Estrazioni casuali

[aspesi]

La lotteria del paese mediamente vende 2000 biglietti e vi sono 50 premi assegnati ai fortunati vincitori.
Ma Gianni fa notare a Marco che negli ultimi 5 anni in ogni estrazione vi erano almeno due vincitori di premi con numero consecutivo e la cosa per lui non è spiegabile se non con un estrazione truccata.

I sospetti di Gianni sono fondati?

[Mizarino]

A me verrebbe che la probabilità che l'estrazione non dia alcuna coppia di numeri consecutivi è circa 1/2. (*) Da cui quella che ci sia almeno una coppia di consecutivi è pure 1/2. Che la cosa si verifichi per 5 anni consecutivi avrebbe una probabilità 1/32. Un po' sospetta ma verosimile anche senza trucchi.

(*) Siccome ad ogni successivo numero estratto i casi favorevoli (alla non contiguità) diminuiscono di 2 unità (i numeri adiacenti a quello estratto) e quelli possibili diminuiscono di 1, verrebbe dal prodotto (1997/1999)*(1995/1998)*(1993/1997)*...* (1901/1951)

[aspesi]

Mizarino

A me verrebbe che la probabilità che l'estrazione non dia alcuna coppia di numeri consecutivi è circa 1/2.

E' molto meno.
Dicevi tu di ragionare su agglomerati minori...

Ad esempio, con l'estrazione di 5 numeri su 10 biglietti (da 1 a 10), le combinazioni totali sono C(10,5) = 252 e quelle senza consecutività sono solo 6.
Se i biglietti fossero 11, i 5 estratti non consecutivi sono 21.
Quindi...

[Mizarino]

Ho usato invece la forza bruta...
La probabilità che in una singola tornata della lotteria siano estratti almeno due numeri consecutivi è 0.715.
Perciò la probabilità che ciò si verifichi per 5 tornate consecutive è 0.187, del tutto verosimile.

P.S. Per inciso, la probabilità che in una singola tornata siano estratti almeno 3 numeri consecutivi è circa 0.028.

[aspesi]

Mizarino

Ho usato invece la forza bruta...
La probabilità che in una singola tornata della lotteria siano estratti almeno due numeri consecutivi è 0.715.
Perciò la probabilità che ciò si verifichi per 5 tornate consecutive è 0.187, del tutto verosimile.

Giusto.

Precisamente 100 - 28,48191 = 71,51809 %

C(N-n+1,n) sono le combinazioni di n numeri senza consecutività su N numeri totali (da 1 a N)

Quindi la probabilità di nessuna consecutività di 50 estratti su 2000 biglietti è C(1951,50) = 5,6855E+99 casi favorevoli rispetto ai C(2000,50) = 1,9962E+100 casi totali, che corrisponde al 28,48191%

Ne consegue che la probabilità che per 5 anni di fila le estrazioni abbiano presentato almeno due numeri consecutivi è (1-0,2848191)^5 = 18,71%

valore come hai detto verosimile.



(Anche per i 3 numeri consecutivi avevo trovato una formula (quando facevo i sistemi per il totocalcio e il lotto), ma adesso non la ricordo...

[Mizarino]

Per 4 consecutivi siamo a un po' più di 6 su 10mila.

[aspesi]

Mizarino

Per 4 consecutivi siamo a un po' più di 6 su 10mila.

Ho trovato (da una mia vecchia discussione) una formula valida per calcolare le combinazionni per max 2 numeri consecutivi su N numeri presi a gruppi di n=10 (cioè 10 biglietti estratti).

C(N_max2cons,10) = C(N-9,5) + 15C(N-9,6) + 35C(N-9,7) + 28C(N-9,8) + 9C(N-9,9) + C(N-9,10)

Es. Per N=2000 dovrebbero esserci 2,75849E+26 combinazioni e dividendo per C(2000,10) la probabilità è = 0,99982

Ma sappiamo che le combinazioni con nessuna consecutività sono C(1991,10) = 2,637E+26 e quindi
la probabilità per esattamente 2 consecutivi (anche multipli) risulta 0,044018

Invece il numero delle sestine (n=6) con consecutività minima = 4 dovrebbe essere:
C(N_min4,6) = (N-4)(N-5)^2/2

Per N = 2000 e n=6 si ha
C = 3,972E+09 (p=4,5022E-08)

[aspesi]

Abbiamo un mazzo ben mescolato di 52 carte (13 carte per ciascuno dei 4 semi).

Quante carte vengono distribuite in media prima che esca il primo asso?

[Mizarino]

La mediana è 8 carte, la media 10.5.

Invece io ti chiedo: se tu dovessi puntare su "quando" esattamente esce il primo asso, su quale posizione (la prima carta, la seconda, la terza...) punteresti per avere la massima probabilità di vincere?

[aspesi]

Mizarino

La mediana è 8 carte, la media 10.5.

Invece io ti chiedo: se tu dovessi puntare su "quando" esattamente esce il primo asso, su quale posizione (la prima carta, la seconda, la terza...) punteresti per avere la massima probabilità di vincere?

La mediana è 8 carte e un pelino, la media non 10,5 ma 10,6 ...*

Per la posizione della carta su cui puntare, se intendi quella a maggior probabilità di uscita del primo asso, questa è chiaramente la prima carta; invece il prodotto p*n_carte estratte è il maggiore per la 13esima carta.



*Si può trovare la soluzione (valore atteso) facendo la somma dei possibili valori (uscita del primo asso, dalla prima alla quarantanovesima carta) ciascuno moltiplicato per la probabilità di verificarsi.
E' cioè la media ponderale dei risultati.

n. carta	p_1°asso	p*n.carta	Valore atteso (somma p*n da 1 carta a 49)
1	0,076923077	0,076923077	10,6
2	0,07239819	0,14479638	
3	0,068054299	0,204162896	
4	0,063887709	0,255550836	
5	0,059894727	0,299473636	
6	0,056071659	0,336429957	mediana = 8 carte e un po' 
7	0,052414812	0,366903685	P 1-8 carte = 0,498564964
8	0,048920491	0,39136393	
9	0,045585003	0,410265029	
10	0,042404654	0,424046542	
11	0,03937575	0,433133253	
12	0,036494598	0,437935174	
13	0,033757503	0,438847539	
14	0,031160772	0,436250808	
15	0,028700711	0,430510666	
16	0,026373626	0,421978022	
17	0,024175824	0,410989011	
18	0,022103611	0,397864992	
19	0,020153292	0,38291255	
20	0,018321175	0,366423492	
21	0,016603565	0,348674855	
22	0,014996768	0,329928895	
23	0,013497091	0,310433096	
24	0,01210084	0,290420168	
25	0,010804322	0,270108043	
26	0,009603842	0,24969988	
27	0,008495706	0,229384061	
28	0,007476221	0,209334195	
29	0,006541694	0,189709114	
30	0,005688429	0,170652877	
31	0,004912734	0,152294764	
32	0,004210915	0,134749284	
33	0,003579278	0,11811617	
34	0,003014129	0,102480377	
35	0,002511774	0,087912088	
36	0,00206852	0,07446671	
37	0,001680672	0,062184874	
38	0,001344538	0,051092437	
39	0,001056423	0,04120048	
40	0,000812633	0,03250531	
41	0,000609475	0,024988457	
42	0,000443254	0,018616677	
43	0,000310278	0,013341952	
44	0,000206852	0,009101487	
45	0,000129282	0,005817712	
46	7,38757E-05	0,003398282	
47	3,69379E-05	0,001736079	
48	1,47751E-05	0,000709207	
49	3,69379E-06	0,000180995