Nino - Nino

[aspesi]

Ci sono 7 quadrati congruenti in un rettangolo 26x17.

Qual è l'area di ogni quadrato?

[ANDREAtom]

25 unità (circa)

[nino280]

25 anche per me.
Ciao

[aspesi]

nino280

25 anche per me.
Ciao

anche per AndreAtom

La soluzione analitica è piuttosto laboriosa, a meno di intuire il semplice ragionamento fatto da uno studente vietnamita di 13 anni:

[ANDREAtom]

Ma questo che c'entra con la soluzione richiesta?

[aspesi]

ANDREAtom

Ma questo che c'entra con la soluzione richiesta?

Un po' di intuito... questa E' LA SOLUZIONE.

Risolvendo il semplice sistema di due equazioni, si trova che le due incognite a e b (che sono poi i cateti dei vari triangoli) valgono:

a = (17-3b)/2
5*(17-3b)/2 + 2b = 26
85/2 - (15/2)b + 2b = 26
(85-52)/2 = (15b-4b)/2
33 = 11b
b = 3

a = (17-3*3)/2 = 4

Quindi, applicando il teorema di Pitagora, il lato dei quadrati (che è l'ipotenusa) vale:
RADQ(3^2 + 4^2) = 5
e l'area dei quadrati è ovviamente 25

[Erasmus]

aspesi

anche per AndreAtom

La soluzione analitica è piuttosto laboriosa, a meno di intuire il semplice ragionamento fatto da uno studente vietnamita di 13 anni:

Bella!
4a + 6b = 34
15 a + 6b = 78
–––––––––––-
11a = 44 ==> a = 44/11 = 4.

10a + 15b = 85
10a + 4b = 52
––––––––––––
. . . . 11b = 33 ==> b = 33/11 = 3.

Io avevo risolto il quiz prima di vedere questa bella figura (e prima di leggere del tutto la risposta di nino280, senza cioè aver visto – come vedo ora – che in basso a destra accanto al triangolino rettangolo lui ha messo 3 e 4 come misure dei cateti).
Ma l'avevo risolto più come verifica, supponendo che il triangolino in basso a destra fosse la terna pitagorica più facile (3, 4, 5), che come effettiva soluzione di un sistema di equazioni.
Cioè:
Dapprima ho provato con le variabili x, y, h e k mettendo:
in alto (da sinistra a destra) x + (26 – x)
in basso (da sinistra a destra) (26 – h) + h;
a sinistra (dall'alto in basso) y + (17– y);
a destra (dall'alto in basso (17 – k) + k
e chiamando u^2 l'area di un quqdratino.
[il mio h era dunque il b del ragazzino vietnamita e il mio k era il suo a].
Ma siccome veniva un sistema piuttosto complicato ... ho desistito!
Ho desistito, però, pensando che forse potevano andar bene h = 3 e k = 4 (e di conseguenza u^2 = 25, come dicevano le risposte di ANDREAton e nino280).
Con questa ipotesi ho verificato facilmente che effettivamente doveva essere proprio così perché allora:
• in alto a sinistra mi veniva
x^2 + y^2 = 13·u^2 = 325 (*)
• in basso a sinistra mi veniva
(17 – y)^2 + 23^2 = 26·25 ==> (17 – y)^2 = 121 ==> 17 – y = 11 ==> y = 6
e quindi dalla (*)
x^2 = 325 – y^2 = 325 – 36 = 289 ==> x = 17;
e infine, per controllo, in altra equzione (in alto a destra) mi veniva
(26 – x)^2 + (17 – k)^2 = 10·25 ==> (26 – x)^2 = 250 – 169 = 81 ==> 26 – x = 9 ==> x = 17;
–––––––––-
Però! Bravissimo quel ragazzino!
A nessuno di noi sarebbe mai venuta in mente una tale semplificazione del problema.
––––––-

[nino280]

Due paroline sul mio comportamento di questo Quiz.
Io non ho fatto nessuna equazione particolare, ne avevo visto il la soluzione del ragazzino coreano, ne tantomeno la soluzione di Andrè, dal momento che abbiamo postato quasi in contemporanea ( lui prima di me di circa una decina di minuti) e non posso aver fatto tutto in 10 minuti. La soluzione era già li nel mio mouse e mi mancava solo un clic per postarlo.
Comunque dicevo, come ho fatto. E' evidente che non ho la bacchetta magica e parto subito dai cateti che ho poi marcato da 3 e 4. No, non ho la bacchetta.
Allora ho inteso male il primo tentativo e sono partito con un angolo lì in punta a 45°
Ma finito sto disegno non funzionava nulla e niente.
Ci ho perso una ventina di minuti, ma ripeto tentativo fallito.
Ora ci sono dei disegni che se ti accorgi che hai sbagliato, puoi ancora sistemarli aggiustandoli un pò, ma questo non era così e allora cancello tutto rifaccio tutto da capo.
Caso ha voluto che nel primo tentativo ero partito da un cateto, no diciamo 2 cateti da 3 visto che eravamo a 45°, ma lascio stare un 3 e poi ci aggiungo uno slider, diciamo un pallino con angolo variabile che mi rendeva l'altro cateto, quello verticale variabile, e muovi e muovi come uso fare di solito, ad alfa 53.1301° ottengo altro cateto da 4 ipotenusa 5 area 25 e i vertici dei quadrati che lambivano il rettangolo.
Bon, mi fermo immediatamente perchè i numeri mi piacevano e posto.
Ciao
P.S.
Se però osserviamo appunto quell'angolo lì marcato, quel 53.1301° come dicevo più sopra, esso altro non è che l' arco tangente di 4/3
Come dire che i numeri espressi il più delle volte nei miei famigerati "pallini" sono quasi sempre numeri significativi, e non campati lì in aria.

[nino280]

Vediamo se ci arriviamo all'area da 25 con lato 5 in qualche altro modo, oltre al metodo del ragazzino coreano.
Dico le minori parole possibili se si guarda il nuovo disegno.
Ma qualcosa dico ugualmente.
Noi avevamo 7 quadrati messi di sbieco in un rettangolo.
Io invece li sistemo con i lati paralleli ed anche "giacenti" sul rettangolo.
La parte vuota che ottengo sottraendo i 7 quadrati con un conticino facile facile è formata da ulteriori 8 quadrati per completare il nostro nuovo rettangolo.
Quindi si ha 7 + 8 = 15 quadrati totali.
E c'è ne stanno 3 sul lato corto e 5 sul lungo.
Ora riprendiamo il vecchio rettangolo da 17 x 26 e l'area era quindi 442 cosi quadrati.
Se stiamo nel campo degli interi, ed io sinceramente non ho fatto nessuna prova con lati decimali, bisogna, anche andando per tentativi, cercare di avvicinarsi il più possibile a 442
Allora provo con un lato da 4 e area 16 ma siccome so di certo (dal disegno) che i quadrati sono 15 allora viene 16 x 15 = 240
Be siamo molto distanti dal 442, troppo poco.
Allora provo con un lato da 6 ( E' chiaro che io so già il risultato ma faccio finta di non saperlo)
E; 6 x 6 = 36 ; 36 x 15 = 540 ora è troppo perchè supera i 442
Allora provo con 5
5 x 5 = 25 ; 25 x 15 = 375 (che poi è la nuova area del nuovo rettangolo.
Dicevo di stare nel campo degli interi e il quadrato da 25 come si vede è quello che si avvicina di più al 442.
Ciao

[aspesi]