Estrazioni casuali

[aspesi]

Si può fare anche questo ragionamento:

In un mazzo da 52 carte, i 4 assi dividono il mazzo in 5 piccoli mazzetti che possono avere da 0 a 48 carte.

Per un principio di simmetria i 5 mazzetti dovrebbero avere una media di 48/5 carte= 9.6 carte

La carta successiva, in media, sarà un asso…quindi la carta in posizione 10.6

[aspesi]

Lanci una moneta equilibrata finché non ottieni cinque teste di fila.
Quanti lanci devi fare in media?



Di astromauh non si sa nulla, Mizarino si fa vivo molto raramente...
Allora, trovare il valore atteso di problemi come questo non pare facile, ma lo diventa facendo questo calcolo:

= 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 = 62

Ci vogliono mediamente 62 lanci per ottenere 5 testa di fila

(La probabilità di ottenere testa è 1/2.
Numeri di lanci in media per ottenere 5 “testa” di fila:
1/(1/2)^5+1/(1/2)^4+1/(1/2)^3+1/(1/2)^2+1/(1/2)=
32+16+8+4+2= 62 -----> valore confermato con le catene di Markov e facendo la sommatoria dei valori possibili da 5 a n moltiplicato per la probabilità di verificarsi)

[astromauh]

tot = 6200416626
media = 62,00416626
max = 1229

Sono vivo!

Ho provato a risolverlo senza simulazione ma non ci sono riuscito.

Ancora non ho guardato bene la tua soluzione.

.....................................

Avevo cominciato con il calcolare le probabilità con il numero minore di lanci.

P(5) = TTTTT = 1/32
P(6) = CTTTTT = 1/64
P(7) = *CTTTTT = 1/64
P(8) = **CTTTTT = 1/64
P(9) = ***CTTTTT = 1/64
P(10) = ****CTTTTT = 1/64
P(11) = *****CTTTTT = (31/32)*(1/64)

Fin qui credo che le probabilità siano giuste, ma il problema è che non so andare oltre.

Avevo pensato che potesse andar bene questa formula:

P(n) = (31/32)^(n-10) * (1/64)

Ma è sbagliata.

E quindi ho ripiegato sulle vecchie e care simulazioni.

[aspesi]

astromauh

tot = 6200416626
media = 62,00416626
max = 1229



E quindi ho ripiegato sulle vecchie e care simulazioni.

Ma allora ci sei...

[aspesi]

astromauh

Avevo cominciato con il calcolare le probabilità con il numero minore di lanci.

P(5) = TTTTT = 1/32
P(6) = CTTTTT = 1/64
P(7) = *CTTTTT = 1/64
P(8) = **CTTTTT = 1/64
P(9) = ***CTTTTT = 1/64
P(10) = ****CTTTTT = 1/64
P(11) = *****CTTTTT = (31/32)*(1/64)

Fin qui credo che le probabilità siano giuste, ma il problema è che non so andare oltre.

Fin lì è giusto.
La sequenza è quella di Pentanacci
0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, 26784 , 52656, 103519, ...

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + T(n-3) + T(n-4) + T(n-5)
con T(0) = T(1) = T(2) = T(3) = 0, T(4) = 1

https://oeis.org/A001591

diviso 2^n

ti dà le varie probabilità, che poi devono essere moltiplicate ciascuna per n (5, 6, 7, ...) e alla fine si fa la somma

[aspesi]

In una piscina per bambini , ci sono N palline colorate di n diversi colori : 6 palline di colore bianco; 7 di colore azzurro ; 8 di colore verde ; 9 di colore giallo; 10 di colore viola e così di seguito fino all' ennesimo colore.

Se, per avere la certezza di averne almeno 5 di uno stesso colore, un bambino bendato deve prelevare al minimo, 2 palline di meno rispetto ad 1/5 delle N palline presenti nella piscina, quanto vale N ?

[astromauh]

Nella piscina ci dovrebbero essere 615 palline di 30 colori diversi.

N è il numero delle palline.
Chiamo C il numero dei colori.

La certezza di pescare 5 palline dello stesso colore è:

Certezza = 4 * C + 1

Ma secondo quello che dice il quiz è anche:

Certezza = (1/5) * N - 2

Inoltre sappiamo che tra il numero dei colori C e il totale delle palline N c'è una relazione ben precisa.

N = C * 5 + S(1 + 2 + 3 + 4 + 5 ... + C)

Possiamo quindi stabilire la seguente equazione:

4 * C + 1 = (1/5) * N - 2

4 * C + 1 = (1/5) * (5*C + S(C)) - 2

La cui soluzione è C = 30; S(C) = 465; (30 colori diversi)

N = C * 5 + S(C) = 150 + 465 = 615 (Numero totale delle palline)

Nota:

Risolto interamente a mano.

[aspesi]

astromauh

Nella piscina ci dovrebbero essere 615 palline di 30 colori diversi.

Ottimo procedimento

[Erasmus]

aspesi

In una piscina per bambini , ci sono N palline colorate di n diversi colori : 6 palline di colore bianco; 7 di colore azzurro ; 8 di colore verde ; 9 di colore giallo; 10 di colore viola e così di seguito fino all' ennesimo colore.

Se, per avere la certezza di averne almeno 5 di uno stesso colore, un bambino bendato deve prelevare al minimo, 2 palline di meno rispetto ad 1/5 delle N palline presenti nella piscina, quanto vale N ?

E' comunque N = 5n + n(n+1)/2 = n(11+n)/2.
Nel caso più sfigato il bimbo avrà 4 palline per ciascuno di n–1 colori e 5 palline di un solo colore, in tutto 4n +1 palline.
Tu mi dici che questo numero è 1/5 di N meno 2, cioè (1/5)·n(11+n)/2 – 2.
Mi suggerisci dunque l'equazione:
4n+1 = n(11+n)/10 –2 ⇔ 40n + 10 = n^2 + 11n –20 ⇔ n^2 – 29n – 30 = 0.
Risolvo questa equazione trovando n = [29 ± √(29^2 + 4·30)]/2 ⇔ n = (29 ± 31)/2.
Scarto la soluzione negativa e prendo n = 30. [Come numero di colori mi pare troppo, ma il quiz non l'ho fatto io!]
In definitiva N = 30·(11+30(/2 = 15·41 = 615
–––––––-


P.S.
Se non conoscessi la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado potrei fare:
0 = n^2 – 29n – 30 = n^2 + n – 30n –30 = (n+1)(n–30) ⇒ n = –1 ∨ n = 30.

[aspesi]

Facile