Estrazioni casuali

[aspesi]

Mizarino

Le probabilità condizionate non fanno per me, ma ci provo lo stesso, senza dire il ragionamento, solo per sapere, io, se il ragionamento era corretto:

2/3 = 66.66... %

[Erasmus]

aspesi

Venendo la risposta da Miza, sospetto che sia giusta [col metodo "Ipse dixit"].
Ma a me parrebbe giusto 3/4 ... ragionando così:
«Se ho pescato quella aggiunta (cosa che ha probabilità 1/2) quella rimasta ha probabilità 1/2 di essere blu. Ma se ho pescato quella che c'era prima di aggiungere quella blu (cosa che ha ancora probabilità 1/2), quella rimasta è certamente blu.
Dunque ... mi pare che la probabilità che quella rimasta sia blu sia
(1/2)·(1/2) + (1/2)·1 = 3/4.

Altro ragionamento mio strano:
«Al posto di avere una pallina di colore incerto ed una sicuramente blu, potrei dapprima avere n palline blu ed n palline bianche e poi aggiungere altrettante (cioè 2n) palline blu; e infine estrarne una a caso.
La probabilità che una a caso delle 4n palline sia blu è 3/4.»

Ma forse la risposta 3/4 sarebbe giusta se si chiedesse con quale probabilità si estrae una blu dalla coppia una blu ed una incerta.
Ho sempre detto che la probabilità non à il mio forte.
–––––––

[aspesi]

Erasmus

Ma forse la risposta 3/4 sarebbe giusta se si chiedesse con quale probabilità si estrae una blu dalla coppia una blu ed una incerta.

–––––––

Giusto!

Invece il quiz chiede la probabilità che la pallina rimasta nel sacchetto sia blu sapendo che abbiamo estratto dal sacchetto una pallina e si è visto che è blu.

La risposta allora è data da questo rapporto:

1/2 * 1 / (1/2*1 + 1/2*1/2) = 1/2 * 4/3 = 2/3

dove 1 è la probabilità di estrarre una blu se il sacchetto contiene 2 blu, e 1/2 la probabilità di estrarre una blu se il sacchetto contiene 1 bianca e 1 blu.

[Mizarino]

Posso dire come ho ragionato io, che è abbastanza semplice ed immediato:

Posto O = bianco e B = Blu, abbiamo nel sacchetto due possibili configurazioni equiprobabili:

OB e BB

A questo punto la pallina blu aveva 1 probabilità su 3 di essere stata estratta lasciando nel sacchetto la pallina bianca e (ovviamente) 2 su tre di essere stata estratta lasciando nel sacchetto un'altra pallina blu.

(e Buon Anno!)

[Erasmus]

Ritorno al quiz del gioco tra Alberto e Bruno di chi arriva prima al 3 lanciando riprtutamente un dado che se esce T dà un punto ad Alberto e se esce C da un punto a Bruno.

@ Non ho capito – non sono in grado di seguire – il tuo ragionamento.
Ripeto il mo (che ancora mi pare corretto, salvo però correggere la probabilità che il gioco termini al 4° lancio ... e di conseguenza anche quella che invece termini al 5° lancio). Riespongo il ragionamento in successivi punti numerati.
Per favore, aspesi, dimmi qual èà il primo punto sbagliato e spiegami perché
1) Che il gioco finisce al terzo lancio ha probabilità p^3; e allora – sapendo che ha vinto Alberto per il quale dà un punto ogni esito esito T – è certo che il terzo lancio ha dato esito T.
2) Che il gioco non termini al terzo lancio ha probabilità 1 – p^3.
Se finisce al 4° lamcio vuol dire che nei primi 3 lanci c'erano 2 T e un C e al quarto lancio è uscito T.
L'esito dei 4 lanci è stato uno dei seguenti
CTTT; TCTT; TTCT
3) La probabilità che il gioco finisca al quarto lancio è che:
• il gioco non finisca al terzo lancio (il che ha probabilità 1 – p^3),
• che nei precedenti tre lanci sia uscito due volte T (il che ha probabilità p^2) e
• che al quarto lancio sia uscito T (il che ha probabilità p).
Dunque è (1-p^3)·(p^2)· p = (1 – p^3)·p^3
4) La probabilità che ci sia anche il quinto lancio è dunque – non potendo proseguire il gioco oltre il 5° lancio):
1 – {(p^3) + [(1–p^3)·p^3)]} = (1–p^3)^2
4) Se il gioco finisce dopo 3 lanci (il che ha ptobabilità p^3) è certo che al trzo lancio è uscito T. Se il gioco termina al 4 lancio, potendo essere gli esiti essere (con uguale probabilità) CTTT, TCTT o TTCT. abbiamo che il terzo lancio ha dato T con probabilità 2/3
Se infine il gioco termina al quinto lancio gli esiti complessivi possibili (con uguale probabilità) sono
TTCCT
TCTCT
TCCTT
CCTTT
CTCTT
CTTCT
Quindi in questo caso il terzo lancio è T tre volte su sei, ossia con probabilità 1/2
5) Complessivamente, la probabilità che il terzo lancio abbia dato esito T è
1·p^3 + (2/3)·[(1–p^3)·p^3] + (1/2)·[1 –p^3]^2 = 1/2 +(2/3)p^3 – (1/6)p^6.
6) Per p = 1/2 risulta:
1/2 + 1/12 – 1/(384) = (192 + 32 – 1)/384 = 223/384 (ancora meno del precedente mio risultato).
Quale sarebbe il primo punto sbagliato?
Grazie dell'analisi che mi farai.
––––

[aspesi]

Erasmus

Quale sarebbe il primo punto sbagliato?
Grazie dell'analisi che mi farai.
––––

Il tuo errore è di considerare equiprobabili eventi che non lo sono (cioè non è la stessa cosa il fatto che il gioco finisca al terzo, quarto o quinto lancio).
Per fare correttamente il calcolo è necessario riportarsi alle 32 possibilità dei 5 lanci massimi che potrebbero esserci nella peggiore eventualità, limitandosi a considerare i 16 lanci in cui la vittoria va a Alberto.

Qual è il tuo primo punto sbagliato?
Già quando dici che al quarto lancio la probabilità potrebbe essere un valore... di sesto grado (hai scritto (1-p^3)*p^3))
Infatti, p è la probabilità favorevole di avere T e q=(1-p) quella di vedere C che si devono verificare ad ogni lancio (quindi, essendo eventi indipendenti, se il gioco termina al terzo lancio ci sarà p^3, se al quarto lancio p^3*q e se al quinto lancio p^3*q^2.

I casi conseguenti alla vittoria di Alberto T e le relative probabilità sono:

con 3 lanci) T T T -----> p^3 ... (se p=1/2 ----->p^3=1/8)
con 4 lanci) C T T T ; T C T T ; T T C T -----> 3p^3*(1-p) ... (se p=1/2 ----->3p^3*(1-p)=3/16 di cui 2/16 con T al terzo lancio e 1/16 con C al terzo lancio)
con 5 lanci) C C T T T ; C T C T T ; T C C T T ; C T T C T ; T C T C T ; T T C C T ----> 6p^3*(1-p)^2 ... (se p=1/2 ----->6p^3*(1-p)^2=6/32 di cui 3/32 con T al terzo lancio e 3/32 con C al terzo lancio)

Adesso serve solo fare la somma.
Limitiamoci al caso che p=q=1/2
p_totale vincita Alberto = 1/8 + 3/16 + 6/32 = 16/32 = 1/2 (infatti p=q)
p_in cui al 3° lancio si ha T = 1/8 + 2/16 + 3/32 = 11/32

Quindi:
prob. che il 3° lancio è T dato che ha vinto Alberto = (11/32)/(16/32) = 11/16

Puoi verificare anche tu la formula che ho riportato nei miei messaggi precedenti nel caso la probabilità di ogni lancio (per T) sia p e per C sia (1-p), invece di 1/2 e 1/2.

Più chiaro di così non riesco ad essere...

[Erasmus]

aspesi

Il tuo errore è di considerare equiprobabili eventi che non lo sono (cioè non è la stessa cosa il fatto che il gioco finisca al terzo, quarto o quinto lancio).

Non mi pare d'aver commesso questo tipo di errore. Infatti ho dato diverse una dall'altra le probabilità che il gioco termini al 3° o al4° o al 5° lancio dicendo
p^3 la probabilità che il gioco termini al 3° lancio;
(1–p^3)·p^3 la probabilità che termini al 4° lancio;
(1–p^3)^2 la probabilità che termini al 5° lancio.
[La somma di queste tre probabilità fa 1, come deve essere.]

aspesi

Qual è il tuo primo punto sbagliato?
Già quando dici che al quarto lancio la probabilità potrebbe essere un valore... di sesto grado (hai scritto (1-p^3)*p^3))

Grazie della segnalazione. Ho scritto così al punto nr. 3)[[quote=aspesi;839725][...] se il gioco termina al terzo lancio ci sarà p^3, se al quarto lancio p^3*q e se al quinto lancio p^3*q^2. è/QUOTE]Qui non sono sicuro di aver capito. Che indendi dicento "se <conndizione> ci sarà <tesi di oprobbilità>? Intendi dire forse "la probabilità che il gioco termini al 3° [...] qurto [...] quinto lancio? Penso di no, perché anche tu mi insegni che la somma delle tre probabilità (relative alle sole tre possibilità) deve fare 1 identicamente (cioè per gni p) ed invece
p^3 + (p^3)·q + (p^3)·q^2 = p^3 + (p^3)·(1–p) + (p^3)·(1–p)^2 = 3p^3 – p^4 + p^5

aspesi

Più chiaro di così non riesco ad essere...

Grazie.
Si vede che ormai sono "fottuto" nella mente perché continuo a non capire.
Una sola ultima cosa (e poi non ti scoccerò più):
Dimmi quale, secondo te, è la pèrobabilità che il gioco termini al quarto lancio.
Che termini al terzo è p^3. Se sappiamo qual'è la probabilità che il cioco termini al quarto lancio – diciamola provvisoroiamente P4 – allora quella che termini al quinto lancio è
1 – (p^3 + P4).
–––––––

[aspesi]

Erasmus

Non mi pare d'aver commesso questo tipo di errore. Infatti ho dato diverse una dall'altra le probabilità che il gioco termini al 3° o al4° o al 5° lancio dicendo
p^3 la probabilità che il gioco termini al 3° lancio;
(1–p^3)·p^3 la probabilità che termini al 4° lancio;
(1–p^3)^2 la probabilità che termini al 5° lancio.
[La somma di queste tre probabilità fa 1, come deve essere.]

No!
Finalmente quello che non riesci a capire. La somma di queste 3 probabilità nel caso di questo problema non è 1 (se p=q=1/2 in ogni lancio, la somma è 0,5)
1 è la probabilità totale , che comprende anche la vittoria di Bruno.
Ma noi sappiamo che al massimo al quinto lancio, ha vinto Alberto (e andiamo ad analizzare solo le partite in cui alla fine è lui a fare 3 punti).
Quindi, come ho evidenziato nel mio messaggio precedente, la probabilità totale di tutti i casi che abbiamo esaminato (terzo + quarto + quinto lancio), se p=1/2, è esattamente 1/8 + 3/16 + 6/32 = 16/32 ----> 1/2 mentre nel caso di probabilità di T=p e di C=q=(1-p) è:
(p^3 + 3p^3(1-p) + 6p^3(1-p)^2

Ad arrivare a 1 manca la probabilità che sia Bruno a raggiungere i 3 punti, ed è la complementare ((1-p)^3 + 3p(1-p)^3 + 6p^2(1-p)^3)

E' semplicissimo:
Alla fine del quinto lancio, Alberto ha questa probabilità in cui il terzo lancio sia T:
(p^3 + 2p^3(1-p) + 3p^3(1-p)^2) ----> 1 in tre lanci + 2 in quattro lanci + 3 in cinque lanci
e queste altre in cui al terzo lancio c'è C:
(p^3(1-p) + 3p^3(1-p)^2) -----> 1 in quattro lanci + 3 in cinque lanci

Erasmus

Dimmi quale, secondo te, è la probabilità che il gioco termini al quarto lancio.
Che termini al terzo è p^3. Se sappiamo qual'è la probabilità che il cioco termini al quarto lancio – diciamola provvisoroiamente P4 – allora quella che termini al quinto lancio è
1 – (p^3 + P4). ----> no, te l'ho spiegato che il totale non è 1, ma la parte che spetta a Alberto T
–––––––

Per finire, la probabilità che il gioco termini al quarto lancio è:
p^3 + 3p^3(1-p)
e, nel caso p=1/2 è ------> 5/16 = 10/32 perché ai 16/32 finali mancano i 6 casi da 1/32 ciascuno del quinto lancio.

Ciao Erasmus

[Erasmus]

aspesi

No!
Finalmente quello che non riesci a capire. La somma di queste 3 probabilità nel caso di questo problema non è 1 (se p=q=1/2 in ogni lancio, la somma è 0,5)

O.K. !
Non ho più avuto modo di scrivere (per impellenti problemi familliari); ma avevo finalmente capito i miei errori e trovato esattamente quello che vedo adesso scritto da te in grassetto.
Supponiamo di non sapere chi vince. Allora abbiamo
• p^3*(ossia la terna TTT) se vince Albero dopo 3 lanci;
• 3(1–p)·p^3 (ossia le 3 quaterne equiprobabili CTTT, TCTT; TTCT) se Albeto vince dopo 4 lanci;
• 6·(p^3)·(1 – p)^2 (ossia le 6 cinquine equiprobabili
CCTTT; TTCCT; CTTCT; TCCTT; TCTCT; CTCTT
se vince Alberto dopo 5 lanci.)
Ho anche controllato che sommando queste probabilità alle corrispondenti probabilità di vincere di Bruno (scambiando p con 1 – p) si ottiene 1,
Se si sa che ha vinto Alberto occorre ridimensionare quelle tre probabilità matenendonele proporzioni e facendo sì che la somma diventi 1.
Si deve allora dividere ciascuna di esse per la loro somma
Per p = 1/2 la loro somma è 1/2 (giustamente dato che allora è altrettanto probabile che vinca Bruno)
E allora le probabilità condizionate dal fatto di sapere che ha vinto Alberto sono
1/4; 3/8; 6/16 = 3/8
E la probabilità che sia uscita T al terzo lancio è
1/4 + (2/3)·(3/8) + (1/2)·(3/8) = (4 + 4 + 3)/16 = 11/16
In generale, occorre calcolare le probabilità quali sarebbero senza lsa condizione e poi ridimensionarle mantenendole in proporzione e tali che la somma dia 1 (e propreio ciò si fa dividendo ciascuna probabilità non condizionata per la somma di tutte)
––––––––
Beh: sono contento di scoprire che, seppur con gravi ritardi, non sono ancora "fottuto del tutto" nella mente!
––––

[aspesi]

Si effettuano 60 lanci di una coppia di dadi, ciascuno da 6 facce.
a) Qual è la probabilità di ottenere "10" esattamente 13 volte?
c) Qual è la probabilità di ottenere per la nona volta "10" al sessantesimo lancio?



Un altro

Prese a caso 22 persone, qual è la probabilità che esattamente 4 di loro compiano gli anni il 29 febbraio?