Estrazioni casuali

[aspesi]

nino280

Nel caso dello scopone le probabilità a detta dei giocatori esperti ed accaniti non bisogna guardarle.
Per esempio io ho un fratello "accanito".

Essere accaniti è importante a scopa, ma decisamente determinante è avere ben chiari i valori di probabilità associati alle diverse scelte e decisioni di gioco; e decisiva è la memoria e l'intuizione, perché la scopa è un gioco cooperativo (se si è soci) di abilità e di intelligenza.

nino280

Se io ho un tris di carte uguali e ne gioco una lui si incavola perché se l'avversario a destra fa scopa lui poi è in difficoltà perché è sotto scopa anche lui perché non può rispondere al mio gioco.
Afferma che non bisogna giocare la carta tris.
Ciao

E, come ho scritto nei miei interventi precedenti, ha perfettamente ragione. Almeno se si osservano le regole. Poi, le regole vanno talvolta "interpretate", e a seconda del punteggio, degli avversari e dell'accordo con il socio, in certe circostanze è preferibile giocare una carta del tris.
E a proposito di giocare la carta da ori, va sempre valutata la convenienza, spesso è il gioco migliore quando si è contro-mazzo e con l'avversario che se la prende è sotto scopa.

[aspesi]

In un istituto scolastico il numero delle ragazze supera del 10% quello dei ragazzi.
La probabilità che, scegliendo due alunni a caso, si scelgano un ragazzo e una ragazza, è di 1/2.

Quanti sono in totale gli alunni di quella scuola?

[Erasmus]

aspesi

In un istituto scolastico il numero delle ragazze supera del 10% quello dei ragazzi.
La probabilità che, scegliendo due alunni a caso, si scelgano un ragazzo e una ragazza, è di 1/2.

Quanti sono in totale gli alunni di quella scuola?

La maniacale moda di usare la dizione "100%" ha stravinto!
Anche tu ne sei vittima! Invece di dire che i maschi sono in numero doppio delle femmine mi dici che il loro numero supera del 100% quello delle femmine

OOPS
Ho letto male!
I maschi non sono il doppio delle femmine ma solo il 10% in più!
Siccome qui i numeri devono essere interi [positivi], il numero di femmine è divisibile per 10
Se lo diciamo 10N, il numero di maschi è 11N e il numero di studenti (tra maschi e femmine) è 21N.
Però ... ti esprimi ancora male!
Non si capisce se si sorteggia prima un maschio e poi una femmina o se si sorteggia una possibile coppia maschio-femmina prescendendo dall'ordine.
Ma forrse fa lo stesso!
Nel secondo caso (coppia prescindendo dall'ordine) occorre cercare un N intero tale che

(11N)·(10N)     1
––––––––– = –––
C[21N, 2)        2

Risulta N = 21 ––> Femmine = 10N = 210; Maschi = 11N = 231;
E in conclusiione 21N = 21^2 = 441 alunni tra ragazzi e ragazze.
––––

[aspesi]

Erasmus

Ho letto male!
I maschi non sono il doppio delle femmine ma solo il 10% in più!

Nel secondo caso (coppia prescindendo dall'ordine) occorre cercare un N intero tale che

(11N)·(10N)     1
––––––––– = –––
C[21N, 2)        2

Risulta N = 21 ––> Femmine = 10N = 210; Maschi = 11N = 231;
E in conclusiione 21N = 21^2 = 441 alunni tra ragazzi e ragazze.
––––

OK.... Però devi invertire (maschi e femmine), sono le femmine ad essere il 10% in più...

[aspesi]

Erasmus

Però ... ti esprimi ancora male!

Erasmus

Non si capisce se si sorteggia prima un maschio e poi una femmina o se si sorteggia una possibile coppia maschio-femmina prescindendo dall'ordine.
Ma forse fa lo stesso!

––––

Infatti!
E' esattamente lo stesso (purché ovviamente si faccia il sorteggio senza reimmissione)

[Erasmus]

aspesi

[...] devi invertire (maschi e femmine), sono le femmine ad essere il 10% in più... :

Si vede che ho letto due volte male !
Avrei giurato che – corretto il precedente errore di lettura – avevi scritto che i ragazzi sono 10% più numerosi delle ragazze.
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Avevo risolto questo tuo quiz subito dopo pranzo, mentre aspettavo che arrivasse la nostra nipotina maggiore.
Oggi è per lei un giorno molto particolare!
Prima che lei prendesse commiato per tornare a casa, proprio da quel che ci ha raccontato (anche rispondendo alle mie domande), m'è venuta l'occasione di fabbricare – accidentalmente! – un quiz abbastanza simile a quest'ultimo tuo.
Ma guarda un po' che strana coincidenza!

Oggi la mia prima nipotina compie 18 anni.!
Tornando dalla scuola, (che sta a Verona), invece di andare direttamente a casa, è venuta a casa dei nonni (come d'accordo). [Siamo sulla stessa linea delll'autobus che la porta a casa, ma lei abita 8 km più distante dii noi dalla sua scuola].
E' venuta da noi sapendo che i nonni le avevano preparato un regalo, ma non sapeva che il regalo era duplice: un "monile" – collanina d'oro con pendaglio con brillantini veri – e una busta con dentro una buona mancia.

Le abbiamo chiesto come avrebbe festeggiato questo suo importantissimo compleanno (ingresso nella "maggiore età").

Ci ha raccontrato che stasera festeggerà i 18 anni con le amiche e gli amici . In parte sono suoi compagni e sue compagne di classe, ma in parte no.
Ci ha detto che le ragazze saranno più numerose dei ragazzi; ma che tutti insieme sono meno dei suoi compagni di classe – maschi e femmine – che sono 25.
Un po' incuriosito, le ho chiesto di precisare! Lei ci ha detto che ci saranno F ragazze ed M ragazzi.
Ci ha anche detto che due di loro le leggeranno una poesia ciascuno, ma non si sa ancora chi saranno. Infatti – ci ha spiegato – è previsto che sarà lei a sorteggiare i lettori. E lo farà sorteggiando i nomi [dei due lettori/lettrici]. Per questo sorteggio ci saranno tanti biglittini quanti sono gli invitati con i nomi – uno per bigliettino – degli stessi invirtati. I bigliettini saranno ben arrotolati in modo da apparire tutti uguali.. Lei aprirà i due bigliettini che avrà pescato e ne leggerà i nomi (scritti su i essi) dei due amici che leggeranno una poesia a testa,

Ho fatto un calcoletto ... scoprendo che la probabilità che i due lettori siano un maschio ed una femmina è 40%.
Quanti sono gli invitati alla festa dei 18 anni della mia nipotina maggiore?
Di loro, quanti maschi e quante femmine?
–––

[aspesi]

Erasmus

Oggi la mia prima nipotina compie 18 anni.!
Tornando dalla scuola, (che sta a Verona), invece di andare direttamente a casa, è venuta a casa dei nonni (come d'accordo). [Siamo sulla stessa linea delll'autobus che la porta a casa, ma lei abita 8 km più distante dii noi dalla sua scuola].
E' venuta da noi sapendo che i nonni le avevano preparato un regalo, ma non sapeva che il regalo era duplice: un "monile" – collanina d'oro con pendaglio con brillantini veri – e una busta con dentro una buona mancia.

–––

AUGURI vivissimi, 18 anni sono un traguardo importante.
I nipoti sono una gioia per la vita dei nonni, il mio ha solo 9 mesi, lo teniamo a casa nostra tutti i giorni feriali.
Il suo grosso regalo lo riceverà anche lui al compimento dei 18 anni (quando molto probabilmente io non ci sarò più), gli ho sottoscritto un buono fruttifero postale dedicato ai minori.

[aspesi]

Erasmus

Quanti sono gli invitati alla festa dei 18 anni della mia nipotina maggiore?
Di loro, quanti maschi e quante femmine?
–––

Non hai specificato che i maschi sono più di 1 (anche se potrebbe essere implicito)
Infatti, nel caso M=1 ci potrebbe essere anche la soluzione che gli invitati alla festa siano solo 5 (di cui 4F)

Invece, saranno:
Invitati totali = 16, di cui 12 ragazze e 4 ragazzi.



Buon divertimento!

[Erasmus]

Sì. I maschi potrebbero essere uno solo (e allora le femmine sono 4 e gli invitati 5 in tutto)

Il quiz potrebbe essere stato ambientato in una storia inventata apposta.
Invece, la prima parte del racconto è cronaca vera.
E credo che tu l'abbia pure pensato quando, invece di rispondere con la soluzione, haii risposto con gli auguri!
Ieri la mia prima nipote ha compiuto davvero 18 anni e davvero li ha festeggiuati con gli amici, – alcuni compagni di classe e altri no –; e tra i suoi amici le femmine sono ben più numerose ldei maschi. E davvero ci ha raccontato questo durante la visita fattaci tornando da scuola (essendoci già messi d'acordo con l'invito a venir a rìitirare il regalo dei nonni, con la sorpresa che oltre alla "mancia" (prevista più come certezza che come probabile) ha ricevuto anche un gioiellino (acquistato apposta per lei ancora qualche anno fa dalla nonna ... che in fatto di estetica non ha mai sbagliato un colpo!)
Fin qua tutto vero!

L'invenzione mia incomincia quando dico che due amici, scelti con sorteggio .casuale, le leggeranno una poesia a testa.
Anche i numeri esatti di femmine e di maschi (in modo che sia 40% la probabilità che la coppia di lettori sia di un maschio e una femmina) fa parte dell'invenzione (ovviamente per avere un quiz analogo al tuo).
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Generalizziamo!
Supponiamo che in un gruppo di N prrsone i numeri m di maschi ed f di femmine siano tali che la probabilità che una coppia casuale di quelle persone sia di un maschio e di una femmina sia 40%.
Quanto valgono m ed f?
Ci sono più soluzioni, nesssuna con m = f.
Ovviamente, se una soluzone è (m, f) con m < f, soluzione è anche la coppia di numeeri ottenuta scmbiando tra loro i valori di m ed f.

Due soluzioni le conosciamo già:
a) (m, f) = (1, 4): N = m + f = 5;
b) (m, f) = (4, 12); N = m + f = 16,
Ma se si toglie la limitazione sul numero complessivo N di persone, c'è una infinità di soluzioni.
I numeri m ed f debbono essere tali che:

     m · f               m · f                               2·m · f                          2
------–––– ≡ –––––––––––––––  ≡ ––––––––––––––––––  =  40%  ≡ –––
C(m+f, 2)    (m+f) · (m+f –1)      (m+f)^2  –  (m + f )                      5
                   ––––––––––––
                          2

Da qui viene subito:

      3m +1 + √(5(m+1)^2  – 4]               3f +1 + √(5(f+1)^2  – 4]
f = ––––––––––––––––––––––––  ∨  m = ––––––––––––––––––––––––––
                       2                                                      2

Occorre dunque che, detto k il minorte dei due numeri [f, m], sia ilntero il numero
√[5(k+1)^2 – 4] (*)
Gli interi k che soddisfano l'equazione [diofantea] (*) costituiscono una successione di naturali i ciui primi numeri sono:
0, 1, 4, 12, 33, 88, ... (*)
Si tratta d'una sequenza contemplata in OEIS
–––> A027941: [0, 1, 4, 12, 33, 88, 232, 609, 1596, ...]
–––––––


P.S.
Supposto m < f, l rapporto f/m al tendere di m a +∞ tende al limite
[3 + √(5)]/2 = {[√(5) + 1]/2}^2.

P.S. (sabato notte h 02:30)
Su OEIS ho visto una cosa che non avevo visto prima.
Se diciamo {F(n)} la successione di Fibonacci, cioè;

n     ––> 0  1   2    3    4    5    6    7     8    9     10    11    12   13 ... (**)
F(n) ––> 0  1   1    2    3    5    8   13   21   34   55    89   144  233  ...

la successione dei numeri k per i quali √[5(k+1)^2 – 4] è un numeo intero è
k(n) = F(2n+1) – 1
I numeri F(2n+1) sono quelli di Fbonacci di indice dispari, cioè la successine

        n   –––>  0    1    2     3      4      5       6    ...
F/2n+1)  ––>   1    2    5    13    34    89     233   ....

E la successione (*) è proprio:

          n      –––>  0    1    2     3      4      5       6    ...
F/2n+1) – 1 ––>   0   1    4    12    33    88     232   ....

La legge di ricorrenza è
k(0) = 0; k(1) = 1; k(2) = 4;
Per ogni n naturale k(n+3) = 8·[k(n+1) +1]– 3·[k(n) +1] –1 = 8·k(n+1) –3·k(n) + 4.
Ossia;
k(n+4) = k(n+3)+8k(n+2) – 11k(n+1)+3k(n).
Il polinomio caratteristico è dunque:
x^4 – x^3 – 8x^2 + 11x– 3 = (x– 1)·(x+3)·[x – (3+√(5))/2]·[x – (3 -√(5))/2].

[aspesi]

Erasmus

Gli interi k che soddisfano l'equazione [diofantea] (*) costituiscono unasuccessione di naturali i ciui primi numeri sono:
0, 1, 4, 12, 33, 88, ...
Si tratta d'una sequenza contemplata in OEIS
–––> A027941: [0, 1, 4, 12, 33, 88, 232, 609, 1596, ...]
–––––––

P.S.
Supposto m \ f, l rapporto f/m al tendere di m a +∞ tende al limite
[3 + √(5)]/2 = {[√(5) + 1]/2}^2

Certo che in OEIS ci sono proprio tutte le sequenze intere di un certo interesse