 1/4 per ogni poligono regolare con numero di lati multiplo di 4 (e il cerchio è il caso limite al tendere all'infinito del numero di lati).
----------
Ho trovato qualche forma che dà un rapporto un po' maggiore di 1/4.
Disegnato il quadrato, si traccino 4 segmenti di uguale lunghezza, uno per vertice, inclinati di 45° sui lati e con gli estremi su due lati consecutivi. Si ottiene un ottagono irregolare con quattro lati uguali centrati sui 4 lati del quadrato e altri 4 a 45° su questi.
Sia x la distanza di un vertice dell'ottagono dal vertice più vicino del quadrato.
L'area dell'ottagono è 1 – 4·(x^2)/2 = 1 – 2·x^2
Il perimetro è (4 – 8·x) + [4·√(2)]x = 4·{1 –[2 – √(2)]x}
Il rapporto (1/4)·(1 – 2·x^2)/{1 –[2 – √(2)]x}.
Al variare di x questo rapporto ha un massimo (per un certo x compreso tra 0 e 1/2) maggiore di 1/4, che vale circa (1,047)·1/4

Ancora meglio se si attacca a ciascun lato obliquo un "lunotto" circolare (tangente a due lati consecutivi) ottenendo un quadrato con gli angoli smussati.
Anche qui, al variare dii x si ottiene un massimo che è circa 1,0603 · (1/4)

Ciao ciao
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Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 12-04-12 12:28.
Erasmus ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-04-12, 12:55   #1118
aspesi
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Erasmus Visualizza il messaggio
Sia x la distanza di un vertice dell'ottagono dal vertice più vicino del quadrato.
L'area dell'ottagono è 1 – 4·(x^2)/2 = 1 – 2·x^2
Il perimetro è (4 – 8·x) + [4·√(2)]x = 4·{1 –[2 – √(2)]x}
Il rapporto (1/4)·(1 – 2·x^2)/{1 –[2 – √(2)]x}.
Al variare di x questo rapporto ha un massimo (per un certo x compreso tra 0 e 1/2) maggiore di 1/4, che vale circa (1,047)·1/4
Perfetto!
Il massimo è 0,261755... con x=0,1533

Quote:
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Ancora meglio se si attacca a ciascun lato obliquo un "lunotto" circolare (tangente a due lati consecutivi) ottenendo un quadrato con gli angoli smussati.
Anche qui, al variare dii x si ottiene un massimo che è circa 1,065 · (1/4)

Ciao ciao
OK, i rapporti possono migliorare se le smussature sono arrotondate con archi di circonferenza tangenti ai lati del quadrato, di raggio x pari alla distanza tra i vertici del quadrato e i punti di tangenza.
Variando x tra 0 e 0,5 si passa dal quadrato originale al cerchio inscritto (rapporto area/perimetro = 0,25 in entrambi i casi)

Però, io trovo che il massimo è un po' minore rispetto a quello calcolato da te e precisamente:
S/P = 0,265079...
per x=0,2651..

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 06-04-12, 16:49   #1119
Erasmus
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aspesi Visualizza il messaggio
... io trovo che il massimo è un po' minore rispetto a quello calcolato da te e precisamente:
S/P = 0,265079...
per x=0,2651
Ho fatto un ... qui pro quo
Dovevo scrivere che il massimo della funzione:
f(x) =(1/4)·{[1– (4 – π)·x^2]/[1 – (4 – π)·x/2]}
è
(1/4)·1,0603178085... = 0,26507945213...
Ma sai che sono lento ... Mia moglie mi chiamava a tavola; e così, sicuro di ricordare a memoria le prime cifre, ho scritto in fretta (rispetto al mio standard, non in assoluto!) andando a memoria; e ho scritto (1/4)·1,047 per l'ottagono irregolare, (che probabilmente va bene) e (1/4)·1,065 per l'ottagono con i lunotti, (o quadrato smussato) ... che invece va male.

Ma siamo sicuri che sia questo il massimo assoluto?
Pensa ad un dodecagono irregolare fatto mettendo triangoli isosceli al posto di settori circolari sui 4 lati inclinati rispetto a quelli del quadrato. Chiama y l'altezza comune dei 4 triangolini aggiunti. Hai un dodecagono irregolare (ma sempre con i suoi bei 4 assi si simmetria speculare nel suo piano) la cui forma (e area e perimetro) dipende da due variabili x ed y. Magari si trova un massimo del rapporto maggiore di quello detto.
E se poi metti degli opportuni segmenti di cerchio sugli 8 lati non paralleli ai lati del quadrato?
E se al posto di questi metti ancora triangoli isosceli?
Forse, continuando a triangoli isosceli, si converge verso un massimo assoluto. Forse la forma tende ad una specie di quadrato smussato con uno smusso che arriva (o no) al centro di ogni lato a curvatura continua ma non unica (cioè: ad ogni angolo un arco di curva chiusa tipo cerchio ma non circolare). Occorrerebbe
• scrivere il rapporto area/perimetro per un generico numero n di aggiunte triangolari partendo da un ottagono irregolare, e quindi funzione di n variabili,
• trovare dove si annullano tutte le n variabili,
• vedere se davvero il rapporto cresce al crescere di n,
• se così è, passare al limite per n tendente all'infinito.

Alla k-esima aggiunta il numero di lati cresce di 4·2^k, (di 8 alla prima aggiunta, di 16 alla seconda, di 32 alla terza, ...).
Un problemino interessante solo dal puro punto di vista matematico.

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Erasmus
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Vecchio 06-04-12, 17:59   #1120
aspesi
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Occorrerebbe
• scrivere il rapporto area/perimetro per un generico numero n di aggiunte triangolari partendo da un ottagono irregolare, e quindi funzione di n variabili,
• trovare dove si annullano tutte le n variabili,
• vedere se davvero il rapporto cresce al crescere di n,
• se così è, passare al limite per n tendente all'infinito.

Alla k-esima aggiunta il numero di lati cresce di 4·2^k, (di 8 alla prima aggiunta, di 16 alla seconda, di 32 alla terza, ...).
Un problemino interessante solo dal puro punto di vista matematico.

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A occhio non mi pare che in questo modo il rapporto sia maggiore.
Però, non saprei assolutamente come dimostrarlo e fare i calcoli...

Se hai voglia e tempo...

aspesi non in linea   Rispondi citando
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