Easy quiz(zes): but mathematical!

[ANDREAtom]

Sei settori ricavati dai due esagoni.
https://i.postimg.cc/MKyNkMfF/IMG-20...95515980-1.jpg
Questa mattina mi sono svegliato bene.....

[aspesi]

ANDREAtom

Sei settori ricavati dai due esagoni.
https://i.postimg.cc/MKyNkMfF/IMG-20...95515980-1.jpg

E' giusto

[aspesi]

Si chiamano eroniani quasi equilateri i triangoli espressi da numeri interi consecutivi.

Quali di questi hanno area espressa da un numero intero?
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3 - 4 - 5 è l'unico triangolo rettangolo con lati interi consecutivi e area intera (6)

13- 14- 15 è l'unico con lati e altezza espressi da numeri consecutivi (h=12 e area = 84)

Il triangolo successivo ha lati 51, 52 e 53 (area 1170)
Poi lati 193, 194 e 195 (area 16296)

Riuscite a trovarne un altro?

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Un'altra domanda:
Se due triangoli isosceli hanno lo stesso perimetro e la stessa area, sono congruenti (uguali)?

La risposta è negativa,

Trovate i due triangoli isosceli diversi che hanno entrambi perimetro = 98 e area = 420

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Infine:
Qual è la terna (cioè la misura dei 3 lati) più piccola di tre triangoli rettangoli di uguale area e con lati espressi da numeri interi?

[aspesi]

ANDREAtom

Sei settori ricavati dai due esagoni.
https://i.postimg.cc/MKyNkMfF/IMG-20...95515980-1.jpg

Ci sono altre due soluzioni, sempre con 6 pezzi

[ANDREAtom]

Su quella in alto avevo incominciato a lavorarci ma poi non sono riuscito a raccapezzarmi; quella in basso non l'avrei mai immaginata perchè il testo dice suddividere DUE esagoni......

[nino280]

aspesi

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Trovate i due triangoli isosceli diversi che hanno entrambi perimetro = 98 e area = 420

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Per il momento cominciamo con questo.





Ecco l'altro,
Ciao

[aspesi]

nino280

Per il momento cominciamo con questo.





Ecco l'altro,
Ciao

Soluzione:
a = base; b = lato uguale del triangolo isoscele; h = altezza; P = perimetro; S = area

Si ha: P = 98 e S = 420
Abbiamo un sistema di 2 equazioni:
98 = a + 2b ------------> b = 49 - a/2
420 = base*altezza/2 = a*RADQ(b^2-a^2/4)/2 dove h=RADQ(b^2-a^2/4)

Elevo al quadrato la seconda equazione:
420^2 = (a^2)/4*(b^2-a^2/4) --------> (a^2)/4*(b+a/2)*(b-a/2) e ricordando che
b = 49-a/2 --------> b+a/2 = 49 e (b-a/2) = 49-a

Per cui:
420^2 = (a^2)/4*49*(49-a)
4*420^2 = 49a^2*49 - 49 a^3
e semplificando i termini dividendo per 49

a^3 - 49a^2 + 14400 = 0

Equazione di terzo grado che ha per soluzioni:
a1= -15 impossibile
a2 = 24
a3 = 40

Esistono quindi due triangoli isosceli diversi che hanno entrambi stesso perimetro (98) e stessa area (420)

Con il triangolo isoscele di base a2=24, i due lati uguali sono lunghi b2 = 49-a2/2 = 37 (altezza = 35)
Con il triangolo isoscele di base a3=40, i due lati uguali sono lunghi b3 = 49-a3/2 = 29 (altezza = 21)


Nota finale: i due triangoli isosceli sono il raddoppio di 2 triangoli rettangoli accostati, di lati interi

[nino280]

Se io avessi saputo a priori che anche l'altezza era intera, ci impiegavo 1/3 del tempo che ci ho impiegato effettivamente.
Perchè far variare i pallini per interi è molto più comodo e sbrigativo.
Mi spiego meglio io ho fatto variare la base e l'altezza che poi per me è il pallino "b"
e per b ci avevo messo uno step di 0,01
Ciao

[aspesi]

aspesi

Infine:
Qual è la terna (cioè la misura dei 3 lati) più piccola di tre triangoli rettangoli di uguale area e con lati espressi da numeri interi?

Aiutone:

Uno di questi 3 triangoli rettangoli è un triangolo eroniano quasi equilatero* il cui perimetro è = 240

Trovare i lati a b c; a1 b1 c1 e a2 b2 c2 dei tre triangoli rettangoli.



*Mi scuso ho sbagliato... non è quasi equilatero, ma quasi isoscele... e solo 2 lati hanno quasi la stessa lunghezza (differenza = 1), il terzo lato è molto più corto

[nino280]

Uno potrebbe essere questo in base a quello che suggerisci.
Ha i lati 112 113 15 perimetro 240 e Area 840
Se mi suggerisci gli altri due così non mi sforzo più di tanto li disegno.
Ciao
L'ho messo supino cioè di pancia a terra.