Qualche quiz

[nino280]

ANDREAtom

Si, sono simili; ma allora il cerchio che c'entra? serve a confondere le idee?

Io per trovare la soluzione mi sono servito di quella circonferenza che passava per C per D e tangente al lato sinistro.
Credo che farne a meno, così a cuor leggero, non sia possibile.
Ciao

[ANDREAtom]

Ma anche il fatto che i due quadrilateri sono simili è discutibile; sembrano simili a occhio ma l'occhio spesso inganna; se il tratto E F si trovasse un po' più in alto o in basso sembrerebbero simili lo stesso ma la proporzione tra i due non è più la stessa, o sbaglio?

[Erasmus]

aspesi

[...]
Quello che è interessante è la similitudine tra i quadrilateri ADFE e BCFE.
Infatti, i 4 loro angoli interni sono uguali (due sono retti, la somma degli altri due è 180° e l'angolo in D è uguale a BEF in quanto supplementare a AEF.

PFUI!!!
NON BASTA l'uguaglianza degli angoli corrispondenti a stabilire la similitudine di due poligoni con ugual numero di lati!
La cosa vale solo per i triangoli!
Se bastasse l'uguagianza degli angoli corrispondenti tutti i rerttangoli sarebbero simili (quadrati compresi).
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Una delle due diagonali di un qualunque quadtrilatero convesso lo scompone in due triangoli. Se due quadrilateri convessi sono simili (ossia: oltre ad avere gli angoli corrispondenti uguali hanno i lati corrispondenti nel medesimo rapporto), allora sono simili anche i corrispondenti triangoli.
Insomma: se si vuole ridursi al critrerio dell'uguaglianza di angoli corrispondenti occorre ridursi all'esame di triangoli (scomponendo i poligoni a confronto in triangoli corrispondenti).
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[nino280]

Be discutere non si può.
Semplicemente se vado a metterci le mani su tutti gli angoli che sono saltati fuori, voglio dire misurarli.
Combinazione ero partito come ho anche detto, col caso più eclatante e facile possibile.
Cioè il 45° ed in questo caso la similitudine salta anche ad occhio.
Ciao
Ora ho rispondo ancora ad Andrea.

[aspesi]

ANDREAtom

Ma anche il fatto che i due quadrilateri sono simili è discutibile; sembrano simili a occhio ma l'occhio spesso inganna; se il tratto E F si trovasse un po' più in alto o in basso sembrerebbero simili lo stesso ma la proporzione tra i due non è più la stessa, o sbaglio?

Devi tener conto che EF non può trovarsi più in alto o più in basso, perché E non sarebbe tangente o il segmento x non sarebbe perpendicolare in F a CD (con D come ha ricordato nino280 che è un punto della circonferenza)

[aspesi]

Erasmus

PFUI!!!
NON BASTA l'uguaglianza degli angoli corrispondenti a stabilire la similitudine di due poligoni con ugual numero di lati!
La cosa vale solo per i triangoli!

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Giusto!

Esaminiamo gli angoli dei triangoli:
BEC = FDE
CEF = ADE

Quindi:
BC : EF = EC : ED
EC : ED = EF : AD

e infine:
BC : EF = EF : AD

5 : x = x : 16

[Erasmus]

Non mi ricordo più dove stava il quiz con un semicerchio, qualche corda di cui una lunga 30 divisa in due segmenti di cui quello a sinistra era lungo 6 e quello a destra 24: e c'era da trovare un pezzo di tangente (sulla suìinistra) che nino280 ha valutato (con Geogebra) di lunghezza 20.
Mi pare che non sia mai stato discusso per bene!
Swmbra facile, ma quando ci si mette a risolverlo si va incontro ad espressioni troppo intricate ... e si finisce col desistere.
Però, partendo da quel 20 trovato da nino280 sono iuscito a controllare se era giusto andando a ritroso fino a calcolare (se davvero fosse 20 quel segmento) le lunghezze dei due segmenti che il testo dichiara lunghi 6 e 24.
Beh: nell'ipotesi che quel segmento sia lungo 20 e che tanto la distanza dal centro del cerchio del punto a sinistra estremo del segmento lungo venti quanto il raggio del cerchio siano nunmeri interi – e per essere così quella distanza dobrebbe essere 29 ed il raggio del cerchio essere 21 – sono riuscito, andando a ritroso rispetto al quiz, a calcolare le lunghezze di quei due segmenti che il testo dice lunghi 6 e 24, E mi vengono davvero 6 e 24. Vuol dire che davvero il raggio del cerchio è 21 e quel segmento di cui il quiz chiede lalunghezza è lungo davvero 20.
Per capire meglio quel che ho fatto, ho scritto un nuovo "paperino". Non ci sono i numerosissimi numeri (ascisse ed ordinate dei vari punti, ricavate pensando i punti quali intersezioni di opportune rette di cui mi son dovuto trovare le equazioni cartesiane, ma c'è però la spiegazione del percorso che ho fatto ed i principali dati che ho trovato.
NB: La lunghezza incogita da trovare (che nono280 ha trovato essere 20 ed io ho controllato che 20 è OK) era detta X nel testo del quiz. Ma siccome io lavoravo in coordinate cartesiane, mi facerva comodo avere x come simbolo delle ascisse. Allorea quella lunghezza da trovare l'ho battezzata q.

Ed ecco qua il nuovo "paperino".

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[aspesi]

Il triangolo ABC è isoscele con la base AB ≈ 12 e i lati obliqui CA = CB = 10. La circonferenza inscritta (grande) ha raggio R, mentre una seconda circonferenza (piccola), di raggio r, è tangente sia alla prima circonferenza che ai due lati del triangolo.
Determinare i due raggi R e r.

[nino280]

E dove è la difficoltà di questo Quiz?
Fai l'Incentro due volte ed è finita.
Ciao

[Erasmus]

aspesi

[...]AB ≈ 12. [...]

AB – che nel disegno risulta 6 + 6 – è circa 12
Mi viene in mente quando si adoperava il regolo calcolatore ad alta precisione col quale risultava che la radice quadrata di 3 era circa 1,732 e la radice quadrata di 4 era circa 2,000
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Hai ragione, nino280. Troppo facile anche questo!
Ma non serve fare 2 volte quel che si fa per avere il raggio del cerchio inscritto (cioè Area/semiperimetro). Il triangolino di cui il cerchio piccolo è il cerchio inscritto è simile al triangolone e allora r/R è lo stesso rapporto delle rispettive dimensioni.
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Le solite terne pitagoriche k(3, 4, 5).
Laltezza del triangolone è 8, l'area è 48, il semiperimetro 16 e quindi il raggio R del cerchio inscritto è 3. Allora il cerchietto di raggio r è inscritto in un triangolino simile al triangolone di altezza 8 – 6 = 2, cioè un quarto dell'altezza del triangolone.
Pertanto anche r è un quarto di R, cioè r = 3/4 = 0,75
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