Questo sito si serve dei cookie per fornire servizi. Utilizzando questo sito acconsenti all'utilizzo dei cookie - Maggiori Informazioni - Acconsento
Atik
Coelum Astronomia
L'ultimo numero uscito
Leggi Coelum
Ora è gratis!
AstroShop
Lo Shop di Astronomia
Photo-Coelum
Inserisci le tue foto
DVD Hawaiian Starlight
Skypoint

Vai indietro   Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia > Il Mondo dell'Astronomo dilettante > Rudi Mathematici
Registrazione Regolamento FAQ Lista utenti Calendario Cerca Messaggi odierni Segna come letti

Rispondi
 
Strumenti della discussione Modalità  di visualizzazione
Vecchio 29-06-10, 12:24   #161
Piotr
Moderatore
 
L'avatar di Piotr
 
Data di registrazione: Oct 2005
Ubicazione: Provincia di Torino
Messaggi: 762
Predefinito Re: pi greco

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Piotr:
(...)
Ma è l'esempio che porti che mi pare sbagliato!

Il fatto che risulti:

Z(2) = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/N^2 + ... = (π^2)/6

non significa che "questo" Pi-greco non sia pure il rapporto tra una circonferenza ed il suo diametro!

Perdincibacco, Erasmus, che PiGreco - anche "questo" PiGreco - sia esso stesso interpretabile anche come rapporto tra una circonferenza e un diametro è cosa che io non mi sogno certo di mettere in discussione: ma resta il fatto che in un universo ipotetico dove non esistono cerchi, ma solo quadrati, il nostro caro Pi Greco salterebbe comunque fuori. E quindi asserire in maniera decisa e univoca che Pi Greco è "solo" il rapporto tra circonferenza e diametro secondo me è sbagliato: Pi Greco è una costante universale di peso ancora maggiore, non limitata all'esistenza del cerchio.

Ormai ci abbiamo fatto il callo, ma ti ricordi che gran sorpresa fu, per Archimede, scoprire che in ultima analisi era sempre la stessa costante, seppure elevata a potenze crescenti, a regolamentare la lunghezza della circonferenza, l'area del cerchio e il volume della sfera?
__________________
Mi contraddico? Ebbene, mi contraddico!
Sono un universo, contengo miracoli.
(Walt Whitman)
Piotr non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-06-10, 21:15   #162
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,990
Predefinito Re: pi greco

Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
Visto che qui ci si sbizzarrisce propongo una serie per il calcolo di pi.
Come efficienza è una schifezza, però è carina:
pi/8 = 1/(1*3) + 1/(5*7) + 1/(9*11) + 1/(13*15) ...
piacevolezze della matematica ...
A proposito di "serie carine" e di "velocità di convergenza", metto qui un esempio di "accelerazione della convergenza".

Si tratta di un "giochino" iterativo, applicabile alle serie a segno alterno, come è la emblematica serie di Leibniz:
π/4 = arctan/1) = 1–1/3+1/5–1/7+ ... = <Somma, per n da 0 a oo, di [(-1)^n]/(2n+1)>

Metto il tutto in un nuovo "paper".
=> Accelera la convergenza a Pi-Greco! (PNG)
----------------------
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Links Sponsorizzati
Astrel Instruments
Vecchio 30-06-10, 15:19   #163
nino280
Utente Super
 
L'avatar di nino280
 
Data di registrazione: Dec 2005
Ubicazione: Torino
Messaggi: 9,400
Predefinito Re: pi greco

Quote:
Piotr Visualizza il messaggio
Perdincibacco, Erasmus, che PiGreco - anche "questo" PiGreco - sia esso stesso interpretabile anche come rapporto tra una circonferenza e un diametro è cosa che io non mi sogno certo di mettere in discussione: ma resta il fatto che in un universo ipotetico dove non esistono cerchi, ma solo quadrati, il nostro caro Pi Greco salterebbe comunque fuori. E quindi asserire in maniera decisa e univoca che Pi Greco è "solo" il rapporto tra circonferenza e diametro secondo me è sbagliato: Pi Greco è una costante universale di peso ancora maggiore, non limitata all'esistenza del cerchio.

Ormai ci abbiamo fatto il callo, ma ti ricordi che gran sorpresa fu, per Archimede, scoprire che in ultima analisi era sempre la stessa costante, seppure elevata a potenze crescenti, a regolamentare la lunghezza della circonferenza, l'area del cerchio e il volume della sfera?
E' vero Piotr, Pi Greco salta fuori anche senza avere necessariamente cerchi e circonferenze, e la prima cosa che mi viene in mente sono "Gli aghi di Buffon".
L'ago a giace a cavallo di una linea, l'ago b no.

Mi ricordo tempo fa era stato postato un bel video con gli aghi che cadevano ed un contatore che evidenziava l'approssimazione a Pi greco, ora non lo trovo più.
http://it.wikipedia.org/wiki/Ago_di_Buffon
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 30-06-10 15:23.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 30-06-10, 15:45   #164
Mizarino
Utente Super
 
L'avatar di Mizarino
 
Data di registrazione: May 2004
Messaggi: 9,719
Predefinito Re: pi greco

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
E' vero Piotr, Pi Greco salta fuori anche senza avere necessariamente cerchi e circonferenze, e la prima cosa che mi viene in mente sono "Gli aghi di Buffon".
EhEh, ti sembra di non aver a che fare con cerchi e circonferenze ...
In realtà questi sono nascosti nell'orientazione che assume l'ago. Posto che il punto medio dell'ago caschi in un certo punto, le possibili orientazioni dell'ago fanno sì che i suoi estremi descrivano una circonferenza ...
Mizarino ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 01-07-10, 09:48   #165
Piotr
Moderatore
 
L'avatar di Piotr
 
Data di registrazione: Oct 2005
Ubicazione: Provincia di Torino
Messaggi: 762
Predefinito Re: pi greco

Già, Nino,
come dice l'infallibile Miza, negli aghi di Buffon i cerchi ci sono eccome... ciò non toglie che "l'esperimento" che mira a dare una "valutazione sperimentale" di PiGreco (per quanto questa cosa possa sembrare abbastanza blasfema, dal punto di vista degli idealisti) è davvero grazioso e istruttivo.
Mi ricordo che, senza buttare davvero aghi per terra, è stato un dei primi programmi in Fortran che ho fatto, simulando non so più quante prove per vedere che grado si approssimazione si otteneva tra il Pi sperimentale e quello teorico...
__________________
Mi contraddico? Ebbene, mi contraddico!
Sono un universo, contengo miracoli.
(Walt Whitman)
Piotr non in linea   Rispondi citando
Vecchio 02-07-10, 01:28   #166
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,990
Predefinito Re: pi greco

Quote:
Piotr Visualizza il messaggio
a) Perdincibacco, Erasmus, che PiGreco - anche "questo" PiGreco - sia esso stesso interpretabile anche come rapporto tra una circonferenza e un diametro è cosa che io non mi sogno certo di mettere in discussione: ma resta il fatto che in un universo ipotetico dove non esistono cerchi, ma solo quadrati, il nostro caro Pi Greco salterebbe comunque fuori. E quindi asserire in maniera decisa e univoca che Pi Greco è "solo" il rapporto tra circonferenza e diametro secondo me è sbagliato: Pi Greco è una costante universale di peso ancora maggiore, non limitata all'esistenza del cerchio.
b) Ormai ci abbiamo fatto il callo, ma ti ricordi che gran sorpresa fu, per Archimede, scoprire che in ultima analisi era sempre la stessa costante, seppure elevata a potenze crescenti, a regolamentare la lunghezza della circonferenza, l'area del cerchio e il volume della sfera?
NB: La suddivisione con le lettere a) e b) la fa adesso Erasmus per rispondere specificamente.

a) Scusa, Piotr, se ... insisto.
Si sa che, segnando su una superficie cilindrica di raggio r l'ellisse intersezione di essa con un piano inclinato di 45° sull'asse del cilindro e poi svolgendo la superficie su un piano (dopo aver tagliato la superficie cilindrica lungo una sua generatrice) si ottiene una bella sinusoide di ampiezza r e periodo 2πr.
Dunque, se considero una sinusoide con l'argomento in radianti, il periodo diviso per il doppio dell'ampiezza è proprio il rapporto π tra la lunghezza d'una circonferenza ed il suo diametro.
Pertanto, nel "background" della funzione sin(x)/x, ci sta il concetto che l'intervallo tra due flessi consecutivi della sinusoide è quel rapporto π tra la lunghezza di una circonferenza ed il suo diametro.
Conosciamo ia "nozione" di π: ma questa non ci dice "quanto" è!
Eulero ha scoperto che la funzione sin(x)/x è il limite, per N ––> oo, del polinomio
P(x, N) = <Prodotto, per k di 1 a N, di {1 – [x/(kπ)]^2} >.
Questa è del tipo:
P(x, N) = 1 – A2(N)*x^2 + A4(N)*x^4 - A6(N)*x^6 + ...
dove
A2(N) = 1/π^2 + 1/(2π)^2 + ... +1/(Nπ)^2.
D'altra parte, sviluppando in serie di Mc Laurin sin(x), ricaviamo:
sin(x)/x = 1 – x^2/3! + x^4/5! –x^6/7! + ... =
= <Somma, per k da 0 a oo, di [(–1)^k]*[x^(2k)]/(2k+1)! >.

Pertanto deve essere:
1/6 =A2(oo) = (1/π^2)·(1 + 1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 +1/5^2 + ...) = ζ(2)/π^2
e in definitiva
π = √[6*(1+1/2^2 +1/3^2+ ... )].
In sostanza, detta R(k) la ridotta k-esima della serie ζ(2), Eulero ha trovato che la successione crescente:
{p(k)} = {√[6*R(k)]}
per k ––> oo tende al rapporto tra la la lunghezza d'una circonferenza e la lunghezza del suo diametro.

Quello che ha fatto Archimede è sì diverso, ma analogo a quel che ha fatto Eulero.

Limitandoci ai poligoni regolari di 6*(2^k) lati (k = 1, 2, ...) come ha fatto Archimede, le classi contigue numeriche corrispondenti a quelle geometriche dei perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti allo stesso cerchio, si possono pensare indipendentemente dal cerchio in cui\a cui i poligoni sono inscritti\circoscritti!
Basta considerare il rapporto tra il perimetro d'un tale poligono ed il diametro maggiore –la diagonale più lunga – (rapporto che cresce ad ogni raddoppio del numero di lati) e il rapporto tra il perimetro ed il diametro minore – che è la distanza tra lati opposti – (rapporto che cala ad ogni raddoppio).
Ad essere pignoli come i geometri greci "classici", la circonferenza d'un cerchio non ha nulla a che vedere col perimetro d'un poligono regolare, perché la circonferenza è "curva" in ogni suo punto, mentre il "bordo" di un poligono non è curvo in nessun punto.
Dunque, a pensarci bene, anche nel metodo di Archimede non c'è nemmeno l'ombra del cerchio, tranne il "background": la circonferenza è l'elemento che separa le classi contigue dei poligoni inscritti e circoscritti.

In sostanza, Archimede ha trovato che la successione crescente:
p(0) = 3;
p(1) = 3*2*√[2–√(3)];
p(2)=3*4*√{2–√[2+√(3)]};
p(3)=3*8*√(2–√{2+√[2+√(3)]});
...
Si passa da p(n) a p(n+1) con queste due mosse:
• sostituire √(3) con √[2+√(3)];
• moltiplicare per 2.

per n––>oo tende al rapporto tra la la lunghezza d'una circonferenza e la lunghezza del suo diametro.
In entrambi i casi, (Archimede ed Eulero), π è il rapporto tra la lunghezza d'una circonferenza ed il suo diametro, valutabile con accuratezza a piacere quale limite d'una successione convergente.

--------------------------------------------

Il discorso cambia radicalmente se si introduce assiomaticamente una opportuna coppia di funzioni legate una all'altra [storicamente ben note come funzioni trigonometriche "seno e coseno", quelle che caratterizzano la forma d'un triangolo rettangolo].

Per esempio:
«Siano C(x) ed S(x) due funzioni di dominio il campo dei reali che verificano questi 4 postulati:
1) C(0) =1;
2) S(0) = 0;
3) C(x) = dS(x/dx;
4) S(x) = –dC(x)/dx
»


Da queste ... poche cose si ricava la teoria completa delle funzioni cosiddette circolari.
Qui sì circonferenze e diametri non c'entrano affatto!
I postulati consentono lo sviluppo in serie di Mc Laurin (= di Taylor in x=0) di entrambe C(x) ed S(x); e quindi di avere tutte le altre proprietà; in particolare di ricavare:
• che entrambe C(x) ed S(x) sono periodiche (di periodo che diciamo 2π, con π costante per ora ignota);
• che C(π/2)=0 e S(π/2) = 1;
• le formule [diciamole di bisezione] C(x/2) = √{[1+ C(x)]/2} e S(x/2) = √{[1 – C(x)]/2} per ogni x.

Dai postiulati si ha subito:
lim per x ––>0 di S(x)/x = dS(x)/dx in x = 0, cioè:
lim per x ––>0 di S(x)/x = C(0) = 1.

Partendo allora da x= π/2 dove sappiamo che S(π/2) =1 e C(π/2)= 0, abbiamo:
2C(π/4)= 2S(π/4) = √(2);
2C(π/8) =√[2+√(2)]; 2S(π/8) = √[2–√(2)];
2C(π/16) =√{2+√[2+√(2)]}; 2S(π/16) = √{2 – √[2+√(2)];
.....
Codice:
2C[π/2^(n+1)] = √(2+√(2+√(2+ ...+√(2)))));
                            1,     2,     3,   ...,   n
2S[π/2^(n+1)] = √(2–√(2+√(2+ ...+√(2)))));
                            1,     2,     3,   ...,   n

                                                                           1,     2,     3,   ...,   n
                       S[π/2^(n+1)]                   (2^n)*√(2–√(2+√(2+ ...+√(2)))))
1 =       lim     ––––––––––––  =    lim      ––––––––––––––––––––––––––––     <=>
         n––>oo    π/2^(n+1)        n––>oo                           π


  <=>   π =  Pi_Greco  =   lim      (2^n)*√(2–√(2+√(2+ ...+√(2)))))
                                    n––>oo               1,     2,     3,   ...,   n
Nel calcolo pratico di π da qui, al crescere di n si perdono cifre significative a causa della differenza sotto la prima radice.
L'inconveniente si può ovviare in quanto:
2S(π/2^n) = 2S[π/2^(n–1)]/[2C(π/2^n)].
Allora, con la posizione di comodo d(n) =2C(π/2^n), si ha subito:
d(0) = –2; d(1)=0; d(2) = √(2); per ogni n > 0 d(n+1) = √[2+d(n)];
ed in definitiva:
Codice:
                           2^(n+1)                  2       2      2             2
    π =  lim     –––––––––––––––– = 2 ––––·––––·––––· ... ·––––
        n––>oo   d(2)·u(3)· ...·u(n)        d(2)   d(3)  d(4)         d(n)
Qui sì – ripeto: in una teoria assiomatica delle funzioni "seno" e "coseno" avulsa dalla geometria – salta fuori Pi_Greco ignorando anche l'esistenza d'un rapporto costante circonferenza/diametro!
======================================
b)
Sei sicuro, Piotr, che la frase sia OK?
Permettimi di osservare che non è la "costante" che è "elevata a potenze crescenti", ma un parametro dimensionale (come il raggio della circonferenza, del cerchio, della sfera). In secondo luogo, Archimede vede il cerchio equivalente al triangolo di base la circonferenza e di altezza il raggio; e quindi il π della formula
S = π*r^2
è ancora il rapporto circonferenza/diametro.
Infine, l'anticlessidra di Archimede (di diametro e altezza pari a 2r ed equivalente alla sfera di diametro 2r) e la sfera stessa sono equivalenti a piramidi di altezza r. L'area della "base" di queste piramidi è dunque l'area laterale del cilindro equilatero per l'anticlessidra (e l'area della sfera per questa). La "base" dell'anticlessidra deformata a volume costante in piramide è un rettangolo con un lato lungo 2r e l'altro lungo π*(2r) proprio perché π è il rapporto circonferenza/diametro del cerchio-base della clessidra.

Non vedo come, se non si esce dalla geometria euclidea, si possa concepire π che non nasca come rapporto circonferenza/diametro.
--------------------------
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 04-07-10 19:44.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Links Sponsorizzati
Telescopi Artesky
Vecchio 02-07-10, 10:42   #167
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,990
Predefinito Re: pi greco

Aggiungo:
Anche il "Pi_Greco" che compare sotto radice quadrta nella "gaussiana" è ancora il rapporto circonferenza/diametro!
Infatti salta fuori da un integrale doppio: il volume V sotto la campana di equazione
Exp[–(x^2 + y^2)] = e^(–x^2 – y^2)
che è a simmetria centrale, piazzata nel riferimento cartesiano con il vertice di coordinate [x, y, z] = [0, 0, 1].
Nel calcolo di V si passa convenientemente dalle coordinate cartesiane (x, y) alle polari (r, ϕ):
r=√(x^2 + y^2);
ϕ = arccos(x/r) = arcsin(y/r) = arctan(y/x).
Allora l'elemento di area dx·dy cambia in dr·(r·dϕ).
Ciò consente di integrare in dϕ per r costante (dove è costante la quota della "campana", che ora è Exp(–r^2) = e^(–r^2)) ottenendo di colpo
Codice:
       oo                                           oo
V = ∫Exp(–r^2)·2π·r·dr  = π    =>   ∫Exp(–x^2) dx = √(π),
     0                                            –oo
----------
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 02-07-10 10:49.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 02-07-10, 15:36   #168
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,990
Predefinito Re: pi greco

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
In precedenza c'era un intervento di qualcuno che si domandava se, essendo infinite le cifre di PI-Greco, ci fosse la possibilità che Pi-Greco contenesse se stesso ...

Immaginiamo, allora, che dopo N cifre (magari con N di qualche miliardo), seguano le cifre:
314159265 ...
e via tutte le infinite cifre di Pi-Greco.

Domanda: è fantasiosa ma teoricamente possibile una cosa del genere, oppure verrebbe a contraddire qualche esimia proprietà posseduta proprio da PI-Greco?
Toc, toc!
C'è nessuno?
-------------------
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 02-07-10, 16:36   #169
Mizarino
Utente Super
 
L'avatar di Mizarino
 
Data di registrazione: May 2004
Messaggi: 9,719
Predefinito Re: pi greco

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Toc, toc!
C'è nessuno?
E' possibile che pi greco contenga un numero finito di cifre di se stesso. Non è possibile che, a partire da un certo punto, le contenga tutte. Non mi chiedere perché, perché non saprei dimostrartelo. Fai finta che lo abbia detto l'oracolo di Delfo...
Mizarino ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 02-07-10, 17:35   #170
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,990
Predefinito Re: pi greco

Quote:
Mizarino Visualizza il messaggio
E' possibile che pi greco contenga un numero finito di cifre di se stesso. Non è possibile che, a partire da un certo punto, le contenga tutte. Non mi chiedere perché, perché non saprei dimostrartelo. Fai finta che lo abbia detto l'oracolo di Delfo...
Ma come? E' il caldo che ti fa certi effetti?
Ma se Piotr t'ha appena nominato come l'infallibile !?!
Forse lui crede di aver copiato da me: ma io ho sempre detto: " Illustrissimo infallibile (quasi)"!

M'hai perdonato il "Lazarino" ... senza chiederti che intendessi con quella modifica.
Spero non l'abbia inteso come falso diminutivo del falso accrescitivo Lazarone!
Lungi da me tali volgarità!

Vedi: io leggevo il Vittorioso e ricordo (quasi) tutto di Iacovitti.
[Nessuno ha dato seguito al mio accenno all'arcipoliziotto Cip! ]
Certe volte l'allora "Lisca di pesce" chiudeva una "strip" col disegno di uno strano oggetto mescolanza di due ... come sarebbe il centauro mezzo uomo e mezzo cavallo.
Per esempio: un vaso da fiori con un solo stelo e al posto del fiore una testa taurina ... e la scritta sotto: Fiore + Toro = Fioro.
Beh: quel Lazarino voleva essere qualcosa di analogo
[Ti offendi troppo se ... facciamo "Lavativo + Mizarino = Lazarino"? ]


------------------------------
La dimostrazione è di una banalià sconcertante!

Supponiamo che dopo N cifre decimali (che da sole farebbero un certio numero H) ricomincino e proseguano tutte le infinite cifre di Pi-Greco (o di qualsiasi altro numero PI).

Allora avresti:
PI = H + PI/10^N => PI = H* 10^N/(10^N – 1).

PI sarebbe allora razionale, mentre PI_Greco è trascendente (irrazionale ... a fortiori ).
Anzi: H sarebbe proprio la parte periodica di PI.
Infatti, se dopo N cifre ricomincia da capo PI, lui ricomincia con le N cifre iniziali (quelle di H) e poi continua acora con tutto se stesso, iniziando di nuovo con le N cifre di H, e così ... in eterno!

Ciao ciao!
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 04-07-10 21:09.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Rispondi


Links Sponsorizzati
Geoptik

Strumenti della discussione
Modalità  di visualizzazione

Regole di scrittura
Tu non puoi inserire i messaggi
Tu non puoi rispondere ai messaggi
Tu non puoi inviare gli allegati
Tu non puoi modificare i tuoi messaggi

codice vB è Attivo
smilies è Attivo
[IMG] il codice è Attivo
Il codice HTML è Disattivato


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 14:00.


Powered by vBulletin versione 3.6.7
Copyright ©: 2000 - 2022, Jelsoft Enterprises Ltd.
Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it